康托尔集

1/9

Cantor集的拓展及其应用

黄玉霞指导老师：郭金生

（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号,甘肃张掖734000）

摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下

Cantor集的相关性质及应用.

关键词Cantor集;测度;稠密集;完备集

中图分类号O174

TheExpandabilityandApplicationsofCantorSet

HuangYuxiaInstructorGuoJinsheng

（No.09,ltyofMathematicsandAppliedMathematics,

HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000）

Abstract:ThispaperexpandsCantort,aswellasmakesCantortbydividingitinto

fiveparts,thendiscussit’srelatedpropertiesandapplicationsinthissituation.

Keywords:Cantort;measure;dent;exhaustivet

1引言

Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特

殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的

摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的

轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学

学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对

所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样

的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.

本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造

方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇

特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.

2预备知识

定义2.1[1]设nER,如果EE



(E



表示E的导集),则称E为完备集或完全

集.

定义2.2[2]凡和全体正整数所成集合

Z对等的集合都称为可数集,不是可数集

的无限集合,称为不可数集.

定义2.3[3]若两个集合A,

B

之间存在着一一的到上的映射,则A与B是对等的,

记为AB.此时也称A与B等势或者有相同的基数,记为

A



=

B



.

定义2.4[4]设E为nR

中的一个点集,

0

x是nR

中的一个定点,若

0

x附近全是E的

点,即

0,

使

0

(,)UxE,则称

0

x为E的内点.

定义2.5[5]设A,B是直线上的两个点集,如果B中每一点的任一环境中必有A

的点,那么称A在B中稠密.如果直线上的点集

S

在每一个不空的开集中都不稠密,就

称

S

是疏朗集或无处稠密集.

定理1.1(闭集的构造定理)直线上的闭集F或是全直线,或者是从直线上挖掉

有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余区间）所得到的集.

3主要内容

3.1Cantor集的构成

(1)将闭区间

[0,1]R

三等分,去掉中间一个02个

个长度为

1

3

的开区间

12

,

33







,

记作

1

F;剩下两个12个

长度均为

1

3

的闭区间

1

0,

3







和

2

,1

3







,分别记为1

1

G和2

1

G;

(2)将剩下的两个闭区间

1

0,

3







和

2

,1

3







分别继续三等分,去掉其中间两个12个

长度为

2

1

3

的开区间

12

,

99







和

78

,

99







,分别记为1

2

F和2

2

F,剩下的四个22个

小闭区间,

分别是

1

0,

9







,

23

,

99







,

67

,

99







和

8

,1

9







,分别记为123

222

,,GGG和4

2

G;

(3)如此继续下去,第次n去掉12n个长度为

1

3n

的开区间1221,,,n

nnn

FFF,剩下2n

个长度为

1

3n

的闭区间,记为12,,

nn

GGn

n

G2,;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:

第1次分割第2次分割第3次分割第

n

次分割

开区间个数02122212n

闭区间个数1222322n

小区间长度

1

32

1

33

1

3

1

3n

表1

(4)将上述过程无限进行.

最终得到一集合列122

11

n

nn

GGGG=1,2n，.作点集P=

1

n

n

G





,则称P为

Cantor集.

3.2对Cantor集构造方法的拓展

基于Cantor三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间

[0,1]

五等分、甚至任意正奇数

等分.

3.2.1将闭区间

[0,1]

五等分,进行构造

(1)将闭区间

[0,1]R五等分,去掉中间两个12个

长度为

1

5

的开区间

12

,

55







和

34

,

55







,记作1

1

F和2

1

F;剩下三个长度均为

1

5

的闭区间

1

0,

5







,

23

,

55







和

4

,1

5







,分别记为

1

1

G,2

1

G和3

1

G;

(2)将剩下的三个闭区间

1

[0,]

5

,

23

[,]

55

和

4

[,1]

5

分别继续五等分,然后去掉其中间六

个长度为

2

1

5

的开区间

22

12

,

55







,

22

34

,

55







,

22

1112

,

55







,

22

1314

,

55







,

22

2122

,

55





22

2324

,

55







.

分别记为1

2

F,2

2

F,345

222

,,FFF和6

2

F.剩九个小闭区间,分别为

2

1

0,

5





22

23

,,

55







,

2

41

,

55







,

2

211

,

55







,

22

1213

,

55







,

2

143

,

55







,

2

421

,

55







,

22

2223

,

55







,

2

24

,1

5







.

