三角形的定义

三角形的定义

在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,

这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，

各种多边形都是由三角形组成的。

三角形的内角和

在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角

和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一

个外角大于其他两内角的任一个角。（注：在非欧几何中，三角形的内角

和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球

面或者伪球面）

证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走

进三角形》

如何证明三角形的内角和等于180°

方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°

方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°

例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E

∵AB∥CE（已知）

∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，

内错角相等)

∵∠BCD=180°

∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）

∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）

三角形分类

(1)按角度分

a.锐角三角形：三个角都小于90度。（三个角都为锐角，等边三角

形也是锐角三角形。）

b.直角三角形（简称Rt△）：

①直角三角形两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边

等于斜边的一半.；

④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直

角边所对的锐角等于30°（和③相反）；

c.钝角三角形：有一个角大于90度。

d.证明全等时可用HL方法

*（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）

（2）按边分

不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

等边三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定

理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，

5。他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.

其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3,4,5；5,12,13；

8,15,17等等

解斜三角形：

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有

（1）正弦定理

a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)

（2）余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA

b^2=a^2+c^2-2ac*CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

（3）余弦定理变形公式

cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC

cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab

斜三角形的解法：

已知条件定理应用一般解法

一边和两角

（如a、B、C）

正弦定理

由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时

有一解。

两边和夹角

(如a、b、c)

余弦定理

由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再

由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边

(如a、b、c)

余弦定理

由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C

在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角

(如a、b、A)

正弦定理

由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正

弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

编辑本段三角形的性质

1.三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边

的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合

一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）

等于与其不相邻的两个内角之和。

6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。

7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交

于一点。

10.直角等腰三角形底角的角平分线校对边的点为这条边的中点。

9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：

a^2+b^2=c^2。

那么这个三角形就一定是直角三角形。

10.三角形的外角和是360°。

11.等底等高的三角形面积相等。

12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积

之比等于其底之比。

13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的

3/4。

14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

16.全等三角形对应边相等，对应角相等。

17.三角形的重心在三条中线的交点上。

18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于

60度。

（包括等边三角形）

19△ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】

=【c（A/2）】^2。

20三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。

21三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。

22三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

23.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

编辑本段三角形的全等

定义

两个完全重合的三角形称为全等三角形。

变化的方式

1.轴对称。2.平移。3.旋转。4.翻折。5.多种变换叠加。

条件

1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”

或“SSS"。

2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边

角边”或“SAS”。

3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角

边角”或“ASA”。

4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简

称“角角边”或“AAS”。

5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角

形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。

注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边机器

一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角

形的“HL”证明等同“SSA”。

编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线

五心的坐标

三角形的五心四圆三点一线

这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五

心”指重心（barycenter）、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)

和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫

恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系

数K(a)=-a^2+b^2+c^2，K(b)、K(c)类推。三线坐标各分量直接乘以相应

边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平

面直角坐标的方法：记某点面积坐标为(μa,μb,μc)，三分量之和为μ，

则有Px=(μa·Xa+μb·Xb+μc·Xc)/μ，Py类推。

名

称

定义

三线坐标

（内心坐标）

面积坐标

（重心坐标）

重

心

三条中线（顶点到对边中点连线）

的交点

1/a:1/b:1/c1:1:1

垂

心

三条高（顶点到对边的垂线）的交

点

cA:cB:

cC

1/K(a):1/K(b):1/K(c)或

tan(A):tan(B):tan(C)

内

心

三条内角平分线的交点1:1:1a:b:c

外

心

三边中垂线的交点

cosA:cosB:co

sC

a^2·K(a):b^2·K(b):c^2·K

(c)

旁

心

一内角平分线和另两角外角平分线

的交点

-1:1:1，余类推-a:b:c，余类推

四圆

内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三

边都相切。

外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三

个顶点都在圆周上。

旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一

边及另两边延长线相切。

欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点

共圆。九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：cos(B-C):cos(C

-A):cos(A-B)，半径为外接圆半径的一半。内切圆与欧拉圆在某一欧

拉点相切。

三点

名称定义三线坐标

勒莫恩

点

三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重

心

a:b:c

奈格尔

点

三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心

csc^2(A/2):csc^2(B/2):csc^2(C/

2)

欧拉点三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点（暂缺）

一线

垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。

界心(不常见)

三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。

三角形界心性质：设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周

界中点，R、r分别为⊿ABC的

外接圆和内切圆的半径，则

（1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R；

（2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。

五心的距离

OH^2=9R^2–(a^2+b^2+c^2),

OG^2=R^2–(a^2+b^2+c^2)/9,

OI^2=R^2–abc/(a+b+c)=R^2–2Rr

GH^2=4OG^2

GI^2=(p^2+5r^2–16Rr)/9,

HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,

三角形为什么具有稳定性

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接

∵第三条边不可伸缩或弯折

∴两端点距离固定

∴这两条边的夹角固定

∵这两条边是任取的

∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定

∴三角形有稳定性

任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边

连接

∴两端点距离不固定

∴这两边夹角不固定

∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性

三角形的边角之间的关系

（1）三角形三内角和等于180°,这个定理的证明方法有很多种,(即辅

助线的做法,)体现了几何中的一题多解的思维方法,这也是几何与众不同

都地方.

