勒洛三角形

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．﹣

2019

的倒数的相反数是（）

A

．﹣

2019B

．

1

2019

C

．

1

2019

D

．

2019

2．如图，在ABC中，ACBC，90ACB，折叠ABC使得点C落在AB边上的点E处，折痕为AD．连

接DE、CE，下列结论：①△DBE是等腰直角三角形；②ABACCD；③

BEBD

ACAB



；④

CDEBDE

SS





．其

中正确的个数是（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

3．某河堤横断面如图所示，堤高10BC米，迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC

之比），则AC的长是（）

A

．103米

B

．

20

米

C

．203米

D

．

30

米

4．如图,A、B、C、D是

O

上的四点,OABC,50AOB,则ADC的度数是（）

A

．25B

．

30C

．40D

．50

5．下列命题错误

．．

的是

()

A

．经过三个点一定可以作圆

B

．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

C

．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

D

．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

6．抛物线

y

＝

x2﹣

2x+3

的顶点坐标是（）

A

．（

1

，

3

）

B

．（﹣

1

，

3

）

C

．（

1

，

2

）

D

．（﹣

1

，

2

）

7．如图，在平行四边形

ABCD

中，点

E

在边

DC

上，

DE

：

EC=3

：

1

，连接

AE

交

BD

于点

F

，则

△DEF

的面积与

△BAF

的面积之比为（）

A

．

3

：

4B

．

9

：

16C

．

9

：

1D

．

3

：

1

8．计算2(3)的结果是（）

A

．－

3B

．

9C

．

3D

．－

9

9．如图，四边形ABCD内接于

O,E为CD延长线上一点

,

若110B，则ADE的度数为（）

A

．

35

B

．

55

C

．70D

．110

10．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的

3

张卡片，上面分别标有数字

1

，

2

，

3

，从中任

意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为

()

A

．

5

9

B

．

4

9

C

．

5

6

D

．

1

3

11．如图，在

ABCD

中，∠

DAB

＝

10°

，

AB

＝

8

，

AD

＝

1

．⊙

O

分别切边

AB

，

AD

于点

E

，

F

，且圆心

O

好落在

DE

上．现

将⊙

O

沿

AB

方向滚动到与

BC

边相切（点

O

在

ABCD

的内部），则圆心

O

移动的路径长为（）

A

．

2B

．

4C

．

5

﹣3D

．

8

﹣

23

12．

sin60°

的值是

()

A

．

1

2

B

．

3

3

C

．

3

2

D

．3

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，已知点

A

，点

C

在反比例函数

y

＝

k

x

（

k

＞

0

，

x

＞

0

）的图象上，

AB

⊥

x

轴于点

B

，

OC

交

AB

于点

D

，若

CD

＝

OD

，则△

AOD

与△

BCD

的面积比为

__

．

14．已知关于

x

的一元二次方程

ax2+

bx

+5

a

＝

0

有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为

_____

．

15．如图，已知点

A

，

C

在反比例函数

(0)

a

ya

x



的图象上，点

B

，

D

在反比例函

(0)

b

yb

x



的图象上，

AB

∥

CD

∥

x

轴，

AB

，

CD

在

x

轴的两侧，

AB=5

，

CD=4

，

AB

与

CD

的距离为

6

，则

a

−b

的值是

_______.

16．已知在RtABC中，90C，

1

cot

3

B，2BC，那么AC_____________.

17．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角

形称为

“

勒洛三角形

”

，若等边三角形的边长为

2

，则

“

勒洛三角形

”

的面积为

_________

．

18．如图，矩形

ABCD

的顶点

A

、

B

在

x

轴的正半轴上，反比例函数

y

＝

k

x

(

k

≠

0)

在第一象限内的图象经过点

D

，交

BC

于点

E

．若

AB

＝

4

，

CE

＝

2

BE

，

tan

∠

AOD

＝

3

4

，则

k

的值

_____

．

三、解答题（共78分）

19．（8分）如图，菱形

ABCD

中，∠

B

＝

60°

，

AB

＝

3

cm

，过点

A

作∠

EAF

＝

60°

，分别交

DC

，

BC

的延长线于点

E

，

F

，连接

EF

．

（

1

）如图

1

，当

CE

＝

CF

时，判断△

AEF

的形状，并说明理由；

（

2

）若△

AEF

是直角三角形，求

CE

，

CF

的长度；

（

3

）当

CE

，

CF

的长度发生变化时，△

CEF

的面积是否会发生变化，请说明理由．

20．（8分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国•朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等