分别记为123

222

,,GGG,4

2

G,5

2

G,6

2

,G7

2

,G8

2

G和9

2

G;

(3)如此继续下去,第

n

次去掉1221n个长度为

1

5n

的开区间

1

221

12,,,n

nnn

FFF

,

剩下3n个长度为

1

5n

的闭区间,记为12,,

nn

GGn

n

G3,;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:

第1次分割第2次分割第3次分割第n次分割

开区间个数023123223123n

闭区间个数1323333n

小区间长度

1

52

1

53

1

5

1

5n

表2

(4)将上述过程无限进行.

最终得到一集合列123

11

n

nn

GGGG=1,2n，.作点集

2

P=

1

n

n

G





.在下面3.3中可

证得

2

P具有与Cantor三分集完全相同的性质.

3.2.2对于任意给定的正奇数

21kkN

.

(1)将闭区间

[0,1]

进行

21k

等分,并去掉中间的第

2,4,k2

个开区间

1

1

12

(,)

2121

F

kk





,2

1

34

(,)

2121

F

kk





,,

1

212

(,)

2121

k

kk

F

kk







记留存部分为

1

G,即

011

1111

kGGGG

1232

[0,][,][,1]

21212121

k

kkkk





.

(2)将剩下的1k个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第

2,4,,2k

个中间开区间;记

1

G中留下来的部分为

2

G,

(3)如此继续下去,第

n

次去掉11nkk个长度为



1

21nk

的开区间,剩下

1nk个长度为



1

21nk

的闭区间,记为

1

12,,,n

k

nnn

GGG;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:

第1次分割第2次分割第3次分割第n次分割

开区间个数

01kk11kk21kk11nkk

闭区间个数

1k

21k31k1nk

小区间长度

1

21k2

1

21k3

1

21k

1

21nk

表3

(4)将上述过程无限进行.

最终得到一集合列

1

12

11

n

k

nn

GGGG=1,2n，.作点集

k

P=

1

n

n

G





.

3.3五分法下Cantor集

2

P的性质

性质3.3.1

2

P是闭集.

证明由

2

P的构造过程可知,第一次去掉的开区间为1

1

F和2

1

F,第二次去掉的开区

间为12345

22222

,,,,FFFFF和6

2

F,那么由表2知,第n次去掉的是11223,,,n

nnn

FFF,依次下去,

可以推想,共去掉的开区间可表示为

123

11

n

m

n

nm

F





,则

123

2

11

[0,1]

n

m

n

nm

PF







,由闭集构造定理知

2

P为闭集.

性质3.3.2

2

P是完备集.

证明由于

2

P的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点

故

2

P没有孤立点,因而

2

P自密,又

2

P是闭集,因此

2

P是完备集.

性质3.3.3

2

P没有内点.

证明在

2

P的作法中,“去掉”过程进行到第n次为止时,剩下

3n个长度是

1

5n

的互

相隔离的闭区间,因此任何一点

02

xP必含在

3n个闭区间的某一个里面.从而在

0

x的任

意邻域

0

1

(,)

5n

Ux

内至少有一点不属于

2

P,但

1

0

5n

()n

,故

0

x不是

2

P的内点.

性质3.3.4

2

[0,1]P是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.

证明在

2

P的构造过程中,第n次去掉的123n个长度为

1

5n

的开区间,因

2

[0,1]P

中互不相交的开区间之和为

1

1

23

5

n

n

n







1

2

22323

555

n

n





1

1

233

(1)

555

n

n





1.

性质3.3.5

2

P是零测度集.

证明用

2

cP表示[0,1]上

2

P的余集,则

22

[0,1]cPP.由性质3.3.4知2

1cmP

.

故

22

[0,1]cmPmmP110

.

性质3.3.6

2

P是不可数集.

证明假设

2

P是可数的,将

2

P中点编号成点列

1

x,

2

x,,

k

x,,也就是说,

2

P中

任一点必在上述点列中出现.显然,

1

[0,]

5

,

23

[,]

55

与

4

[,1]

5

中应至少有一个不含有

1

x,用

1

G表示这个闭区间.将

1

G五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含

2

x,用

2

G

表示它.然后用

3

G表示五等分

2

G时不含

3

x的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一

个闭区间列{}

kkN

G



.由上述取法知,

1

G

2

G

k

G,,

k

x

k

G,kN,同时,

易见

k

G的长为

1

0

5k

k.于是根据数学分析中区间套定理,存在点



k

G,kN.可是

k

G的端

点集的聚点,从而是闭集

2

P的聚点,故

2

P.由于上面已指出

k

x

k

G,kN,故



k

x,

kN.这是一个矛盾.故

2

P不可数.

性质3.3.7

2

P非空.

证明从

2

P的构造过程来看,每个区间的端点,例如

0

,

1

25

,

23

,,1

2525

这样的端点

都是被保留下来的,故

2

P.

性质3.3.8[6]

2

P不含任何区间.

证明由

2

P的构造过程可知,第n次分割后的第i1,2,,3ni

个小区间的长度

为

1

0()

5n

n

Ln

故

2

P中不含任何区间.

性质3.3.9

2

P是疏朗集.

证明由

2

P的构造,

02

xP和

0

,

0

(,)Ux

内包含有无穷多个被去掉的小区间,

因此

02

(,)UxP,即

2

P在

0

(,)Ux

中不稠密,根据定义2.5即得

2

P是疏朗集.

性质3.3.10

2

P没有孤立点.

证明由性质3.3.1知

2

P是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的

两个余区间的公共端点,由

2

P的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即

2

P没有孤

立点.

性质3.3.11

2

P与R对等.

证明由性质3.3.6知,

2

Pc



,又

Rc





,从而

2

PR.由此说明

2

P中的点与R中的

一样多.又因为

2

P[0,1]R,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不

成立的.

4Cantor集的应用

Cantor集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目

的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.

4.1Cantor集在反例中的应用.

例1孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集.

例如Cantor集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集.

例2存在R中零测度集E,使得对每个xE及任意0,有

E

0

,x

0

x

为不可数集.

此题中可取,EPQxyxPyQ

.其中P为Cantor集,Q为有理数集.

例3在0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1.

反例

2

P是0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.

例4可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集.

反例

2

P的测度为零,但它是不可数集.

4.2Cantor集及其性质在证明题中的应用.

例1[8]无理数在R中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.

证明任取两个无理数



和()

,设闭区间,中有理数为

12

,,,,

n

rrr,

仿照Cantor集的构造法,第一步,从,中挖掉开区间

1

F,

1

F满足以,的中点为

中点,长度小于

且包含

1

r;从余下的两个闭区间中挖掉与

1

F性质类似的两个开区

间1

2

F和2

2

F,且使1

22

rF,2

32

rF,如此这样做下去,,中余下的即是一个由无理

数组成的疏朗的完备集.

例2设P是Cantor集,E在0,1中为不可数集,在0,1上定义函数

2

2,,

()

4,0,1.

xxPE

fx

xxPE

















判断

()fx

在0,1上是否可测.

解由性质3.3.5知,0mP.又PEP,由测度的非负性及单调性,有

()0mPE

,

()mPEmP

故

()0mPE

即2()4fxx.ae于[0,1],从而()fx在[0,1]上可测.

例3设

()fx

在集合

2

P上为1,而在

2

P的补集G中的长度为

1

5n

的构成区间上

()fx

为n,求积分

1

0

()fxdx.

解记

n

G为G中长度为

1

5n

的各个开区间之并,则

n

G有123n个长度为

1

5n

的开区

间且

1

1

5n

n

G





,

123

5

n

n

n

mG





.

由题意知

2

1,,

()(1,2,)

,.

xP

fxn

nxG













1

0

()fxdx=

2

()()

PG

fxdxfxdx=

21

()

n

PG

n

fxdxndx









1n

G

n

ndx







=

1

n

n

nmG







=1

1

1

23

5

n

n

n

n







=

1

23

35

n

n

n













令

1

23

35

n

N

N

n

Sn











,

则

1

1

323

535

n

N

N

n

Sn













.

21323333

535555

NN

NN

SSN

















即

232

11

555

N

N

SN









535

252

N

N

SN









5355

limlim

2522

N

N

NN

SN



















故

1

0

5

()

2

fxdx.

5小结

综合上述内容,根据Cantor三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法

构成了

2

P,并对集合

2

P所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合

2

P具有与Cantor三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor三分集这种奇特的构

造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在

范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor集在数学问题的解决中的重

要性.

致谢诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！

参考文献

[1]于兴太,杨明顺.Cantor三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149.

[2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6.

[3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.

[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.

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