如图在菱形abcd中

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

第一章特殊的平行四边形

一、菱形：

【知识梳理】

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性

质：

①边的性质：对边平行且四边相等．

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

【例题精讲】板块一、菱形的性质

例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．

（1）求菱形ABCD的边长；

（2）求菱形ABCD的高DM．

例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连

接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．

求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形．

(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最

大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

例4.已知，菱形

ABCD

中，

E

、

F

分别是

BC

、

CD

上的点，若

AEAFEFAB

，求

C

的度数．

FE

D

C

B

A

跟踪练习：

1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长

为()

A.4B.2.4C.4.8D.5

2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、

EF、AF，则△AEF的周长为（）

A.23B.33C.43D.3.

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°

的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()

A.15°或30°B.30°或45°

C.45°或60°D.30°或60°

4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的

作法如下：

图1－1－38

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连

接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，

则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断()

A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙

均错误

5.(1)如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么,菱形ABCD

的面积是________,对角线BD的长是________.

(2)如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，

则PE+PB的最小值是_________．

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、

CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你

的结论．

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：DE=BE．

8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，

垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．

9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线

AC于E连接BE．

（1）证明：∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

，为什么？

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时

点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．

（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四

边形AQCP是菱形？

（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．

【作业】

一.选择题：

1..在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）

A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm

2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是____

3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）

A、20B、14C、28D、24

4.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）

A．2B．

23

C．4D．

43

5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

是（）

A、16错误!未找到引用源。B、16C、8错误!未找到引用源。

D、8

6.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、

N的坐标分别是（）

A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）

C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）

二、填空题

7.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积

为错误!未找到引用源。cm2．

8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄

AB，垂足为H，则点O到边AB的距离

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若

AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2．

三、解答题

12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。

求证：△ACE≌△ACF。

13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．

（1）求点D的坐标；

（2）求经过点AB的一次函数解析式．

第7题

第8题

第9题

A

D

F

E

B

C

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

14.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：

DE＝

1

2

BE．

15.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．

（1）求AC的长．

（2）求∠AOB的度数．

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

板块二、菱形的判定

例1.已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.

求证:□ABCD是菱形

例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证:四边形ABCD是菱形

E

D

C

B

A

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

F

E

O

D

B

C

A

例3.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、

O、F.

求证:四边形AECF是菱形

课堂练习：

1.如图，如果要使平行四边形

ABCD

成为一个菱形，需要添加一个条件，

那么你添加的条件是．

2.已知：如图，平行四边形

ABCD

的对角线

AC

的垂直平分线与边

AD

、

BC

分别相交于

E

、

F

.

求证：四边形

AFCE

是菱形.

3.如图，在梯形纸片

ABCD

中，//ADBC，ADCD，将纸片沿过点

D

的直线折叠，使

点

C

落在

AD

上的点

C

处，折痕

DE

交

BC

于点

E

，连结

CE

.求证：四边形

CDCE

是菱形．

C'D

C

B

A

E

4.如图，在

ABC

中，ABAC，

M

是

BC

的中点．分别作

MDAB

于

D

，

MEAC于E，DFAC于F，EGAB于

G

．DFEG、相交于点P．求

D

C

A

B

O

D

E

F

C

A

B

P

M

F

E

D

G

C

B

A

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

证：四边形

DMEP

是菱形．

【作业】

1．有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。

2．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为cm，边

长为cm，高为cm。

3．菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为。

4．如图1所示，菱形ABCD中，AE⊥BC，BE=EC，AE=2，BD=。

5．如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，∠C=。

6．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）

A．2倍B．3倍C．4倍D．8倍

7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．每条对角线平分

一组对角

8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于

（）

A．75°B．60°C．50°D．45°

9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）

A．已知菱形的两条对角线B．已知菱形的一边和一个内角

C．已知菱形的四条边D．已知菱形的周长和面积

10．下列命题正确的是（）

A．有两组邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形

A

B

C

D

E

图1

A

B

D

E

F

C

图2

A

B

C

D

E

F

图3

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

11．菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。

12．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于

F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG⊥AB，G

为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。

14.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、

GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）

15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别

在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和

△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果

变化，求出最大（或最小）值．

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

16.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

17．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、

AC和BE相交于点O．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于

点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说

明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．

18.如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED

与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么

四边形？并证明你的结论．

19.如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，

B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于

E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为．

试解决下列问题：

（1）填空：点D坐标为_________；

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；

20.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2

个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t

＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

21．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC

的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．

21.如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE

是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

22.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，

连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有

怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

23.如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，

∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、

G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）

中的结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，

并说明理由．