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠

②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三

边的一半)

（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆

的圆心，它到各边的距离相等.

（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交

点，它到三个顶点的距离相等.

（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离

等于它到对边中点的距离的2倍。

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意:①三角形的内心、重心都在三角形的内部

.②钝角三角形垂心、垂心在三角形外部。（三条高的延长线交于一

点，在三角形的外部）

③直角三角形垂心、垂心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直

角顶点，外心为斜边中点。）

④锐角三角形垂心、垂心在三角形内部。

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，的一则应用！

《周长固定三角形面积的最大值》

——数学建模一例

谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。

好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，

现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？

首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？

初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。

那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别

平行的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：

平行四边形的对边相等。

好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相

垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边

形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a+b)。

有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a+b)，经过简

单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a要注意条件，a是不为0的，即

（a>0）。现在，把b=L/2-a代入s=a*b就有：s=a*(L/2-a)=-a^2+(L/2)

*a（a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。

微积分的解法：因为：s=-a^2+(L/2)*a（a>0），所以s`=-2a+L/2

（a>0）令s`=0有：2a=L/2所以a=L/4。

所以Smax=L/4(L/2-L/4)=L^2/16max：最大值b=a=L/4(此时，

矩形为正方形)

也可以用不等式：因为(a-b)^2≥0，又因(a-b)^2=(a+b)^2-4ab，

所以有：(a+b)^2-4ab≥0即a*b≤(a+b)^2/4当a=b，去“=”，s有

最大值

因为：a+b=L/2，s=a*b所以：s≤（L/2）^2/4=L^2/16。

现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L

的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？

好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之

和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有

个推论：三角形两边之差小于第三边。

不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x。根据

三边关系定理有：x

是常用控制变量法吗！我们何不使用呢？假设x为一个常量，则L-x也为

常量。且x

且有：2a>2c。可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：a^2=(L-x/2)^2，

b^2=(L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/。

三角形与椭圆

所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2+Y^2/L(L+2x)/4=1

函数图像的直观反映

，三角形的面积为：s=(1/2)*(2c)*Y，因为，x=2c是固定的，所以s取

决于Y，当Y取max时，即Y=b时，s有最大值。

即：S=s(x)max（且此时，该三角形为等要三角形）

=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2

=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0

现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自

变量的函数S=s(x),可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！

Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s(x)max，求导：

S`=-LX/(L^2-2Lx)^1/2+(L^2-2Lx)^1/2令S`=0有：LX/(L^2-2Lx)^1/2

=(L^2-2Lx)^1/2，则LX=L^2-2Lx解之得：x=L/3，且有，x=L/3

足三角形条件。

此时的三角形是一个正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，

此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差

别。

也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2。

用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。

不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2比微积分简单一

些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，

这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！

要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定

理：

勾股定理的扩展——余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bccosA，

则有：cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc

所以，sinA={1-[（b^2+c^2-a^2）/2bc]^2}^1/2

={[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2

又因为，三角形面积公式：

s=(1/2)*bcsinA

=(1/2)*bc*{[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2

=(1/4)*[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]^1/2(与角度A

并无直接关系)

又∵[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)

=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4

=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+a^2c^2+b^2c^2-c^4

=b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+a^2c^2+

b^2c^2+2abc^2-c^4(配方)

=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4

=c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+c^2(b+a)^2-c^4

=c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+c^2(b+a)^2（分解因式）

=c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]

=[(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2]（提公因式）

=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]

=[(b+a)^2-c^2]*(-1)*[(b-a)^2-c^2]

=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)

=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)

=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

∴s=(1/4)[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2

=[(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(b+c-a)/2*(a+c-b)/2]^1/2

={[(a+b+c)/2]*[(a+b+c)/2-c]*[(b+c+a)/2

–b]*[(a+c+b)/2-a]}^1/2

在令：p=(a+b+c)/2

就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2

有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。

需要知道的一个不等式：(a+b+c)^3/27≥abc(a，b，c均为正数，当

a=b=c时，取“=”)

∵(p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3/27，又∵2p=a+b+c；

∴(p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3/27

则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2/3(3)^1/2

所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2/3(3)^1/2

即：s≤(3^1/2/36)p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取“=”s有

最大值(3^1/2/36)L^2

用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围成一个三角形

（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是„„（B）

A8*5^1/2B6*10^1/2C3*55^1/2D20

分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。现

在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角

形中面积最大的一个。

如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要

你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。把离散组合，转化为连续的

数学。

数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规

律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。把这5个数任意的

分成3组，然后围成三角形。无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和

为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面

积才是最大的？

上面研究过，正三角形的面积最大，并且由

S=s(x)max（且此时，该三角形为等腰三角形）

=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0

的函数图像可知，x在区间[0，L/3]]为增函数，在（L/3，L/2]为减

函数。所以，当三角形周长固定时：越接近正三角形形状的三角形面积越

大！20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，只能退而求

其次了，我们发现（猜出来的）：（2+5）、（3+4）、6的组合是最接近正

三角形的，所以它的面积最大。经过简单的计算，就知道结果了：B6*10^1/2

我们在来做一件事，比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的

面积：L^2/16与(3^1/2/36)L2。为了方便比较，把它们换为小数：0.0625L^2

与0.048112522L^2我们发现四边形（正方形）的面积要大一些！根据这中

经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：在平面内曲线周长固定时，圆的面

积最大！猜想2：在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的

面积最大！

事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。同样需要微

积分来研究，不过是高等微积分了。

特殊三角形

1.相似三角形

（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形

（2）相似三角形性质

相似三角形对应边成比例，对应角相等

相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比

若a、b、b、c成比例，即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中项

（3）相似三角形的判定

【1】三边对应成比例则这两个三角形相似。

【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似。

【3】两角对应相等则两三角形相似。

3.等腰三角形

等腰三角形的性质：

（1）两底角相等；

(2)两条腰相等；

（3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

等腰三角形的判定：

（1）等角对等边；

（2）两底角相等；

（巧用：在特定题目中，等腰三角形，平行，角平分线这三量，知二

可推另一）

4.等边三角形

等边三角形的性质：

（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。

等边三角形的判定：

（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

三角形的面积公式

(1)S△=1/2ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三个角为∠A∠B∠C，对

边分别为a,b,c，参见三角函数）

(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][p=1/2(a+b+c)]（海伦—秦九韶公式）

(4)S△=abc/(4R)(R是外接圆半径)

(5)S△=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径)

(6)...........|ab1|

S△=1/2|cd1|

............|ef1|

[|ab1|....|cd1|....|ef1|为三阶行列式,此三角形ABC

在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里ABC选区取最好按逆时

针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按

这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响三角

形面积的大小]

(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)

(8)S正△=[（√3）/4]a^2(正三角形面积公式，a是三角形的边长)

[海伦公式(3)特殊情况]

三角形重要定理

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

斜边长的平方。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB^2+BC^2=AC^2;

勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平

方，则这个三角形是直角三角形

几何语言：若△ABC满足AB^2+BC^2=AC^2，则∠ABC=90°。

射影定理（欧几里得定理）

内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的

平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度

的乘积。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD²=AD×DC

射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，

(1)AB^2=AD·AC

(2)BC^2=CD·AC

(3)ABXBC=ACXBD

正弦定理

内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面

积的两倍与三边边长和的乘积之比

几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

结合三角形面积公式，可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外

接圆半径）

余弦定理

内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和

减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦

几何语言：在△ABC中，a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

此定理可以变形为：cosA=（b^2+c^2-a^2）÷2bc

三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等，

也不可以用“SSA”

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“SSS”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成

“AAS”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成

“HL”。

全等三角形的性质

全等三角形的对应角相等，对应边也相等，并且全等三角形能重合。

三角形中的线段

中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积.

高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作

的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。

角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它

到两边距离相等。(注:一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角

的对称轴)

中位线：任意两边中点的连线。

三角形相关定理

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

勾股定理(又称毕达哥拉斯定理）

在Rt三角形ABC中，A=90度，则

AB^2+AC^2=BC^2

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、

E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明：

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延

长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利

用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点，

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①

而由△ABD被直线COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△C

OD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

莫利定理

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个

交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫

利正三角形。

三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一

类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷

数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它由于三角函数的

周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数、但具有特殊的反三角函数

(如：arcsin)，三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角

函数也是常用的工具。

三角函数种类

包含六种基本函数：正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、

正割(c)、余割(csc)。

锐角三角函数

在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为

直角。则定义以下运算方式：

sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA=a/c

cosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA=b/c

tanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA=sinA/cosA=a/btanA记

为∠A的正切；

当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。

sinA=cosBsinB=cosA