级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）参加朗诵比赛的学生共有人，并把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中，m=，n=；C等级对应扇形有圆心角为度；

（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小

明参加市朗诵比赛的概率．

21．（8分）在一次篮球拓展课上，A，

B

，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随

机地传给另外两人中的某一人．例如：第一次由A传球，则A将球随机地传给

B

，C两人中的某一人．

（

1

）若第一次由A传球，求两次传球后，球恰好回到A手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）

（

2

）从A，

B

，C三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在A手中的概率．（要求用画树状图法

或列表法）

22．（10分）如图，已知抛物线25yaxbx0a

与

x

轴相交于A、

B

两点，与

y

轴相交于C点，对称轴为1x，

直线

3yx

与抛物线相交于A、D两点

.

（

1

）求此抛物线的解析式；

（

2

）P为抛物线上一动点，且位于

3yx

的下方，求出ADP面积的最大值及此时点P的坐标；

（

3

）设点

Q

在

y

轴上，且满足

OQAOCACBA

，求

CQ

的长

.

23．（10分）如图，顶点为

M

的抛物线

y=a(x+1)2-4

分别与

x

轴相交于点

A

，

B(

点

A

在点

B

的

)

右侧

)

，与

y

轴相交于点

C(0

，﹣

3)

．

(1)

求抛物线的函数表达式；

(2)

判断△

BCM

是否为直角三角形，并说明理由．

(3)

抛物线上是否存在点

N(

不与点

C

重合

)

，使得以点

A

，

B

，

N

为顶点的三角形的面积与

S△ABC

的面积相等？若存在，

求出点

N

的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线

AB

与函数

y

＝

k

x

（

x

＞0

）的图象交于点

A

（

m

，2），

B

（2，

n

）．过

点

A

作

AC

平行于

x

轴交

y

轴于点

C

，在

y

轴负半轴上取一点

D

，使

OD

＝

1

2

OC

，且△

ACD

的面积是

6

，连接

BC

．

（1

）求

m

，

k

，

n

的值；

（2

）求△

ABC

的面积．

25．（12分）如图，矩形

AOBC

放置在平面直角坐标系

xOy

中，边

OA

在

y

轴的正半轴上，边

OB

在

x

轴的正半轴上，

抛物线的顶点为

F

，对称轴交

AC

于点

E

，且抛物线经过点

A

（

0

，

2

），点

C

，点

D

（

3

，

0

）．∠

AOB

的平分线是

OE

，

交抛物线对称轴左侧于点

H

，连接

HF

．

（

1

）求该抛物线的解析式；

（

2

）在

x

轴上有动点

M

，线段

BC

上有动点

N

，求四边形

EAMN

的周长的最小值；

（

3

）该抛物线上是否存在点

P

，使得四边形

EHFP

为平行四边形？如果存在，求出点

P

的坐标；如果不存在，请说明

理由．

26．元旦期间，小黄自驾游去了离家

156

千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离

y

（千米）与汽车行驶时间

x

（小

时）之间的函数图象．

（

1

）求小黄出发

0.5

小时时，离家的距离；

（

2

）求出

AB

段的图象的函数解析式；

（

3

）小黄出发

1.5

小时时，离目的地还有多少千米？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

C

【分析】先求

-2019

的倒数，再求倒数的相反数即可；

【详解】解：﹣

2019

的倒数是

1

2019

，

1

2019

的相反数为

1

2019

，

故答案为：

C

．

【点睛】

本题考查倒数和相反数．熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．

2、

C

【分析】根据折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质、三角形的面积公式逐个判断即可

得．

【详解】由折叠的性质得：

,,90ACAECDDEAEDACD

又

,90ACBCACB

45BCAB

在DBE中，

19,9058004AEDBDEBBED

即45BDEB，则DBE是等腰直角三角形，结论①正确

由结论①可得：DEBE

,ACAECDDE

ABAEBEACDEACCD，则结论②正确

90BEDBCA

BB











BEDBCA

BC

BEBD

AB



ACBC

BEBD

ACAB



，则结论③正确

如图，过点

E

作EFBC

11

22

1

2

CDE

BDE

SCDEFDEEF

SBDEF

























由结论①可得：DBE是等腰直角三角形，DEBE

由勾股定理得：2BDDE

12

2

22BDECDE

SBDEFDEEFS



，则结论④错误

综上，正确的结论有①②③这

3

个

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟记并灵活运用各定理与

性质是解题关键．

3、

A

【分析】由堤高10BC米，迎水坡

AB

的坡比1:3，根据坡度的定义，即可求得

AC

的长．

【详解】∵迎水坡

AB

的坡比1:3，

∴

1

3

BC

AC



，

∵堤高10BC米，

∴3310103ACBC(

米

).

