矩阵相似的充要条件

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可交换矩阵的几个充要条件及其性质

在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘

法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩

AB

有意义时,矩阵

BA

未必有意义,即使

AB

,

BA

都

有意义时它们也不一定相等.但是当

A

,

B

满足一定条件是,就有

BAAB

,此时也称

A

与

B

是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其

常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.

§1矩阵可交换成立的几个充分条件

定理1.1(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换;

(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换;

(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换;

(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换;

(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换;

(6)设*A是A的伴随矩阵,则A与*A可交换;

(7)设A可逆,则A与1A可交换;

(8)设

EAB

,则A,B可交换.

证(1)对任意矩阵A,均有OAAO,

O

表示零距阵,所以A,B至少有一个为零矩阵

时,A,B可交换;

(2)对任意矩阵A,均有

EAAE

,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵

时,A,B可交换;

(3)对任意矩阵A,均有AkEkEA)()(,k为任意实数,则)(kE为数量矩阵,所以A,B

至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换;

(4),(5)显然成立;

(6)AAEAAA**,所以矩阵

A

与其伴随矩阵可交换;

(7)AAEAA11,所以矩阵A与其逆矩阵可交换;

(8)当

EAB

时,A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A,B可交换.

定理1.2(1)设BAAB,其中,为非零实数,则A,B可交换,

(2)设EABAm

,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换.

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证(1)由

BAAB

可得

EEBEA))((

,即EEBEA))((

1





,故

依定理1.1(8)得EEAEB))((

1





,于是

EEBABA

,所以

ABBABA;

(2)由EABAm得EBAAm)(1

,故依定理1.1(8)得EABAm)(1

,于是

EBAAm,所以可得

BAAB

.

定理1.3(1)设A可逆,若OAB或

ABA

或

BAA

,则A,B可交换;

(2)设A,B均可逆,若对任意实数k,均有

BkEAA)(

,则A,B可交换.

证(1)若OAB,由A可逆得OABABAAB)()(11,从而OBA,故

BAAB

;

若

ABA

,同理可得EABABAAB)()(11,故

BAAB

;

若

BAA

,则EABAAABB11)()(,故

BAAB

.

(2)因A,B均可逆,故由BkEAA)(得

kEA

可逆,且AkEAB1)(,则

,

))(())((

])[()(])[(])[(

''

1''''1'''''

1'''''1'''

AB

kEAkEAABkEAkAAAB

kEAAkEABAkEABkEABA











两边取转置可得

BAAB

.或由

,

)(])[()()(

)()(])[(])[(

11

11121

11111111













AB

kEAAkEABkEAkAAB

kEAAkEABAkEABkEABA

两边取逆可得

BAAB

.

§2矩阵可交换成立的几个充要条件

定理2.1下列均是A,B可交换的充要条件:

(1)***)(BAAB;

(2)''')(BAAB;

(3)))(())((22BABABABABA;

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(4)2222)(BABABA.

证(1)

)

因为***)(BAAB,两边同时取伴随矩阵可得

BAAB

;

)

因为

BAAB

,两边同时取伴随矩阵可得***)(BAAB;

(2)

)

因为''')(BAAB,两边取转置可得

BAAB

;

)

因为

BAAB

,两边取转置可得''')(BAAB;

(3)

)

因为22))((BBAABABABA,))((22BABABA,

所以

BAAB

;

同理由22))((BBAABABABA,可证

BAAB

,

)

因为

BAAB

,且22))((BBAABABABA,

所以))((22BABABA;

同理由22))((BBAABABABA,可证))((22BABABA;

(4)

)

因为222)(BBAABABA,又由条件知2222)(BABABA,所以

BAAB

;

)

因为

BAAB

,222)(BBAABABA,所以2222)(BABABA;

定理2.2可逆矩阵A,B可交换的充要条件是111)(BAAB.

证

)

因为111)(BAAB,两边取逆可得

BAAB

;

)

因为

BAAB

,两边取逆可得111)(BAAB;

定理2.3(1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩

阵;

(2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是

AB为反对称矩阵.

证(1)设A,B均为对称矩阵,由定理2.1(2)ABBAAB''')(,因此AB为对称矩

阵;

若A,B均为反对称矩阵,则ABBABAAB))(()(''',因此AB也为对称矩阵.

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(2)若A,B中有一个为对称矩阵,不妨设A为对称矩阵,则B为反对称矩阵,则

,)()('''ABBABAAB

因此

AB

为反对称矩阵.

定理2.4设A,B均为对称正定矩阵,则A,B可交换的充要条件是

AB

为对称正定矩

阵.

证充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.

因A,B为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P,

Q

,使'PPA

,'QQB,于是

''QQPPAB,'''1))((QPQPABPP

所以

ABPP1为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而

AB

与

ABPP1相似,从而

AB

的特征

值也全为正数,因此

AB

为对称正定矩阵.

§3可交换矩阵的一些性质

定义3.1(1)幂等矩阵:若

A

为矩阵,且

AA2,则

A

幂等矩阵.

(2)幂零矩阵:若

A

为矩阵,且)(*ZkOAk,则

A

为幂零距阵.

(3)幂幺矩阵:若

A

为矩阵,且EAk,

E

为单位矩阵,则

A

为幂幺矩阵.

性质3.1设A,B可交换,则有:

(1)

))(B(

)B)((

1-m21

1-m21

BABAA

BAABABA

mm

mmmm









;

(2)





n

k

kknk

n

nBACBA

0

)((矩阵二项式定理).

(3)

ABABmm

,kkkBAAB)(,llBABA,其中lkm,,都是正整数;

(4)ABfBAf)()(,其中)(Bf是B的多项式,即A与B的多项式可交换;

证(1)对m用数学归纳法可证得.

