dxdx

第三节一阶线性微分方程

分布图示

★一阶线性微分方程及其解法

★例1★例2★例3

★例4★例5★例6

★伯努利方程★例7★例8

★例9★例10

★内容小结★课堂练习

★习题8-3

内容要点:

一、一阶线性微分方程

形如

)()(xQyxP

dx

dy

(3.1)

的方程称为一阶线性微分方程.其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数.当

,0)(xQ方程(3.1)成为

0)(yxP

dx

dy

(3.2)

这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.

方程(3.2)的通解

.)(



dxxPCey(3.3)

其中C为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将

通解中的常数C变易为待定函数)(xu，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(



dxxPexuy

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为





dxxPdxxPeCdxexQy)()()(

(3.5)

二、伯努利方程：形如

nyxQyxP

dx

dy

)()((3.7)

的方程称为伯努利方程，其中

n

为常数，且1,0n.

伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上，

在方程(3.7)两端除以ny，得

),()(1xQyxP

dx

dy

ynn

或),()()(

1

1

11xQyxPy

n

nn









于是，令nyz1，就得到关于变量z的一阶线性方程

)()1()()1(xQnzxPn

dx

dz

.

利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解

.)1)((

)()1()()1(

1















CdxenxQey

dxxPndxxPn

n

例题选讲：

一阶线性微分方程

例1（E01）求方程

x

x

y

x

y

sin1





的通解.

解

,

1

)(

x

xP,

sin

)(

x

x

xQ

于是所求通解为



















Cdxe

x

x

ey

dx

x

dx

x

11sin













Cdxe

x

x

exxlnln

sin

).cos(

1

Cx

x



例2（E02）求方程2/5)1(

1

2





x

x

y

dx

dy

的通解.

解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.

由

0

1

2





y

xdx

dy



1

2





x

dx

y

dy

Cxyln)1ln(2ln.)1(2xCy

用常数变易法,把C换成,u即令,)1(2xuy则有

),1(2)1(2



xuxu

dx

dy

代入所给非齐次方程得,)1(1/2



xu两端积分得

,)1(

3

2

2/3Cxu

回代即得所求方程的通解为

.)1(

3

2

)1(2/32













Cxxy

例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

,0)ln(lndxxyxdyx.1

ex

y

解将方程标准化为

,

1

ln

1

x

y

xx

y



于是



















Cdxe

x

eyxx

dx

xx

dx

lnln

1













Cdxe

x

exxlnlnlnln

1

.ln

2

1

ln

1

2











Cx

x

由初始条件,1

ex

y得

,

2

1

C

故所求特解为

.

ln

1

ln

2

1















x

xy

例4求解方程,)(

dx

d

x

dx

d

y

dx

dy





)(x是x的已知函数.

解原方程实际上是标准的线性方程，其中

,)(

dx

d

xP



,)()(

dx

d

xxQ





直接代入通解公式，得通解





dx

dx

d

ey





















Cdxe

dx

d

x

dx

dx

d

)(])([)()(Cdexexx.1)()(xCex

例5求方程0)12(23dyxydxy的通解.

解当将y看作x的函数时，方程变为

2

3

21xy

y

dx

dy





这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，方程改写为

1223xy

dy

dx

y

则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为

0223xy

dy

dx

y

分离变量，并积分得

,

2

y

dy

x

dx

即

2

1

1

y

Cx

其中

1

C

为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为

,

1

)(

2y

yux

代入原方程,得

y

yu

1

)(



积分得

Cyyu||ln)(

故原方程的通解为

)||(ln

1

2

Cy

y

x

，其中C为任意常数.

例6如所示,平行于y轴的动直线被曲线)(xfy与)0(3xxy截下的线段

PQ

之

长数值上等于阴影部分的面积,求曲线).(xf

解23

0

)()(yxdxxf

x

,3yx两边求导得,32xyy



解此微分方程得





dx

ey















dxexC

dx

23

,6632xxCex

由,0

0



x

y得

,6C

故所求曲线为).222(32xxeyx

例7求

yxy

xdx

dy

2

4



的通解.

解两端除以,y得

,

41

2xy

xdx

dy

y



令,yz得

,

4

22xz

xdx

dz



解得,

2

2











C

x

xz

故所求通解为.

2

2

4











C

x

xy

伯努利方程

例8（E03）求方程2)ln(yxa

x

y

dx

dy

的通解.

解以2y除方程的两端,得

,ln

1

12xay

xdx

dy

y即

,ln

1)(

1

1

xay

xdx

yd





令,1yz则上述方程变为

.ln

1

xaz

xdx

dz



解此线性微分方程得xz.)(ln

2

2













x

a

C

以1y代,z得所求通解为yx













2)(ln

2

x

a

C.1

例9求方程

1)()(23xyxxyx

dx

dy

的通解.

解令,uxy则

,1

dx

du

dx

dy

于是得到伯努利方程

.23uxxu

dx

du



令

,

1

21

u

uz上式即变为一阶线性方程

.3xxz

dx

dz



其通解为2

2x

ez



















Cdxex

x

2

3

2

.22

2

2

xCe

x

回代原变量，即得到题设方程的通解

.

2

11

2

2

2





xCe

x

z

xy

x

例10求解微分方程.

)(sin

1

2x

y

xyxdx

dy



解令,xyz则

,

dx

dy

xy

dx

dz



xy

dx

dz





















x

y

xyx)(sin

1

2

,

sin

1

2z



利用分离变量法解得

,42sin2Cxzz

将xyz代回，得所求通解为

.4)(2sin2Cxxyxy

课堂练习

1.求微分方程

yxyy

y

dx

dy

sin2sincos

cos



的通解.

2.设函数)(xf可微且满足关系式

,1)(]1)(2[

0

xfdttfx

求)(xf.

雅各布.伯努利（JacobBermoulli，1654~1705)

伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月

16日卒于巴塞尔。

雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父

亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行

家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴

塞尔市议会的议员和艺术行会会长。

雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它

包括算术、几何、天文学、数理、音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照

他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学

上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内

瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行

了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。

然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布

尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几

何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学习旅

行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴

趣。这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人

们高度评价的重力理论。回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于科技问题的文

章，并且也继续研究数学著作。1687年，雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互

垂直的直线将三角形的面积四等分方法”。1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。1685

年出版了他最早的关于概率论的文章。由于受到活利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文

学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学。在这同时，他的弟弟约翰.伯努利一直跟其

学习数学。1687年雅格布成为巴塞尔科学院的国外院士，直到1705年去世。在这段时间里，

他一直与莱布尼兹保持着通信联系。1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701

年被柏林科学协会（即后来的柏林科学院）接受为会员.

雅各布.伯努利是在17-18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家庭

的重要成员之一，他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域。