故选

A.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用

-

坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键

4、

A

【分析】根据垂径定理得ACAB，结合50AOB和圆周角定理，即可得到答案

.

【详解】∵OABC,

∴ACAB,

∵50AOB,

∴

1

25

2

ADCAOB．

故选：

A

．

【点睛】

本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键

.

5、

A

【解析】选项

A

，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项

B

，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；

选项

C，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正

确；故选

A.

6、

C

【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．

【详解】解：∵

y

＝

x2﹣

2x+3

＝（

x

﹣

1

）2+2

，

∴顶点坐标为（

1

，

2

），

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法．

7、

B

【分析】可证明△

DFE

∽△

BFA

，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．

【详解】∵四边形

ABCD

为平行四边形，

∴DC∥AB

，

∴△DFE∽△BFA

，

∵DE

：

EC=3

：

1

，

∴DE

：

DC=3

：

4

，

∴DE

：

AB=3

：

4

，

∴S

△DFE：

S

△BFA

=9

：

1

．

故选

B

．

8、

C

【解析】直接计算平方即可

.

【详解】2(3)3

故选

C.

【点睛】

本题考查了二次根号的平方，比较简单

.

9、

D

【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠

ADC

的度数，再求∠

ADE

的度数即可

.

【详解】解：四边形ABCD内接于,110OB

180ADC-70B,

180110ADEADC．

故选

:D．

【点睛】

本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角

.

10、

B

【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．

【详解】解：由题意可画树状图如下：

根据树状图可知：两次摸球共有

9

种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有

4

种，所以两次摸出

球所标数字之和为奇数的概率为：

4

9

．

【点睛】

本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．

11、

B

【分析】如图所示，⊙

O

滚过的路程即线段

EN

的长度

.EN=AB-AE-BN

，所以只需求

AE

、

BN

的长度即可

.

分别根据

AE

和

BN

所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可

.

【详解】解：连接

OE

，

OA

、

BO

．

∵

AB

，

AD

分别与⊙

O

相切于点

E

、

F

，

∴

OE

⊥

AB

，

OF

⊥

AD

，

∴∠

OAE

＝∠

OAD

＝

30

°，

在

Rt

△

ADE

中，

AD

＝

1

，∠

ADE

＝

30

°，

∴

AE

＝

1

2

AD

＝

3

，

∴

OE

＝

3

3

AE

＝3，

∵

AD

∥

BC

，∠

DAB

＝

10

°，

∴∠

ABC

＝

120

°．

设当运动停止时，⊙

O

′与

BC

，

AB

分别相切于点

M

，

N

，连接

O

′

N

，

O

′

M

．

同理可得，∠

BO

′

N

为

30

°，且

O

′

N

为3，

∴

BN

＝

O

′

N

•

tan30

°＝

1

cm

，

EN

＝

AB

﹣

AE

﹣

BN

＝

8

﹣

3

﹣

1

＝

2

．

∴⊙

O

滚过的路程为

2

．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行四边形的性质及解直角三角形等知识

.

关键是计算出

AE

和

BN

的长度

.

12、

C

【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可

.

【详解】

sin60°=

3

2

，

故选

C.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键

.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、

1

．

【分析】作

CE

⊥

x

轴于

E

，如图，利用平行线分线段成比例得到

OB

OE

＝

BD

CE

＝

OD

OC

＝

1

2

，设

D

（

m

，

n

），则

C

（

2

m

，

2

n

），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到

k

＝

4

mn

，则

A

（

m

，

4

n

），然后根据三角形面积公式用

m

、

n

表示

S△AOD

和

S

△BCD

，从而得到它们的比．

【详解】作

CE

⊥

x

轴于

E

，如图，

∵

DB

∥

CE

，

∴

OB

OE

＝

BD

CE

＝

OD

OC

＝

1

2

，

设

D

（

m

，

n

），则

C

（

2

m

，

2

n

），

∵

C

（

2

m

，

2

n

）在反比例函数图象上，

∴

k

＝

2

m

×2

n

＝

4

mn

，

∴

A

（

m

，

4

n

），

∵

S

△

AOD＝

1

2

×

（

4

n

﹣

n

）

×

m

＝

3

2

mn

，

S

△

BCD＝

1

2

×

（

2

m

﹣

m

）

×

n

＝

1

2

mn

∴△

AOD

与

△

BCD

的面积比＝

3

2

mn

：

1

2

mn

＝

1

．

故答案为

1

．

【点睛】

考核知识点：平行线分线段成比例，反比例函数；数形结合，利用平行线分线段成比例，反比例函数定义求出点的坐

标关系是关键

.

