黎曼和

最具独创精神的数学家：黎曼

1826年9⽉17⽇，黎曼⽣于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，⽗亲是⼀个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进⼊

⼤学预科学习，19岁按其⽗亲的意愿进⼊哥廷根⼤学攻读哲学和神学，以便将来继承⽗志也当⼀名牧师。

由于从⼩酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根⼤学是世界数学的中⼼之⼀，—些著名

的数学家如⾼斯、韦伯、斯特尔都在该校执教。黎曼被这⾥的数学教学和数学研究的⽓氛所感染，决定放弃神学，专攻

数学。

1847年，黎曼转到柏林⼤学学习，成为雅可⽐、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学⽣。1849年重回哥丁很⼤学攻读博

⼠学位，成为⾼斯晚年的学⽣。

l851年，黎曼获得数学博⼠学位；l854年被聘为哥廷根⼤学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄

利克雷被聘为教授。

因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到⼀个⽉就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的⼤部分时间在意⼤利治病疗

养。1866年7⽉20⽇病逝于意⼤利，终年39岁。

黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之⼀。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼

在其短暂的⼀⽣中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的⼯作，为世界数学建⽴了丰功伟绩。

复变函数论的奠基⼈

19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创⽴，它是18世纪⼈们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯

西、雅可⽐、⾼斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进⾏了系统的研究，⽽对于多值函数仅有柯西和⽪

瑟有些孤⽴的结论。

1851年，黎曼在⾼斯的指导下完成题为《单复变函数的⼀般理论的基础》的博⼠论⽂，后来⼜在《数学杂志》上发表了

四篇重要⽂章，对其博⼠论⽂中思想的做了进⼀步的阐述，⼀⽅⾯总结前⼈关于单值解析函数的成果，并⽤新的⼯具予

以处理，同时创⽴多值解析函数的理论基础，并由此为⼏个不同⽅向的进展铺平了道路。

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基⼈，⽽且后来证明在处理复函数理论的⽅法上黎曼的⽅法是

本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。

在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引⼊了被后⼈称“黎曼⾯”的概念。通过黎曼⾯给多值函数以⼏何直观，且在

黎曼⾯上表⽰的多值函数是单值的。他在黎曼⾯上引⼊⽀点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得⼀系列

成果。

经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的⼀些已知结论推⼴到多值函数中，尤其他按连通性

对函数分类的⽅法，极⼤地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著

名的黎曼—罗赫定理，⾸创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数⼏何的主要内容。

黎曼为完善其博⼠论⽂，在结束时给出其函数论在保形映射的⼏个应⽤，将⾼斯在1825年关于平⾯到平⾯的保形映射的

结论推⼴到任意黎曼⾯上，并在⽂字的结尾给出著名的黎曼映射定理。

黎曼⼏何的创始⼈

黎曼对数学最重要的贡献还在于⼏何⽅⾯，他开创的⾼维抽象⼏何的研究，处理⼏何问题的⽅法和⼿段是⼏何史上⼀场

深刻的⾰命，他建⽴了⼀种全新的后来以其名字命名的⼏何体系，对现代⼏何乃⾄数学和科学各分⽀的发展都产⽣了巨

⼤的影响。

1854年，黎曼为了取得哥廷根⼤学编外讲师的资格，对全体教员作了⼀次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以

《关于作为⼏何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的⼏何，包括刚刚诞⽣的⾮欧⼏何之⼀的双曲⼏何作

了纵贯古今的概要，并提出⼀种新的⼏何体系，后⼈称为黎曼⼏何。

为竞争巴黎科学院的奖⾦，黎曼在1861年写了⼀篇关于热传导的⽂章，这篇⽂章后来被称为他的“巴黎之作”。⽂中对他

为竞争巴黎科学院的奖⾦，黎曼在1861年写了⼀篇关于热传导的⽂章，这篇⽂章后来被称为他的“巴黎之作”。⽂中对他

1854年的⽂章作了技术性的加⼯，进⼀步阐明其⼏何思想。该⽂在他死后收集在1876年他的《⽂集》中。

黎曼主要研究⼏何空间的局部性质，他采⽤的是微分⼏何的途径，这同在欧⼏⾥得⼏何中或者在⾼斯、波尔约和罗巴切

夫斯基的⾮欧⼏何中把空间作为⼀个整体进⾏考虑是对⽴的。黎曼摆脱⾼斯等前⼈把⼏何对象局限在三维欧⼏⾥得空间

的曲线和曲⾯的束缚，从维度出发，建⽴了更⼀般的抽象⼏何空间。

黎曼引⼊流形和微分流形的概念，把维空间称为⼀个流形，维流形中的⼀个点可以⽤个可变参数的⼀组特定值来表⽰，

⽽所有这些点的全体构成流形本⾝，这个可变参数称为流形的坐标，⽽且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就

遍历这个流形。

黎曼仿照传统的微分⼏何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹⾓。并以这些概念为基础，展开对

维流形⼏何性质的研究。在维流形上他也定义类似于⾼斯在研究⼀般曲⾯时刻划曲⾯弯曲程度的曲率。他证明他在维流

形上维数等于三时，欧⼏⾥得空间的情形与⾼斯等⼈得到的结果是⼀致的，因⽽黎曼⼏何是传统微分⼏何的推⼴。

黎曼发展了⾼斯关于⼀张曲⾯本⾝就是⼀个空间的⼏何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另⼀种⾮

欧⼏何——椭圆⼏何学的诞⽣。

在黎曼看来，有三种不同的⼏何学。它们的差别在于通过给定⼀点做关于定直线所作平⾏线的条数。如果只能作⼀条平

⾏线，即为熟知的欧⼏⾥得⼏何学；如果⼀条都不能作，则为椭圆⼏何学；如果存在⼀组平⾏线，就得到第三种⼏何

学，即罗巴切夫斯基⼏何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得⼀千多年来关于欧⼏⾥得平⾏公理

的讨论宣告结束。他断⾔，客观空间是⼀种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后⼈⼀⼀

予以证实。

由于黎曼考虑的对象是任意维数的⼏何空间，对复杂的客观空间有更深层的实⽤价值。所以在⾼维⼏何中，由于多变量

微分的复杂性，黎曼采取了⼀些异于前⼈的⼿段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代⼏何⼯具的诞

⽣。爱因斯坦就是成功地以黎曼⼏何为⼯具，才将⼴义相对论⼏何化。现在，黎曼⼏何已成为现代理论物理必备的数学

基础。

微积分理论的创造性贡献

黎曼除对⼏何和复变函数⽅⾯的开拓性⼯作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载⼊史册。

18世纪末到l9世纪初，数学界开始关⼼数学最庞⼤的分⽀——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯

西、阿贝尔、狄利克莱进⽽到维尔斯特拉斯，都以全⼒的投⼊到分析的严密化⼯作中。黎曼由于在柏林⼤学从师狄利克

莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的⼯作有深⼊的了解，因⽽对微积分理论有其独到的见解。

1854年黎曼为取得哥廷根⼤学编外讲师的资格，需要他递交⼀篇反映他学术⽔平的论⽂。他交出的是《关于利⽤三⾓级

数表⽰⼀个函数的可能性的》⽂章。这是⼀篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产⽣深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不⼀定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时

代的⼏乎所有的数学家都相信，⽽且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数⼀定是可微的。黎曼给出了⼀个连续⽽

不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建⽴了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。

黎曼⽤⾃⼰独特的⽅法研究傅⽴叶级数，推⼴了保证博⾥叶展开式成⽴的狄利克莱条件，即关于三⾓级数收敛的黎曼条

件，得出关于三⾓级数收敛、可积的⼀系列定理。他还证明：可以把任⼀条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛

于任何指定的和或者发散。

解析数论跨世纪的成果

19世纪数论中的⼀个重要发展是由狄利克莱开创的解析⽅法和解析成果的导⼊，⽽黎曼开创了⽤复数解析函数研究数论

问题的先例，取得跨世纪的成果。

1859年，黎曼发表了《在给定⼤⼩之下的素数个数》的论⽂。这是⼀篇不到⼗页的内容极其深到的论⽂，他将素数的分

布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的⼀些重要性质，并简要地断⾔了其它的性质⽽未予

证明。

证明。

在黎曼死后的⼀百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最⼤的努⼒想证明他的这些断⾔，并在作出这些努⼒的过程

中为分析创⽴了新的内容丰富的新分⽀。如今，除了他的⼀个断⾔外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。

那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的⼀切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问

题)，这个问题迄今没有⼈证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的

解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这⼀⼯作既是对解析数论理论的贡献，也极⼤地丰富了复变函数论的内容。

组合拓扑的开拓者

在黎曼博⼠论⽂发表以前，已有⼀些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多⾯体的顶点、棱、⾯数关系的

欧拉定理。还有⼀些看起来简单⼜长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四⾊问题，这些促使了⼈们对组合拓

扑学(当时被⼈们称为位置⼏何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最⼤推动⼒来⾃黎曼的复变函数论的⼯作。

黎曼在1851年他的博⼠论⽂中，以及在他的阿贝尔函数的研究⾥都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学

的⼀些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲⾯按亏格分类。值得提到的是，在其学位论⽂中，他说到

某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。

⽐萨⼤学的数学教授贝蒂曾在意⼤利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠⾝，⾃⾝已⽆能⼒继续发展其思想，把⽅法传授

给了贝蒂。贝蒂把黎曼⾯的拓扑分类推⼴到⾼维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之⽆

愧的组合拓扑的先期开拓者。

代数⼏何的开源贡献

19世纪后半叶，⼈们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的⽅法产⽣极⼤的兴趣。当时他们把代数

不变量和双有理变换的研究称为代数⼏何。

黎曼在1857年的论⽂中认为，所有能彼此双有理变换的⽅程(或曲⾯)属于同⼀类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个

数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最

热门的领域之⼀。

著名的代数⼏何学家克莱布什后来到哥廷根⼤学担任数学教授，他进⼀步熟悉了黎曼的⼯作，并对黎曼的⼯作给予新的

发展。虽然黎曼英年早逝，但世⼈公认，研究曲线的双有理变换的第⼀个⼤的步骤是由黎曼的⼯作引起的。

在数学物理、微分⽅程等其他领域的丰硕成果

黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也⼗分关⼼物理及数学与物理世界的关系，他写了⼀些关于热、光、磁、⽓

体理论、流体⼒学及声学⽅⾯的有关论⽂。他是对冲击波作数学处理的第⼀个⼈，他试图将引⼒与光统⼀起来，并研究

⼈⽿的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分⽅程、偏微分⽅程进⾏定论研究得到⼀系列丰硕成果。

黎曼在1857年的论⽂《对可⽤⾼斯级数表⽰的函数的理论的补充》，及同年写的⼀个没有发表⽽后收集在其全集中的⼀

个⽚断中，他处理了超⼏何微分⽅程和讨论带代数系数的阶线性微分⽅程。这是关于微分⽅程奇点理论的重要⽂献。

19世纪后半期，许多数学家花了很多精⼒研究黎曼问题，然⽽都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经

发展了的积分⽅程理论，才第⼀次给出完全解。

黎曼在常微分⽅程理论中⾃守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超⼏何级数的讲义和1867年发表的关

于极⼩正曲⾯的⼀篇遗著中，他建⽴了为研究⼆阶线性微分⽅程⽽引进的⾃守函数理论，即现在通称的黎曼——许⽡兹

定理。

在偏微分⽅程的理论和应⽤上，黎曼在1858年～1859年论⽂中，创造性的提出解波动⽅程初值问题的新⽅法，简化了

许多物理问题的难度；他还推⼴了格林定理；对关于微分⽅程解的存在性的狄⾥克莱原理作了杰出的⼯作，……

黎曼在物理学中使⽤的偏微分⽅程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分⽅程》编辑出版，这是⼀本历史名著。

不过，黎曼的创造性⼯作当时未能得到数学界的⼀致公认，⼀⽅⾯由于他的思想过于深邃，当时⼈们难以理解，如⽆⾃

不过，黎曼的创造性⼯作当时未能得到数学界的⼀致公认，⼀⽅⾯由于他的思想过于深邃，当时⼈们难以理解，如⽆⾃

由移动概念⾮常曲率的黎曼空间就很难为⼈接受，直到⼴义相对论出现才平息了指责；另⼀⽅⾯也由于他的部分⼯作不

够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥⽤了狄利克雷原理，曾经引起了很⼤的争议。

黎曼的⼯作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断⾔过的定理，在黎曼思想的影响下

数学许多分⽀取得了辉煌成就。

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