抛物线的几何性质

1

抛物线的简单几何性质

课前预习学案

一、预习目标

回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何

性质

二、预习内容

1、复习回顾

(1)抛物线定义

叫作抛物线；叫做抛物线的焦点。

叫做抛物线的准线

（2）抛物线的标准方程

①相同点；

②不同点；

（3）回顾练习

①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、

B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB

②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，

3

10

），P在抛物线上运动，|PM|=d

1

,P到准线的距离为

d

2

，求当d

1

+d

2

最小时，P的坐标。

2、预习新知

（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质

①范围：；

②对称性：；

③顶点：；

④离心率：；

（2）自我检测：

1．已知点

1

(,0)

4

F，直线l：

4

1

x，点B是直线l上的动点，若过B垂直于y轴的直线

与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M所在曲线是（）

()A圆()B椭圆()C双曲线()D抛物线

图形

x

y

O

F

l

x

y

O

F

l

方程

焦点

准线

x

y

O

F

l

x

y

O

F

l

ly

PA

M

OFx

QB

图①

2

2．设抛物线22yx的焦点为F，以

9

(,0)

2

P为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在x

轴上方交于,MN，则||||MFNF的值为（）

()A8()B18()C

22

()D4

3．过点(3,1)的抛物线的标准方程是．

焦点在10xy上的抛物线的标准方程是．

4．抛物线28yx的焦点为F，(4,2)A为一定点，在抛物线上找一点M，当||||MAMF

为最小时，则M点的坐标，当||||||MAMF为最大时，则M点的坐

标．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线

图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

二、学习过程

1、定义；

2、标准方程；

3、几何性质

①范围：；

②对称性：；

③顶点：；

④离心率：；

4、完成下表

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

3

0

22





p

pxy

0,0

2

p

x

1e

x

y

O

F

l

0,0

x

轴











0,

2

p

1e

0

22





p

pyx

0,0

2

p

y

1e

0,0

y轴1e

思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？

5、分析例题

例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

)22,2(M

，求它

的标准方程，并用描点法画出图形．

例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的

直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

例3过抛物线pxy22的焦点F任作一条直线m，交这抛物

线于A、B两点，

求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

例4．已知抛物线24xy与圆2232xy相交于,AB两

点，圆与y轴正半轴交于C点，直线l是圆的切线，交抛物线

与,MN，并且切点在

¼

ACB

上．

（1）求,,ABC三点的坐标．（2）当,MN两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l的方程．

课后练习与提高

1．过抛物线

xy42的焦点作直线交抛物线于

11

,yxA，

22

,yxB两点，如果

x

y

E

O

F

B

AD

C

H

4

6

21

xx，那么||AB=（B）

（A）10（B）8（C）6（D）4

2．已知M为抛物线xy42上一动点，F为抛物线的焦点，定点1,3P，则

||||MFMP的最小值为（B）

（A）3（B）4（C）5（D）6

3．过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的

长分别是p、q，则

qp

11

=（C）

（A）a2（B）

a2

1

（C）a4（D）

a

4

4．过抛物线xy42焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是

______(答案：122xy)

5.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB中点M到y轴距离的

最小值，并求出此时AB中点M的坐标

（答案：



















2

2

,

4

5

M,M到y轴距离的最小值为

4

5

）

6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

7．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则

∠A2FB2等于

8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方

程．

9．以椭圆1

5

2

2

y

x

的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆

在准线所得的弦长．

10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽

是多少米？

5

抛物线的简单几何性质

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线

图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本

节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大

学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重

要的作用

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、

离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐

标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为

x

（或y），

则

x

轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的

标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p

本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、

例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3

教学过程：

一、复习引入：

1．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛

物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线

2．抛物线的标准方程：

相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与

图

形x

y

O

F

l

x

y

O

F

l

方

程

)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx

焦

点

)0,

2

(

p

)0,

2

(

p



)

2

,0(

p

)

2

,0(

p



准

线2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

x

y

O

F

l

x

y

O

F

l

6

焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

4

1

，即

24

2pp



不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为px2、左

端为2y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为py2，左端为2x

（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端

取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负

号

二、讲解新课：

抛物线的几何性质

1．范围

因为p＞0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不

等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向

右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y代y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线

的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022ppxy中，当y=0时，x=0，

因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．

由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

0

22





p

pxy

x

y

O

F

l

0,0

x

轴











0,

2

p

2

p

x

1e

7

0

22





p

pxy

x

y

O

F

l

0,0

x

轴











0,

2

p

2

p

x

1e

0

22





p

pyx

0,0

y轴











2

,0

p

2

p

y

1e

0

22





p

pyx

0,0

y轴













2

,0

p

2

p

y

1e

注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远

时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴

所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率

附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）

假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛

物线上一点，

A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，

则有pxy2和y1＝mx＋n．

∴pxnmxyy2

1



x

p

x

n

mx

2



当m≠0时，若x→＋∞，则yy

1

当m＝0时，pxnyy2

1

，当x→＋∞，则yy

1

这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线

三、讲解范例：

例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

)22,2(M

，求它

的标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．

解：由题意，可设抛物线方程为

pxy22，因为它过点)22,2(M，

x

yA

0

A

O

8

所以

22)22(2p，即2p

因此，所求的抛物线方程为xy42．

将已知方程变形为

xy2

，根据

xy2

计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，

得

x01234…

y022.83.54…

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分

点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也

向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛

物线没有渐近线．

例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的

直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物

线上一点坐标，从而求出p值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶

点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是pxy22(p＞0)．

由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p，

即

4

45

p

所求的抛物线标准方程为xy

2

45

2．

例3过抛物线pxy22的焦点F任作一条直线m，交这

抛物线于A、B两点，

求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、

C，则

｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜

∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．

四、课堂练习：

1．过抛物线

xy42的焦点作直线交抛物线于

11

,yxA，

22

,yxB两点，如果

6

21

xx，那么||AB=（B）

（A）10（B）8（C）6（D）4

2．已知M为抛物线

xy42上一动点，F为抛物线的焦点，定点1,3P，则

x

y

E

O

F

B

AD

C

H

9

||||MFMP的最小值为（B）

（A）3（B）4（C）5（D）6

3．过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的

长分别是p、q，则

qp

11

=（C）

（A）a2（B）

a2

1

（C）a4（D）

a

4

4．过抛物线xy42焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是

______(答案：122xy)

5.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB中点M到y轴距离的

最小值，并求出此时AB中点M的坐标

（答案：



















2

2

,

4

5

M,M到y轴距离的最小值为

4

5

）

五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等

六、课后作业：

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则

∠A2FB2等于

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方

程．

4．以椭圆1

5

2

2

y

x

的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆

在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是

多少米？

习题答案：

1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y

2．90°

3．x2＝±16y

4．

54

5．

520

米

10

七、板书设计（略）

八、课后记：