14、

25

【分析】根据根的判别式，令=0，可得2220=0ba，解方程求出

b

＝﹣

25a

，再把

b

代入原方程，根据韦达定

理：

12

b

xx

a



即可．

【详解】当关于

x

的一元二次方程

ax2+

bx

+5

a

＝

0

有两个正的相等的实数根时，

=0，即2220=0ba，

解得

b

＝﹣

25a

或

b

＝

25a

（舍去），

原方程可化为

ax2﹣

25ax

+5

a

＝

0

，

则这两个相等实数根的和为25．

故答案为：

25．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

15、

40

3

【分析】利用反比例函数

k

的几何意义得出

a-b=4•OE

，

a-b=5•OF

，求出

45

abab

=6

，即可求出答案．

【详解】如图，

∵由题意知：

a-b=4•OE

，

a-b=5•OF

，

∴

OE=

4

ab

，

OF=

5

ab

，

又∵

OE+OF=6

，

∴

45

abab

=6

，

∴

a-b=

40

3

，

故答案为：

40

3

．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程

45

abab

=6

是解此题的关键．

16、1

【分析】根据三角函数的定义即可求解．

【详解】∵

cotB=

BC

AC

，

∴

AC=1

3

BCBC

cotB



=3BC=1

．

故答案是：

1

．

【点睛】

此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比

斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．

17、223

【分析】图中勒洛三角形是由三块相同的扇形叠加而成，其面积



三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可．

【详解】解：过A作ADBC于D，

∵ABC是等边三角形，

2ABACBC，60BACABCACB∠∠∠，

ADBC，

1BDCD，33ADBD，

ABC的面积为

1

3

2

BCAD

，

26022

3603BAC

S









扇形

，



勒洛三角形的面积

3222

2

33

3

S

，

故答案为：223．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出勒洛三角形的面积



三块扇形的面积相加、再减去

两个等边三角形的面积是解此题的关键．

18、

1

【解析】由

tan

∠

AOD

＝

3

4

，可设

AD

＝

1a

、

OA

＝

4a

，在表示出点

D

、

E

的坐标，由反比例函数经过点

D

、

E

列出关

于

a

的方程，解之求得

a

的值即可得出答案．

【详解】解：∵

tan

∠

AOD

＝

AD

OA

＝

3

4

，

∴设

AD

＝

1a

、

OA

＝

4a

，

则

BC

＝

AD

＝

1a

，点

D

坐标为（

4a

，

1a

），

∵

CE

＝

2BE

，

∴

BE

＝

1

3

BC

＝

a

，

∵

AB

＝

4

，

∴点

E

（

4+4a

，

a

），

∵反比例函数

k

y

x

经过点

D

、

E

，

∴

k

＝

12a2＝（

4+4a

）

a

，

解得：

a

＝

1

2

或

a

＝

0

（舍），

∴

D

（

2

，

3

2

）

则

k

＝

2×

3

2

＝

1

．

故答案为

1

．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点

D

、

E

的坐标及反比例函数图象上点的横

纵坐标乘积都等于反比例系数

k

．

三、解答题（共78分）

19、

(1)

△

AEF

是等边三角形，证明见解析；

(2)

CF

＝

3

2

，

CE

＝

6

或

CF

＝

6

，

CE

＝

3

2

；

(3)

△

CEF

的面积不发生变化，

理由见解析

.