当1m时,明显成立.

假设当km时,有

),)((121kkkkkBBAABABA

下证当1km时结论也成立.

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),)((

))()((

))()((

))((

1

121

121

111

BABBAA

BABBAABA

BBAABABA

BBAABABA

kkk

kkk

kkk

kkkkk

















故对一切正整数

m

,结论成立.

(2)用数学归纳法

当1n时,BABABA111)(,结论成立.

假设当kn时,有

,C)(11-k

k

11kkk

k

kkBABBACABA

下面证当1kn时结论也成立.由

BAAB

得ijjiABBA

,于是

,)(C)1(

))(C()()()(

111i

k

11

11-k

k

111









kiiki

k

k

k

k

kkk

k

kkk

BBACBACA

BABABBACABABABA

而i

k

i

k

i

k

C

iki

k

iki

ikikk

iki

k

iki

k

CC

1

1

)!1(!

)!1(

)!1(!

!)1(!

)!1()!1(

!

)!(!

!























.

所以1

1k

1

1

11C)(



kkkk

k

kkBABBACABA.

故对一切正整数n,二项式定理成立.

（3）由

BAAB

可得

ABABBBBBm

m)1(







个个个mm

mBBBABBAAB,

同理可证kkkBAAB)(,llBABA.

(4)由(3)可证得.

性质3.2设A,B可交换,

(1)若A,B均为幂等矩阵,则AB,

ABBA

也为幂等矩阵;

(2)若A,B均为幂零距阵,则AB,

BA

均为幂零距阵;

(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵;

证(1)由

BAAB

,AA2,BB2,ABBAAB222)(,及

,222

222)()(

2

22222

ABBAABABABABBA

BABBAABABBAABBA





即可证得;

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(2)设OAk,OBl,取

},max{lkh

,则OBAABhhh)(,即

AB

为幂零距阵;令

1lkm,则OBACBA

m

k

kkmk

m

m





0

)(,所以

BA

为幂零距阵.

(3)由

BAAB

,

EAk

,

EBk

,EEBAABkkk2)(可证得;

性质3.3设A,B可交换,若A,B分别为n阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵,则

AB

为Hermite非负定矩阵;

证因为ABBAABABHHH)(,所以

AB

是Hermite矩阵.

又因为

0A

,所以存在n阶可逆Hermite矩阵C使2CA.于是

,)(1BCCCBCCABCH

则

AB

与BCCH具有相同的特征值.由0B知0BCCH,故BCCH的特征值均为非负数,

从而

AB

的特征值均为非负数.即0AB.

性质3.4(1)

AB

与

BA

的特征多项式相等,即

)()(

BAAB

ff

,从而

AB

与

BA

的特征

值也相同(包括重数也一致).

(2)多项式||ABE与||BAE相等,即||||BAEABE.

推论3.4.1(1)

ABE

与

BAE

的特征多项式相等.

(2)

ABE

与

BAE

的特征多项式相等.

证因为

|)1(||)(|ABEABEE,

|)1(||)(|BAEBAEE,由性质3.4

可知

|)1(||)1(|BAEABE,所以

|)(||)(|BAEEABEE.

同理可证

|)(||)(|BAEEABEE.

推论3.4.2(1)

AAB

与

ABA

的特征多项式相等.

(2)

AAB

与

ABA

的特征多项式相等.

证(1)因为)(EBAAAB,AEBABA)(.根据性质3.4知)(EBA与

AEB)(的特征多项式相等,故

AAB

与

ABA

的特征多项式相等.

同理可证

AAB

与

ABA

的特征多项式相等.

性质3.5(1)矩阵ABE与BAE的秩相等)0(,即秩)(ABE=秩)(BAE.

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特别地,秩

)(ABE

=秩

)(BAE

.

(2)

AB

与

BA

的特征矩阵的秩相等)0(,即秩

)(ABE=秩

)(BAE.特别地,秩

)(ABE=秩)(BAE.

性质3.6若A,B中有一个是可逆的,则

AB

与

BA

相似.

证不妨设A可逆,由AABABA)(1知,

AB

与

BA

相似.

性质3.7(1)

AB

与

BA

同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵.

(2)

||||BAAB

.

(3)

AB

与

BA

的迹相等,即

)()(BAtrABtr

.

性质3.8(1)

BAAB

不可能相似于)0(kkE.

(2)对可逆矩阵A,不可能有

ABAAB

.

证(1)因为

0)()()(BAtrABtrBAABtr

,而

0(knkEtr

(当

0k

时),由于相

似矩阵的迹相等,所以

BAAB

不可能相似于非零矩阵

kE

.

(2)若存在可逆矩阵A,使

ABAAB

则

EBAAB1,于是

EBBAA1,即B与

EB

相似,从而

)()()(BtrnBtrEBtr

这是不可能的.

性质3.9(1)设A,B同为(反)对称矩阵,则

BAAB

是对称矩阵,

BAAB

是反对称矩

阵.

(2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则

BAAB

是反对称矩

阵,

BAAB

是对称矩阵.

推论3.9.1(1)设A,B同为实(反)对称矩阵,则

BAAB

的特征值的实部为零.

(2)设A,B有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则

BAAB

的特征值的实部

为零.

证(1)由性质3.9(1)知

BAAB

是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是

零或纯虚数,所以

BAAB

的特征值的实部为零.

同理可证(2).

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参考文献

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社，2003.

[2]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.

[3]戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J].华东地质学院学

报.2002:353-355.

[4]闫家灏,赵锡英.可交换矩阵[J].兰州工业高等专科学校学报.2002:51-54.

[5]李瑞娟,张厚超.可交换矩阵浅析[J].和田师范专科学校学报.2009:199-200.