欧拉线

２２ 中学数学 ４００２年第１期

集概念，将问题转化为恒成立的不等式中参

数范围闻题，刘会得到如下简洁的解法．

解 由Ｂ知得

Ａ一｛ｚＩ ２ａ≤ ≤ａ ＋１）．

Ｂ一｛ Ｉ（ ３ａ １）（ｚ一２）≤０）．

１

（Ｉ）当ｎ≤÷时，

Ｂ一｛ｚＩ３ａ＋１≤ ≤２），

’ Ａ ＝Ｂ，

．

’

． 对任意实数３７∈［ｚａ，ｄ。＋１］，

不等式拍＋１≤ｚ≤２恒成立，

．

ｆ ２ａ≥３ｄ＋１，

ｌｄ 十ｌ≤２．

．

。

． ｄ一一１．

１ （Ｉ）当ａ＞÷时．

Ｂ一｛ Ｉ２≤ｊ≤３ａ＋ｌ｝，

‘

．‘Ａ Ｂ．

．

’

． 对任意实数 ∈［２ａ． ＋１］都有不

等武 ２≤ ≤３ａ＋１ 恒成立，

． ｆ ２ａ≥２，

【ａ ＋ｌ≤３ａ＋１．

．

。

． １≤ａ≤３．

综上所迷，ａ一一１或１≤ａ≤３．

倒５ （１ ９９４年江苏省高中教学竞赛题）

设Ⅱ∈Ｒ ．Ａ—ｆ（ ， ）１０—３） ＋（ ＋

４）。≤１），与Ｂ—ｆ（ ， ）ｌｌ 一３Ｉ＋Ｉ ＋４Ｉ

≤ｄ）是ｘＯｙ平面内的点集，要使Ａ Ｂ，则ｎ

的取值范围是——

．

分析 此题的常规解法是教形结台，下

面根据子集概念，给出一种简便的方法．

ｆ工一３ ｒｃｏｓ ． 解令ｉ ＋４；ｒ８ｉｎ ．

‘ｏ≤ｒ≤１， ∈Ｒ）．

要使Ａ 占．即对ｏ≤ｒ≤】． ∈Ｒ下面不等

武ＩｒＩ（Ｉ ｃｏｓ Ｉ＋Ｉ ｓｉｎ Ｊ）≤ 恒成立．

又 （Ｉｃｏｓ Ｉ＋Ｉｓｉｎ ｛） 一１＋Ｉ ｓｉｎ ２引≤２，

．

’

． Ｉ ｃｏｓ Ｉ十Ｉ ｓｉｎ Ｉ≤ｖ，２．

． （Ｉ ＣＯＳ Ｉ＋Ｉｓｉｎ Ｉ）≤￣／２．

． ｎ≥ ．

（收稿日期：２００１０９１ ４）

欧拉线的一个性质

３１０００２杭州摔范学院初等教育学院

沈国强顾周华

我们知道，在所有非等过三角形中．外

心、重心、垂心在同一直线——欧拉线上．本

文给出欧拉线的一十性质．

首先，设△ＡＢＣ为

任一十币筝边三角形，

在直角坐标系中，将它

的任意一边（比如ＡＢ

过）放置在ｚ轴上，ＡＢ

边的中垂线与 轴熏台，

如图１．又设ＡＢ边长为

２ａ，则有 图１

定理 ／Ｘ．ＡＢＣ的欧拉线平行于ＡＢ边的

充要条件是第三个顶点ｃ落在椭圆豢＋

一１上（除去椭圆长、短轴两端的四个顶点）．

证明 设ＡＡＢＣ的ＢＣ边中点为 ，外

心为ｕ，重心为Ｓ．则经过Ｕ、Ｓ两点的直线为

欧拉线．如图１．容易求得 点坐标，从而求得

Ｕ点、Ｓ点坐标如下：

（字，考）、Ｕ（０，生 ）、

Ｓ（寺． ｙ），因此欧拉线的斜率为

一一旦 ±丢 二型，故要使欧拉线平

行于ＡＢ边，印矗一。的充要条件是

３ｘ。＋ 一３ａ。一０，且 ｙ≠０．此即

｝ ，，｝

＋ 一１，且ｘｙ≠０・ 证毕－

由上述结果，可顺便得出下列两个结论：

（１）当ｃ点落在ｙ轴上时，欧拉线与 轴

熏合．斜率 不存在；

（２）当ｃ点落在上进椭圆外的第２、４泉

限，或者落在上进椭圆内的第１、３泉限时，欧

拉线的斜率点＞０｛当ｃ点落在上连椭圆外的

第１、３泉限，或者落在椭圆内的第２、４泉限

时，欧拉线的斜率＾＜０．

参考文献

１ ［德］Ｈ．德里．１１）Ｄ个著名初等数学问题．上海；

上海科学技术出版杜．１９８２，８

。 （收祷日期：２００１０９３０）

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