实数的定义

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第六讲实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，

数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、

一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们

的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数

p

q

的形式；无理数是

无限不循环小数，不能写成分数

p

q

的形式，这里p、q是互质的整数，且

0p

．

2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；

无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

例题求解

【例1】若a、b满足ba533=7，则S＝ba32的取值范围是．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨运用a、b的非负性，建立关于S的不等式组．

注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但

是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比

所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危

机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把

希伯索斯投入海中处死．

【例2】设a是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个()

A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数

(武汉市选拔赛试题)

思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．

【例3】已知a、b是有理数，且03

20

9

1

4

1

2)

12

13

4

1

()

2

3

3

1

(ba，求a、b的值．

思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程

组．

【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示75的整数部分和小数部分，且满足axy+by2

＝1，求a+b的值．(南昌市竞赛题)

(2)设x为一实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x

的值．(江苏省竞赛题)

思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)

运用[x]的性质，简化方程．

注：设x为一实数，则[x]表示不大于x的最大整数，[x]]又叫做实数x的整数部分，有以

下基本性质：

(1)x－1<[x]≤x(2)若y

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【例5】已知在等式s

dcx

bax







中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：

(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；

(2)当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：

设a是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a≠0，则ar也是无理数；③

r的倒数

r

1

也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详

细讨论．

注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证

一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学力训练

1．已知x、y是实数，096432yyx，若yxaxy3，则a=．

(2002年个数的平方根是22ba和1364ba，那么这个数是．

3．方程0185yyx的解是．

4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121；同样∵1112=12321，∴

11112321；„由此猜想765432．

(济南市中考题)

5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C

所表示的数是()

A．12B．21C．22D．22

(江西省中考题)

6．已知x是实数，则





1



x

xx的值是()

A．



1

1B．



1

1C．1

1





D．无法确定的

(“希望杯”邀请赛试题)

7．代数式21xxx的最小值是()

A．0B．21C．1D．不存在的

(“希望杯”邀请赛试题)

8．若实数a、b满足032)2(2abba，求2b+a－1的值．

(山西省中考题)

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9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

21)1(2，

2

1

1

S；31)2(2，

2

2

2

S；41)3(2，

2

3

3

S；„

(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA

10

的长；

(3)求出S

l

2+S

2

2+S

3

2+„+S2

10

的值．(烟台市中考题)

10．已知实数a、b、c满足0

4

1

2

2

1

2cccbba，则a(b+c)=．

11．设x、y都是有理数，且满足方程04)

23

1

()

32

1

(



yx，那么x－y的值是．

(“希望杯’邀请赛试题)

12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=．

(四川省竞赛题)

13．已知正数a、b有下列命题：

①若a=1，b＝1，则1ab；②若

2

5

,

2

1

ba，则

2

3

ab；

③若a＝2，b=3，则

2

5

ab；④若a=1，b=5，则3ab．

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则ab．

(黄冈市竞赛题)

14．已知：1

1

a

a

，那么代数式a

a



1

的值为()

A．

2

5

B．

2

5

C．5D．5

(重庆市竞赛题)

15．设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则[21]+[32]+[43]+„

+[101100]的值为()

A．5151B．5150C．5050D．5049

(“五羊杯”邀请赛试题)

16．设a

ba

ba





的值为()

A．3B．6C．2D．3

(全国初中数学竞赛题)

17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：

222)(

1

)(

1

)(

1

accbba









为有理数．

18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量

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为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．

(安徽省中考题)．

19．阅读下面材料，并解答下列问题：

在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：

①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．

现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．

定义：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=log

a

N．

例如：因为23=8，所以log

2

8=3；因为2-3=

8

1

，所以log

2

8

1

=－3．

(1)根据定义计算:

①log

3

81=；②log

3

3=；③log

3

l=；④如果log

x

16=4，那么x=．

(2)设ax=M，ay＝N，则log

a

M=x；log

a

N＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．

用log

A

M，log

A

N的代数式分别表示log

a

MN及log

a

N

M

，并说明理由．

(泰州市中考题)

20．设

dcx

bax

y





，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：

(1)当bc=ad时，y是有理数；

(2)当bc≠ad时，y是无理数．

设△ABC的三边分别是a、b、c，且0448222bcabbca，试求AABC的形状．

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