sinarctanx

⼤学⽤三⾓函数公式⼤全

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·cα=1

cosα/sinα=cotα=cscα/cα

1+cot^2(α)=csc^2(α)

tanα*cotα=1

⼀个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）⼆倍⾓公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA

余弦

2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2a=1-2Sin^2(a)

2a=2Cos^2(a)-1

即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

正切

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半⾓公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

半⾓公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两⾓和公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

双曲函数

sha=[e^a-e^(-a)]/2

cha=[e^a+e^(-a)]/2

tha=sinh(a)/cosh(a)

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=-sinα

tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα

sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

tan（π/2-α）=cotα

cot（π/2-α）=tanα

三⾓函数的诱导公式（六公式）

公式⼀sin(-α)=-sinα

tan(-α)=-tanα

公式⼆sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

公式三sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

公式四sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

公式五sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

公式六tanA=sinA/cosA

tan（π/2+α）=－cotα

tan（π/2－α）=cotα

tan（π－α）=－tanα

tan（π+α）=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]

cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1（平⽅和公式）

(2)1+(tanα)^2=(cα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

(4)对于任意⾮直⾓三⾓形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

其他⾮重点三⾓函数

csc(a)=1/sin(a)

c(a)=1/cos(a)

(ca)^2+(csca)^2=(ca)^2(csca)^2

和差化积及积化和差⽤还原法结合上⾯公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）两⾓和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

反三⾓函数公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

三⾓函数求导：

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=(cx)^2

(cx)'=cxtanx

(cotx)'=-(cscx)^2

(cscx)'=-csxcotx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

基本求导公式

⑴0)(='C（C为常数）⑵1)(-='nnnxx；⼀般地，1)(-='αααxx。

特别地：1)(='x，xx2)(2='，21)1(xx-='，x

x21)(='。⑶xxee=')(；⼀般地，)1,0(ln)(≠>='aaaaaxx。

⑷xx1)(ln='；⼀般地，)1,0(ln1)(log≠>='aaa

xxa。求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf'±'='±；（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf'+'='，

特别)())((xfCxCf'='（C为常数）；（Ⅲ）)0)((,)

()()()()())()((2≠'-'='xgxgxgxfxgxfxgxf，特别21()()()()gxgxgx''=-。微分函数()yfx=在点x处的微分：()dyydxfxdx

''==

积分公式

常⽤的不定积分公式：

+==+=+=-≠++=+cxdxxxdxxcxxdxcxdxCxdxx43,2,),1(11433

221αααα

；Cxdxx

+=?||ln1；Cedxexx+=?；)1,0(ln≠>+=?aaCaadxaxx；??=dxxfkdxxkf)()(（k为常数）

定积分：

()()|()()b

baafxdxFxFbFa==-?

+=+bababa

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([2121分部积分法：

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu''，则

-=b

ababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(重要的等价⽆穷⼩替换:

当x→0时，

sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~1/2*（x^2）

（a^x）-1~x*lna

（e^x）-1~x

ln(1+x)~x

(1+Bx)^a-1~aBx

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna