上面一个基下面一个系

线性系统理论课程大作业论文

线性系统理论综述及其应用

这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展

的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明

确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特

征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结

构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。

一．线性系统理论研究内容综述

系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系

统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。

动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一

类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三

种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、

扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或

影响的输入变量组如响应，产出。表征系统动态的过程的数学描述具有两类基

本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。

从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动

态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数

集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间

系统和离散时间系统。

线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。他是现代控制

理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。现代控制理论主要是

着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。线性系统的理

论和方法是建立在建模的基础上。在建模的基础上，可以进一步把线性系统的

理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。分析理论分为定量分析和定性

分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。系

统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的

指标或实现最优化。

线性系统理论的研究对象为线性系统，线性系统为最为简单和最为基本的

一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中最为充分、发展最为成熟和应

用最为广泛的一个开支。线性系统的的一个基本特征是其模型满足线性叠加原

理。对于线性系统的研究也可以进一步分为线性是不变系统和线性时不变系统

两类。对系统进行建模也是控制理论中具有重要的作用。对系统建模的作用多

样性和基本型、途径以及系统的建模的准则=====系统建模的简单性和分析的

结果的准确性之间做出适当的折中。

线性控制理论在1960年前后开始了从经典控制理论到现代理论的过渡。反

应这种过渡的重要标志成果是，卡尔曼把在分析力学中广为采用的状态空间描

述引入到线性控制中，并在此基础上引入了对研究系统结构和控制具有基本意

义的的能控性和能观性的概念。

（一）状态空间的描述

状态空间的基本特点是用系统内部描述来取代经典线性控制系统理论中引

以为常的传递函数形式的外部输入输出描述，

第一个方程称为状态方程，用以描述状态向量与输入向量间的动态关系；

第二个方程称为输出方程或测量方程,描述输出向量与状态向量和输入向量之间

的线性组合关系。,,和都是常系数矩阵。这个模型可用下面的框图表示

把系统的的分析和综合置于时间域内。同时，能控性和能观性的引入，导

致了线性系统的分析和综合在指导原则上的一个根本变化，这种内部结构代替

外部结构的变化，是现代线性控制理论的根本。

线性系统理论主要包括线性系统的时间域理论和线性系统的复频域理论。

时间域理论主要包括线性系统的状态空间描述和线性运动分析，线性系统的能

控性和能观性，系统运动的稳定性，线性反馈系统的时间域综合。

线性系统的状态空间描述是分析和综合的基础。系统的动态过程的数学实

质就是反映各组变量间因果关系的一个数学模型。可以把数学的模型分为内部

描述和外部描述两种基本类型。系统的外部描述是输入输出描述，外部描述的

特点，把系统当“黑箱”处理，用传递函数来表示，而系统的内部描述是把系

统当做“白箱”处理，认为系统内部的结构和信息时可以知道的，是一个数学

模型，可以两个数学方程来表征。首先，通过对状态空间的表述，我们至少要

表明状态空间和状态的基本概念，以及对状态空间的基本描述的内涵、形式、

建立方法、特性和变换，以及其对组合的系统的推广。

接着线性系统理论着重对系统运动规律的定量分析。分别就连续时间系统

和离散时间系统分析。

线性定常连续系统的自由运动

在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系

统的自由运动，可由齐次状态方程描述

)()(tAxtx



齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求

解。

幂级数法：

设齐次方程的解是t的向量幂级数

k

k

tbtbtbbtx2

210

)(

式中，

,,,,,

10k

bbbx

都是n维向量，且0

)0(bx

，求导并考虑状态方程，

得

)(2)(2

210

1

21





k

k

k

k

tbtbtbbAtkbtbbtx

拉普拉斯变换法：

取拉氏变换，

)0()()(1xAsIsX

凯莱－哈密顿定理法：

矩阵A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为

1

110

()[]nn

n

fIAaaa





则有

0)(

01

1

1





IaAaAaAAfn

n

n

线性离散系统的运动分析

递推法(迭代法)：适合于线性定常和时变系统；

G、H是定常矩阵。

给定k=0时的初始状态x(0)，及任意时刻u(k)

由迭代法得：

....

(1)解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线。它与连续系统

状态的解很相似。解的第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引

起的自由运动分量。第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值

与控制作用u的大小、性质及系统的结构有关。

[1]()()xkTGxkTHuKT

2

32

(1)(0)(0)

(2)(1)(1)(0)(0)(1)

(3)(2)(2)(0)(0)(1)(0)

xGxHu

xGxHuGxGHuHu

xGxHuGxGhuGhuGhu







1

0

()(0)()

k

kkji

j

xkGxGHui









(2)在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采

样值，与第k个时刻的输入采样值无关。

Z变换法：仅适合于线性定常系统。

由于

将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式。

线性系统的运动规律分析的实质，归结为相对于给定输入和初始状态求解

系统状态求解系统状态方程，建立因果关系的解析形式解。

（二）能控性和能观性

在对系统运动分析后，然后围绕能控性和能观性两个基本结构特性，重点

是针对连续时间时不变系统。

能控性判别准则-----三个定理

（1）线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵

是满秩的。

若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条

件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。

若A为约旦型，则系统能控的充要条件是：

（I）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的零。

（II）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。

（三）稳定性

外部稳定性和内部稳定性

1.外部稳定性（BIBO稳定性）

称一个因果系统为外部稳定，如果对任意一个有界输入u(t),即满足条件

对应的输出y(t)均为有界，即有

2.内部稳定性（渐近稳定性）

如果由时刻任意非零初始条件引起的状态零输入响应

1()()[(0)()]xzzIGzxHUz

()

1

z

Uz

z





21[,,,...]nMBABABAB

10

(),[,)uttt

20,

(),[)yttt

000

(),(),[,)xAtxxtxtt

0

t

00

()xtx

对所为有界，并满足渐近属性即成立。

3.李亚普诺夫意义下运动稳定性的概念：

李亚普诺夫第一方法：小范围内稳定性分析方法，泰勒展开，线性化。

李亚普诺夫第二方法：广义能量属性的李亚普诺夫函数。

自治系统：

平衡状态：

受扰运动：自治系统由初态引起的运动。

（四）线性反馈系统的时间域综合

研究控制系统主要有两大类问题：

一是:已知控制系统，通过各种手段，如：时域、频域、根轨迹、状态空间

等方法和手段对系统的各种性能进行分析，这就是控制系统的分析问题；

二是:对未知的控制系统进行设计使其满足某种性能指标要求，这称为控制

系统的综合问题。

无论是经典控制理论还是现代控制理论，反馈都是控制系统设计的主要方

式。经典控制理论用传递函数描述系统，因此只能采用输出反馈；而在现代控

制理论中，由于采用系统内部的状态变量来描述系统的特征，所以除了可以采

用输出反馈外，还大量使用状态反馈。

在进行控制系统设计时，由于状态反馈能提供更多的校正信息，对于控制

系统性能的改善和提高具有很重要的意义。

为了利用系统状态作为反馈量，必须使用传感器来测量状态变量，但由于

并不是所有状态变量在物理上均可量测，所以需要用状态观测器来估计系统状

态的值。因此，状态反馈与状态观测器的设计就构成了用状态空间法综合设计

控制系统的主要内容。

极点配置问题:如果对控制系统的性能要求用一组给定的极点来描述，控制

系统的综合问题就称为极点配置问题；

最优控制问题：如果控制系统的性能要求是由某个最优指标描述，这时的

控制系统综合就称为最优控制问题。

二．线性系统理论数学模型建立

由上述可知，现代线性控制理论与经典理论相比，所采用的方法和算法更

适合于在数字计算机上进行，又由于很多实际系统都可用线性系统模型近似的

0

[,)tt()

u

xt



lim()0

u

t

xt







()0ut

0000

(,),(),[,)xfxtxtxxt

0

(,)0,[,)

ee

xfxttt

描述，所以它的应用范围十分广泛。在航空、航天、航海、机械、电器、力学

等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在20世纪50年代中期迅速兴起

的空间技术，线性系统理论得到了大力推动发展和应用，来解决例如把火箭或

飞行器用最少燃料或最短时间准确发射到预定轨道一类的控制问题。

上面所说的火箭最少燃料或最短时间问题可以归结为最速下降问题，这个

问题不仅是一个典型的线性系统理论问题，同时也是一个最优控制（现代控制

理论另外一个很重要的分支）问题。1969年，美国阿波罗11号载人登月，就

是最速下降问题实际应用的一个成功范例，下面我将对最速下降问题进行简单

介绍。

下面是最速下降问题的数学模型：

设有一物体M作垂直升降运动，如图所示。

外作用力u(t)是有限的。

设：

|

u

(

t

)|

≤u

max

(常数)

要求：物体M以最快的速度到

达地面，且到达地面时的速度为0。

求：u(t)=?

首先将这个问题的数学模型简化出来，这样我们就可以描述这个线性系统

问题。

依据题意及示意图，设物体质量为m,显然根据物理关系可以得到：m

d2x

dt2

=

u

(

t

)

−mg。

设m=1,则

d2x

dt2

=u

(

t

)

−g，并设x

1

=x，x

2

=x。

则可以推导出系统状态方程为：ẋ

1

=x

2

,ẋ

2

=u−g。

又设t

0

表示初始时刻，t

f

表示终端时刻，x

(

t

)

=x

1

(t)表示物体距地面的高度，

ẋ

(

t

)

=x

2

(t)表示物体运行速度，那么有：

[

x

1

(t

0

)

x

2

(t

0

)

]表示初始状态，[

x

1

(t

f

)

x

2

(t

f

)

]表示终端状态。

所以，该线性系统问题可描述为：

对于系统{

ẋ

1

=x

2

ẋ

2

=u−g

，在初始状态[

x

1

(t

0

)

x

2

(t

0

)

]任意，终端状态[

x

1

(t

f

)

x

2

(t

f

)

]=[

0

0

]的

情况下，求满足约束条件

|

u

(

t

)|

≤u

max

(常数)的u(t),使：

∮

dtt

f

t

0

=t

f

−t

0

最小。

由这个最速下降问题数学模型的建立可以看出，线性系统的理论和方法是

建立在其模型基础之上的。不管是对系统进行分析还是综合，一个首要的前提

是建立起系统数学模型。建立模型时，最重要的是确定什么事需要反映和研究

的主要系统属性，并在此基础上来定出他们的定量关系。随着所观察问题的性

质不同，一个系统可以有不同的模型，它们代表了系统不同侧面的属性。系统

数学模型的基本要素是变量、参量、常量和它们之间的关系。变量包括状态变

量、输入变量和输出变量，有些情况下还需考虑扰动变量。参量可以是系统的

参数或表征系统性能的参数，前者受系统环境的影响可产生变动，后者可随设

计要求而人为地改变其取值。常量是指系统中不随时间改变的参数。线性系统

的数学模型有两种主要形式，即时间域模型和频率域模型，时间域模型表现为

微分方程组或差分方程组，可同时适用于线性时不变和线性时变系统。频率域

模型表现为传递函数和频率响应，只适应于线性时不变系统。对应于系统的这

两项模型，已经发展和形成线性系统理论中的两类不同方法。

在线性系统理论中，输入变量、状态变量和输出变量三者之间的数学关系

被看作是线性的，系统数学模型的描述有两种基本类性。

这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由

反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。文章中所研究的系统均

假定具有若干输入端和输出端，如图所示。

图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对

环境的作用为系统输出，二者分别用量u=[u

1

，u

2

，Λ，u

p

]T

和y=[y

1

，

y

2

，Λ，y

p

]T

表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况

的变量为内部变量，以x=[x

1

，x

2

，L，x

n

]T

向量表示。系统的数学描述是反映

系统变量间的因果关系和变换关系的一种数学模型。

系统的数学模型通常有两种基本类型。一种是系统的外部描述，即输入—

输出描述。

系统描述的另一种类型是内部描述，及状态空间描述。这种描述是基于系

统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程式组成。一是反映系统

内部变量x=[x

1

，x

2

，L，x

n

]T

和输入变量u=[u

1

，u

2

，Λ，u

p

]T

间因果关系的

数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一个表征

系统内部变量x=[x

1

，x

2

，L，x

n

]T

及变量u=[u

1

，u

2

，Λ，u

p

]T

和输出变量

y=[y

1

，y

2

，Λ，y

p

]T

间转换关系的数学式，具有袋鼠方程的形式，称为输出方

程。仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。

三．线性系统理论应用——智能控制简介

很多实际系统（工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等）都可以用

线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用

范围十分广泛。在航空、航天、化工、机械、电机等技术领域中，线性系统理

论都有应用实例。在科学领域，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分

支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题，例如

时下很热门的一个研究方向——智能控制。

智能控制（IntelligentControl）是传统控制发展的高级阶段，是控制技术高

度分化且综合的重要产物。由于一些被控独享呈现高度的时变性、非线性、时

滞性和不确定性，简单的控制策略已不能满足现代控制的要求，综合的、集成

的智能控制技术成为研究和应用的热点。智能控制作为一门新的学科分支，得

到了普遍的承认，并且已经被广泛的应用于工业、农业、服务业、军事航空等

各个领域。近年来，随着人工智能技术和其他信息处理技术，尤其是信息论、

系统论和控制论的发展，智能控制在机理和应用实践方面取得了突破性的进展。

遗传算法与模糊逻辑、神经网路相互融合，通过模拟认得思维方式和结构来设

计用于解决复杂的各种非线性问题的控制策略，并已在各种实际工程项目中得

到应用，取得了良好的效果。分布式人工智能中的Agent和MultiAgentSystem

已成为研究的热点，构建基于Agent的集散递阶结构的智能控制系统为智能控

制注入了新的活力。

许多工业连续生产线上，例如：化工、冶炼、材料加工、轧钢等，由于反

应机理复杂，关联耦合严重，环境干扰不确定，要求与约束多样等原因，对其

系统运行情况和过程的信息了解较少，自动化集成控制应用存在一定的难度，

需要运用智能控制模式。生产过程的智能控制主要包括两个方面：局部及和全

局级。局部及的智能控制是将智能引入工艺过程的某一单元进行控制器的设计，

例如专家控制器、智能PID控制器、神经元网络控制器等。全局级的智能控制

主要针对整个生产的自动化，包括整个操作工艺的控制，过程的故障诊断，规

划过程操作处理异常等。针对局部智能控制设计，目前研究的热点是智能PID

控制器的设计。因为PID控制至今仍是工业控制中最广泛的控制规律，单常规

的PID控制已不鞥满足现在复杂的工业生产，所以就有必要将人工智能技术与

传统的PID控制规律结合为智能PID控制。通过智能技术的加盟，智能PID控

制器相比传统的PID控制器，在参数的整定和在线自适应调整方面有其显著的

优越性，并可用于控制一些非线性的复杂对象。专家控制系统把专家操作经验

和计算机强大的计算机能力结合起来，具有启发式推理的能力，能对时变、非

线性、易受干扰的复杂控制对象取得较好的控制效果，主要应用于系统设计、

仿真建模、参数整定、故障检测及过程监控。

但现有专家控制系统无法表达符号以外的知识，存在只是获取困难和知识

库无法自动更新的缺憾。模糊控制具备人类模糊语言信息的能力，可模拟人类

进行判断和决策。神经网络控制具有并行处理和高度自组织、自学习、自适应

能力、但它不能描述和处理模糊信息，运行过程不具有推理的透明性。智能控

制一般不具有解析性，没有通用的稳定性判定方法，还有很多方面有待进一步

完善。由于智能控制理论的建立至今不过短短十几年时间，虽然也建立起了基

本框架和理论思路，但就其作为一门学科而言，还远未成熟。对智能控制理论

研究的意义在于：如果没有严格的科学的理论指导，满目的应用是不会取得持

续的成功。智能控制的主要研究领域是经典控制无法解决的故事、气象等广义

的传统领域。也包括了控制对象不断复杂化，控制过程不断智能化的工业、制

造业等工程领域。正是由于这些传统控制方法无力解决的问题，成为智能控制

发展的动力，也使智能控制的发展充满活力与希望。但在智能控制发展的热潮

中，应当看到，国内外智能控制的应用研究的成果层出不穷与理论研究的缓慢

发展甚至是停滞不前形成了一种不平衡现象。智能控制的工程应用还有待进一

步开发和推广，还需要以更充分的范例体现其发展的必要性和应用的优越性。

通过完成线性系统理论综述论文，不仅将课本内容重新梳理了一遍，而且

在查找文献资料的过程中对这门课程有了更直观的了解。