a的立方加b的立方

立方和公式

ff3+&3=(a+於一必+内

立方差公式

n3-&3=(a-b)(«z+«fr+bz)

三项立方和公式

fl3+b3+c3-

推导过程：

■3abc=(a+b+c}(a2++c2-zzb-bc-iic)

d3+b3+c3-

=(j3+3a2b+3ab2+b3+^3)—(Sabi1+3a2b+3afe2)

=[(a+fe)34-c3]-3拠卄b+计

二(a+GX«2+FC

2

^2ab-ac-bc±c2}-3ab(a±b±G}

二(z?+fr+cXfl3+b31-c3^-2ab-3ab-ac-bc}

二(厲十b十CXQ'+b3+C

3

-ab-bc-acj

完全立方公式

(a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3

(疗+=£Z3+丸络+3血'+P

立方和累加

正整数范围中

十2

+…+朋二^二(“2+…+胖

注：可用证明

公式证明

迭代法

我们知道：

0次方和的求和公式

鼻1

，即

1°+2°+'--+n°=n

1次方和的求和公式

.w(w+l)

，即

17十…十心?^

2次方和的求和公式

"*41)(2料+1}

6

，即

12“十…十宀牡耍也

6

——，此公式可由同种方法得出，取公式

(A+1)3-Jt3=3k2+3A+1

，迭代即得。

具体如下：

333232

(k+1)-k=(k+3k+3k+1)-k=3k+3k+1利用上面这个式子有：

23-13=3X12+3X1+1

33-23=3X22+3X2+1

3324-3=3X3+3X3+1

3325-4=3X4+3X4+1(n+1)3-n3=3Xn2+3n+1

把上述各等式左右分别相加得到：

(n+1)3-13=3X(12+22+32+……+n2)+3X(1+2+3+……+n)+nXI

322222n+3n+3n+1-1=3X(1+2+3+……+n)+3Xn(n+1)/2+n(1)

2222

其中1+2+3+……+n=n(n+1)(2n+1)/6

代入(1)式，整理後得13+23+33+……+n3=[n(n+1)/2]2

迭代法二

取公式：

L

t=i

A

1=1

仅十1}4

一沪二4疋十弘2十毁十1

系数可由来确定

那么就得出：

(N+1)4-N4=4^3+6N2+4AT+1

.............⑴

N4_(N_If=4(N-L)3+6(N-if+4(N-L}+1

.............⑵

(N-l)4-(N-2)4=4(N-2)3+6(N-24(W-2>+1

.............⑶

24-l4=4xl3+6xl2+4x1+1

.............(n).

于是⑴+(2)+(3)+…+(n)有

左边=

(N+lf-1

右边=

4(1坤2口护亠…+静)+6(12427+3》+…+"2)+4(1+2+3+…+N)*N

把以上这已经证得的三个公式代入，

4(1坤2孑+3'+…+N$)+6(F+22+32+…+"2)+4(1+2+3+…+N)+N二(N+lf-l

得

4(l34-23+33+»*+N3)4W+l)(2N41)+2W+l)+N=W4+4N34-6N2+4N

移项后得

1?+23+33

十…+N3=-^(N4+4N3+6N2+4N-N-2N2-2AT-2N3-3N2-N}

等号右侧合并同类项后得

1?+23+33+--+^3=扣卄2N*十巧

即

1睥，十沪十…十丽二+I[N(N“)F

推导完毕。

因式分解证明

«3+&a=fl3+fl2xb+b3-fl2xb=«2(fl+b)-b(a2-b2)=ff2(o+&)-b(a+一b}二

(<4-&)[n2—&(tf—H]=(a++b2)

几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为:x3+y3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

33

，可使用

("V尸

的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

xxyx(x+y}

xx(x+

(x4-j)xxxy

把三个部分加在一起，便得：

xp(x+y)+xy(x-by)4■好仗+y}

3xy(x+y}

之后，把

("汀

减去它，便得：

(工十y尸-3xy(x-^y}

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得:

仗+班(工4■评-对］

可透过，得到：

(x+y)(x2+2xy^y2_

(x4-j}(x2-xy^y2}

这样便可证明：

x3+y3=(x+p)^2-xy+J?2>