【分析】（

1

）证明△

BCE

≌△

DCF

（

SAS

），得出∠

BE

＝

DF

，

CBE

＝∠

CDF

，证明△

ABE

≌△

ADF

（

SAS

），得出

AE

＝

AF

，即可得出结论；

（

2

）分两种情况：①∠

AFE

＝

90°

时，连接

AC

、

MN

，证明△

MAC

≌△

NAD

（

ASA

），得出

AM

＝

AN

，

CM

＝

DN

，证

出△

AMN

是等边三角形，得出

AM

＝

MN

＝

AN

，设

AM

＝

AN

＝

MN

＝

m

，

DN

＝

CM

＝

b

，

BM

＝

CN

＝

a

，证明

△

CFN

∽△

DAN

，得出

CFFNCNa

ADANDNb



，得出

FN

＝

am

b

，

AF

＝

m

+

am

b

，同理

AE

＝

m

+

bm

a

，在

Rt

△

AEF

中，

由直角三角形的性质得出

AE

＝

2

AF

，得出

m

+

bm

a

＝

2

（

m

+

am

b

），得出

b

＝

2

a

，因此

1

2

CF

AD

，得出

CF

＝

1

2

AD

＝

3

2

，

同理

CE

＝

2

AB

＝

6

；

②∠

AEF

＝

90°

时，同①得出

CE

＝

1

2

AD

＝

3

2

，

CF

＝

2

AB

＝

6

；

（

3

）作

FH

⊥

CD

于

H

，如图

4

所示：由（

2

）得

BM

＝

CN

＝

a

，

CM

＝

DN

＝

b

，证明△

ADN

∽△

FCN

，得出

ADDNb

CFCNa



，

由平行线得出∠

FCH

＝∠

B

＝

60°

，△

CEM

∽△

BAM

，得出

CECMb

ABBMa



，得出

ADCE

CFAB



，求出

CF

×

CE

＝

AD

×

AB

＝

3×3

＝

9

，由三角函数得出

CH

＝

CF

×sin

∠

FCH

＝

CF

×sin60°

＝

3

2

CF

，即可得出结论．

【详解】解：（

1

）△

AEF

是等边三角形，理由如下：

连接

BE

、

DF

，如图

1

所示：

∵四边形

ABCD

是菱形，

∴

AB

＝

BC

＝

DC

＝

AD

，∠

ABC

＝∠

ADC

，

在△

BCE

和△

DCF

中，

BDDC

BCEDCF

CECF

















，

∴△

BCE

≌△

DCF

（

SAS

），

∴∠

BE

＝

DF

，

CBE

＝∠

CDF

，

∴∠

ABC

+

∠

CBE

＝∠

ADC

+

∠

CDF

，

即∠

ABE

＝∠

ADF

，

在△

ABE

和△

ADF

中，

ABAD

ABEADF

BEDF

















，

∴△

ABE

≌△

ADF

（

SAS

），

∴

AE

＝

AF

，又∵∠

EAF

＝

60°

，

∴△

AEF

是等边三角形；

（

2

）分两种情况：

①∠

AFE

＝

90°

时，连接

AC

、

MN

，如图

2

所示：

∵四边形

ABCD

是菱形，

∴

AB

＝

BC

＝

DC

＝

AD

＝

3

，∠

D

＝∠

B

＝

60°

，

AD

∥

BC

，

AB

∥

CD

，

∴△

ABC

和△

ADC

是等边三角形，

∴

AC

＝

AD

，∠

ACM

＝∠

D

＝∠

CAD

＝

60°

＝∠

EAF

，

∴∠

MAC

＝∠

NAD

，

在△

MAC

和△

NAD

中，

MACNAD

ACAD

ACMD

















，

∴△

MAC

≌△

NAD

（

ASA

），

∴

AM

＝

AN

，

CM

＝

DN

，

∵∠

EAF

＝

60°

，

∴△

AMN

是等边三角形，

∴

AM

＝

MN

＝

AN

，

设

AM

＝

AN

＝

MN

＝

m

，

DN

＝

CM

＝

b

，

BM

＝

CN

＝

a

，

∵

CF

∥

AD

，

∴△

CFN

∽△

DAN

，

∴

CFFNCNa

ADANDNb



，

∴

FN

＝

am

b

，

∴

AF

＝

m

+

am

b

，

同理：

AE

＝

m

+

bm

a

，

在

Rt

△

AEF

中，∵∠

EAF

＝

60°

，

∴∠

AEF

＝

30°

，

∴

AE

＝

2

AF

，

∴

m

+

bm

a

＝

2

（

m

+

am

b

），

整理得：

b2﹣

ab

﹣

2

a2＝

0

，

（

b

﹣

2

a

）（

b

+

a

）＝

0

，

∵

b

+

a

≠0

，

∴

b

﹣

2

a

＝

0

，

∴

b

＝

2

a

，

∴

CF

AD

＝

1

2

，

∴

CF

＝

1

2

AD

＝

3

2

，

同理：

CE

＝

2

AB

＝

6

；

②∠

AEF

＝

90°

时，连接

AC

、

MN

，如图

3

所示：

同①得：

CE

＝

1

2

AD

＝

3

2

，

CF

＝

2

AB

＝

6

；

（

3

）当

CE

，

CF

的长度发生变化时，△

CEF

的面积不发生变化；理由如下：

作

FH

⊥

CD

于

H

，如图

4

所示：

由（

2

）得：

BM

＝

CN

＝

a

，

CM

＝

DN

＝

b

，

∵

AD

∥

CF

，

∴△

ADN

∽△

FCN

，

∴

ADDNb

CFCNa



，

∵

CE

∥

AB

，

∴∠

FCH

＝∠

B

＝

60°

，△

CEM

∽△

BAM

，

∴

CECMb

ABBMa



，

∴

ADCE

CFAB



，

∴

CF

×

CE

＝

AD

×

AB

＝

3×3

＝

9

，

∵

CH

＝

CF

×sin

∠

FCH

＝

CF

×sin60°

＝

3

2

CF

，

△

CEF

的面积＝

1

2

CE

×

FH

＝

1

2

CE

×

3

2

CF

＝

1

2

×9×

3

2

＝

93

4

，∴△

CEF

的面积是定值，不发生变化．

【点睛】

本题考查了三角形全等，三角形相似的判定及性质，三角函数的应用，相似的的灵活应用是解题的关键

20、（1）40，补图见解析；（2）10，40，144；（3）

1

2

【解析】试题分析：（

1

）根据

D

等级的有

12

人，占总数的

30%

，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数

求得

B

等级的人数，从而作出直方图；

（

2

）根据百分比的定义求得

m

、

n

的值，利用

360°

乘以

C

等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；

（

3

）利用列举法即可求解．

试题解析：（

1

）参加演讲比赛的学生共有：

12÷30%=40

（人），

则

B

等级的人数是：

40-4-16-12=8

（人）．

（

2

）

A

所占的比例是：

4

40

×100%=10%

，

C

所占的百分比：

16

40

×100%=40%

．

C

等级对应扇形的圆心角是：

360×40%=144°

；

（

3

）设

A

等级的小明用

a

表示，其他的几个学生用

b

、

c

、

d

表示．

共有

12

种情况，其中小明参加的情况有

6

种，则

P

（小明参加比赛）

=

61

122



．

考点：

1

．条形统计图；

2

．扇形统计图；

3

．列表法与树状图法．

21、（

1

）

1

2

，树状图见解析；（

2

）

1

3

，树状图见解析

【分析】（

1

）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．

（

2

）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．

【详解】解：（

1

）画树状图得：

∵共有

4

种等可能的结果，两次传球后，球恰在A手中的只有

2

种情况，

∴两次传球后，球恰在A手中的概率为

21

42



．

（

2

）根据题意画树状图如下：

∴共有

12

种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在A手中的有

4

种情况，

∴第二次传球后，球恰好在A手中的概率是

41

123



．

【分析】本题主要考查了树状图求概率的方法，正确掌握树状图求概率的方法是解题的关键．

22、（

1

）2

12

5

33

yxx；

（

2

）当

5

2

t

时，

ADP

S



取最大值

1331

24

，此时P点坐标为

555

,

212









.

（3）

7CQ

或

17.

【分析】（

1

）根据对称轴与点

A

代入即可求解；

（

2

）先求出8,11D

，过P点作

y

轴的平行线，交直线AD于点M，设2

12

,5

33

Pttt









，得到,3Mtt

，

2

15

8

33

PMtt

，表示出2

11115

8

2233ADPAD

SPMxxtt











，根据二次函数的性质即可求解；

（

3

）根据题意分①当

Q

在

y

轴正半轴上时，②当

Q

在

y

轴负半轴上时利用相似三角形的性质即可求解

.

【详解】（

1

）∵对称轴为

x

＝−

1

，

∴−

2

b

a

＝−

1

，

∴

b

＝

2a

，

∴

y

＝

ax2＋

2ax

−

5

，

∵

y

＝−

x

＋

3

与

x

轴交于点

A

（

3

，

0

），

将点

A

代入

y

＝

ax2＋

2ax−5

可得

a

＝

1

3

∴2

12

5

33

yxx.

（

2

）令2

12

53

33

xxx

，解得：

1

3x，

2

8x

，

∴8,11D

，

过P点作

y

轴的平行线，交直线AD于点M，

设2

12

,5

33

Pttt









，则,3Mtt

，

∴2

15

8

33

PMtt

，83t，

则2

11115

8

2233ADPAD

SPMxxtt











，

∵

1

0

3



，

∴当

5

2

t时，

ADP

S



取最大值

1331

24

，

此时P点坐标为

555

,

212









.

