向量的内积公式

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

【课题】7.3平面向量的内积

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.

能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，

而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余

弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.

教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝

180

时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两

个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的

相反数．

（2）|a|＝aa显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的

公式的基础；

（3）cos＝

||||

ab

ab

，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基

础；

（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示

的重要基础．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

【教学过程】

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

*揭示课题

7.3平面向量的内积

*创设情境兴趣导入

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的

力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100

m．那么，这个人做了多少功？

介绍

质疑

引导

分析

了解

思考

自我

分析

从实

例出

发使

学生

自然

的走

向知

识点

0

5

*动脑思考探索新知

【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离

的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直

方向的单位向量为j，则

Fxi+yjsin30cos30FiFj，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有

产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×

2

3

·10＝500

3

（J）

总结

归纳

思考

理解

带领

学生

分析

F

s

图7—21

30

O

向量的内积

3/83/8

第7章平面向量（教案）

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

图7－22

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等

于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做

向量F与向量s的内积,

它是一个数量，又叫做数

量积．

如图7－23，设有两

个非零向量a,b，作OA

＝a,OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b

的夹角，记作．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与

向量b的内积，记作a·b,即

a·b＝｜a||b|cos(7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.

由内积的定义可知

a·0＝0,0·a＝0．

仔细

分析

讲解

关键

词语

记忆

引导

式启

发学

生得

出结

果

15

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝

180

时，a·b

＝−|a||b|.

（2）cos＝

||||

ab

ab

.

思考

O

xi

j

F(x,y)

y

B

A

O

图7－23

a

b

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，

即|a|＝aa.

（4）当,90ab时，ab，因此，a·b＝

cos900,ab因此对非零向量a，b，有

a·b＝0ab.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

（1）a·b＝b·a．

（2）(a)·b＝(a·b)＝a·(b)．

（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c.

请结合实例进行验证.

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

理解

记忆

带领

学生

分析

反复

强调

30

*巩固知识典型例题

例1已知|a|＝3,|b|＝2,＝60,求a·b．

解a·b＝|a||b|cos＝3×2×cos60＝3．

例2已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求．

解cos＝

||||

ab

ab

＝

22

2





＝−

2

2

.

由于0≤≤180，

所以＝135．

说明

强调

引领

思考

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

40

*运用知识强化练习

1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．

2.已知a·a＝9,求|a|．

3.已知|a|＝2,|b|＝3,＝30，求(2a＋b)·b．

提问

巡视

指导

思考

口答

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

况

45

*动脑思考探索新知

设平面向量a＝(x

1

,y

1

),b＝(x

2

,y

2

)，i，j分别为x轴，y轴上

的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又|i|＝|j|＝1，所以

a·b＝(x

1

i＋y

1

j)·(x

2

i＋y

2

j)

＝x

1

x

2

i•i＋x

1

y

2

i•j＋x

2

y

1

i•j＋y

1

y

2

j•j

＝x

1

x

2

|j|2＋y

1

y

2

|j|2

＝x

1

x

2

＋y

1

y

2

．

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，

即

a·b＝x

1

x

2

＋y

1

y

2

(7.11)

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则

aaa22xy

，即

a22xy

(7.12)

由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，

cos＝

||||

ab

ab

＝1212

2222

1122

xxyy

xyxy





.(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0．

因此

abx

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0．(7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂

直的问题．

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

60

*巩固知识典型例题

例3求下列向量的内积：

（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；

说明

强调

观察

讲解

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；

（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．

解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；

(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；

(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

例4已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b,|a|,|b|,．

解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5；

|a|＝22(1)25aa

；

|b|＝22(3)110bb

；

cos＝

||||

ab

ab

＝

52

2

105

，

所以＝45．

例5判断下列各组向量是否互相垂直：

(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；

(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．

解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．

(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂

直．

引领

讲解

说明

引领

分析

强调

含义

说明

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

思考

求解

说明

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

反复

强调

70

*运用知识强化练习

1．已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．

2．已知a＝(1,

3

)，b＝(0,

3

)，求．

3．已知a＝(2,−3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．

4.判断下列各组向量是否互相垂直：

(1)a＝(−2,−3)，b＝(3,−2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0,−3)；

(3)a＝(−2,1)，b＝(3,4)．

启发

引导

提问

巡视

指导

思考

了解

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

80

向量的内积

7/87/8

第7章平面向量（教案）

教学

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时

间

5.求下列向量的模：

(1)a＝(2,−3)，(2)b＝(8,6)．

*理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

平面向量内积的概念、几何意义?

结论：

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与

向量b的内积，记作a·b,即

a·b＝｜a||b|cos(7.10)

a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投

影的乘积．

质疑

归纳

强调

回答

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

83

*归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

引导回忆

*自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

1.已知a＝(5,−4),b＝(2,3),求a·b．

2.已知a＝(2,−3),b＝(3,−4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．

提问

巡视

指导

反思

动手

求解

检验

学生

学习

效果

88

*继续探索活动探究

(1)读书部分：阅读教材

(2)书面作业：教材习题7.3A组（必做）；7.3B组（选

做）

(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．

说明记录分层

次要

求

90

【教师教学后记】

项目反思点

学生知识、技能的掌握情况

学生是否真正理解有关知识；

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

向量的内积

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第7章平面向量（教案）

学生的情感态度

学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生思维情况

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作；

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；