（

3

）存在，

理由：①当

Q

在

y

轴正半轴上时，如图，

过点

Q

作

QNAC

于N，

根据三角形的外角的性质得，

OQAOCAQAN

，

又∵

45OQAOCACBA

，

∴

45QANCBA

，

∴

ANQN

，

∵3AO，5CO，

∴34AC，

设

ANQNm

，则34CNACANm，

又∵

90QNACOA

，

QCNACO

，

∴

COACNQ∽

，

∴

COAOAC

CNQNQC



，

∴

5334

34

mQC

m





，

∴

34334

17

32

QC，

②当

Q

在

y

轴负半轴上时，记作'Q，

由①知，

17512OQQCCO

，取'12OQOQ，如图，

则由对称知：'OQAOQA，

∴'45OQAOCAOQAOCACBA，

因此点'Q也满足题目条件，∴''1257QCOQOC，

综合以上得：

7CQ

或

17.

【点睛】

本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次与一次函数的图象及性质，掌握三角形相似、直角三角形的性质是解题的关

键．

23、

(1)223yxx；

(2)

见解析；

(3)

存在，

(71，

3)

，

(71，

3)

，

(2，3)

【分析】

(1)

用待定系数法求出抛物线解析式即可；

(2)

由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与

x

轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；

(3)

根据题意得出

ABCABN

SS

，然后求出

3

N

y

，再代入2y(x1)4

求解即可．

【详解】

(1)

∵抛物线2(1)4yax

与

y

轴相交于点

C(0

，

-3)

．

∴34a，

∴

1a

，

∴抛物线解析式为22(1)423yxxx，

(2)

△

BCM

是直角三角形，

理由：由

(1)

有，抛物线解析式为2y(x1)4

，

∴顶点为

M

的坐标为

(-1

，

-4)

，

由

(1)

抛物线解析式为223yxx，

令

0y

，2230xx，

∴

12

31xx，

，

∴点

A

的坐标为

(1

，

0)

，点

B

的坐标为

(-3

，

0)

，

∴2223318BC，

2

2

210432MC







，

2MB=2

2134020







，

∵18220，

∴222BCMCMB

，

∴△

BCM

是直角三角形，

(3)

设

N

点纵坐标为

N

y

，

根据题意得

ABCABN

SS

，即

11

22N

ABOCABy

，

∴

3

N

y

，

当

N

点纵坐标为

3

时，2(1)43x，

解得：

12

7171xx，，

当

N

点纵坐标为

-3

时，2(1)43x，

解得：

34

20xx，

(

与点

C

重合，舍去

)

，

∴

N

点坐标为

(

71

，

3)

，

(

71

，

3)

，

(

2，3)

，

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理的逆定理的应用，图形面积的计算，解本题的关键是利用勾股

定理的逆定理判断出△

BCM

是直角三角形．

24、

(1)

m

＝1，

k

＝8，

n

＝1；（2）

△

ABC

的面积为

1．

【解析】试题分析：（

1

）由点

A

的纵坐标为

2

知

OC=2

，由

OD=OC

知

OD=1

、

CD=3

，根据

△ACD

的面积为

6

求

得

m=1

，将

A

的坐标代入函数解析式求得

k

，将点

B

坐标代入函数解析式求得

n

；

（

2

）作

BE⊥AC

，得

BE=2

，根据三角形面积公式求解可得．

试题解析：（

1

）∵点

A

的坐标为（

m

，

2

），

AC

平行于

x

轴，

∴OC=2

，

AC⊥y

轴，

∵OD=OC

，

∴OD=1

，

∴CD=3

，

∵△ACD

的面积为

6

，

∴CD•AC=6

，

∴AC=1

，即

m=1

，

则点

A

的坐标为（

1

，

2

），将其代入

y=

可得

k=8

，

∵点B

（

2

，

n

）在

y=

的图象上，

∴n=1

；

（

2

）如图，过点

B

作

BE⊥AC

于点

E

，则

BE=2

，

∴S

△ABC

=AC•BE=×1×2=1

，

即

△ABC

的面积为

1

．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

25、（

1

）

y

＝

2

3

x2﹣

8

3

x+2

；（

2

）2132；（

3

）不存在点

P

，使得四边形

EHFP

为平行四边形，理由见解析．

【分析】（

1

）根据题意可以得到

C

的坐标，然后根据抛物线过点

A

、

C

、

D

可以求得该抛物线的解析式；

（

2

）根据对称轴和图形可以画出相应的图形，然后找到使得四边形

EAMN

的周长的取得最小值时的点

M

和点

N

即可，

然后求出直线

MN

的解析式，然后直线

MN

与

x

轴的交点即可解答本题；

（

3

）根据题意作出合适的图形，然后根据平行四边形的性质可知

EH

＝

FP

，而通过计算看

EH

和

FP

是否相等，即可

解答本题．

【详解】解：（

1

）∵

AE

∥

x

轴，

OE

平分∠

AOB

，

∴∠

AEO

＝∠

EOB

＝∠

AOE

，

∴

AO

＝

AE

，

∵

A

（

0

，

2

），

∴

E

（

2

，

2

），

∴点

C

（

4

，

2

），

设二次函数解析式为

y

＝

ax2+bx+2

，

∵

C

（

4

，

2

）和

D

（

3

，

0

）在该函数图象上，

∴

16422

9320

ab

ab











，得

2

3

8

3

a

b



















，

∴该抛物线的解析式为

y

＝

2

3

x2﹣

8

3

x+2

；

（

2

）作点

A

关于

x

轴的对称点

A

1，作点

E

关于直线

BC

的对称点

E

1，连接

A

1

E

1，交

x

轴于点

M

，交线段

BC

于点

N

．

根据对称与最短路径原理，

此时，四边形

AMNE

周长最小．

易知

A

1（

0

，﹣

2

），

E

1（

6

，

2

）．

设直线

A

1

E

1的解析式为

y

＝

kx+b

，

2

62

b

kb











，得

2

3

2

k

b















，

∴直线

A

1

E

1的解析式为

2

2

3

yx

．

当

y

＝

0

时，

x

＝

3

，

∴点

M

的坐标为（

3

，

0

）．

∴由勾股定理得

AM

＝222313，

ME

1＝222(63)13，

∴四边形

EAMN

周长的最小值为

AM+MN+NE+AE

＝

AM+ME

1

+AE

＝2132；

（

3

）不存在．

理由：过点

F

作

EH

的平行线，交抛物线于点

P

．

易得直线

OE

的解析式为

y

＝

x

，

∵抛物线的解析式为

y

＝

2

3

x2﹣

8

3

x+2

＝2

22

(2)

33

x

，

∴抛物线的顶点

F

的坐标为（

2

，﹣

2

3

），

设直线

FP

的解析式为

y

＝

x+b

，

将点

F

代入，得

8

3

b，

∴直线

FP

的解析式为

8

3

yx

．

2

8

3

28

2

33

yx

yxx



















，

解得

7

2

5

6

x

y



















或

2

2

3

x

y















，

∴点

P

的坐标为（

7

2

，

5

6

），

FP

＝2×

（

7

2

﹣

2

）＝

32

2

，

2

28

2

33

yx

yxx















，

解得，

1173

4

1173

4

x

y























或

1173

4

1173

4

x

y























，

∵点

H

是直线

y

＝

x

与抛物线左侧的交点，

∴点

H

的坐标为（

1173

4



，

1173

4



），

∴

OH

＝

1173

4



×2＝

112146

4



，

易得，

OE

＝

22，

EH

＝

OE

﹣

OH

＝

22﹣

112146

4



＝

32146

4



，

∵

EH≠FP

，

∴点

P

不符合要求，

∴不存在点

P

，使得四边形

EHFP

为平行四边形．

【点睛】

本题主要考察二次函数综合题，解题关键是得到

C

的坐标，然后根据抛物线过点

A

、

C

、

D

求得抛物线的解析式.

26、（

1

）

2

千米；（

2

）

y

＝

90x

﹣

24

（

0.8≤x≤2

）；（

3

）

3

千米

【分析】（

1

）先运用待定系数法求出

OA

的解析式，再将

x

＝

0.5

代入，求出

y

的值即可；

（

2

）设

AB

段图象的函数表达式为

y

＝

k′x+b

，将

A

、

B

两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；

（

3

）先将

x

＝

1.5

代入

AB

段图象的函数表达式，求出对应的

y

值，再用

156

减去

y

即可求解．

【详解】解：（

1

）设

OA

段图象的函数表达式为

y

＝

kx

．

∵当

x

＝

0.8

时，

y

＝

48

，

∴

0.8k

＝

48

，

∴

k

＝

1

．

∴

y

＝

1x

（

0≤x≤0.8

），

∴当

x

＝

0.5

时，

y

＝

1×0.5

＝

2

．

故小黄出发

0.5

小时时，离家

2

千米；

（

2

）设

AB

段图象的函数表达式为

y

＝

k′x+b

．

∵

A

（

0.8

，

48

），

B

（

2

，

156

）在

AB

上，

0.848

2156

kb

kb











′

′

，

解得

90

24

k

b











，

∴

y

＝

90x

﹣

24

（

0.8≤x≤2

）；

（

3

）∵当

x

＝

1.5

时，

y

＝

90×1.5

﹣

24

＝

111

，

∴

156

﹣

111

＝

3

．

故小黄出发

1.5

小时时，离目的地还有

3

千米．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相

关信息，本题较简单．