sin2x求导

§1.2.2复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导

数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．'

''()()()()fxgxfxgx

2．'

''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．



'

''

2

()()()()()

(()0)

()

()

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx











（2）推论：'

'()()cfxcfx

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

函数导数

yc'0y

*()()nyfxxnQ'1nynx

sinyx'cosyx

cosyx'sinyx

()xyfxa'ln(0)xyaaa

()xyfxe'xye

()log

a

fxx'

1

()log()(01)

lna

fxxfxaa

xa

且

()lnfxx'

1

()fx

x



二．新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量

u

，y可以

表示成

x

的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作

()yfgx。

复合函数的导数复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关

系为

xux

yyu



，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx











三．典例分析

例1求y＝sin（tanx2）的导数．

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐

层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例2求y＝

axx

ax

22



的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例3求y＝sin4x＋cos4x的导数．

【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－

2

1

sin22x

＝1－

4

1

（1－cos4x）＝

4

3

＋

4

1

cos4x．y′＝－sin4x．

【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin

3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x

＝－sin4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导

数，应注意不漏步．

例4曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2

令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－

3

1

或x＝1．

于是切点为P（1，2），Q（－

3

1

，－

27

14

），

过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为

2

|1

27

14

3

1

|

＝2

27

16

．

四．课堂练习

1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）

12

2sin





x

x

y;(3))2(log2x

a

2.求)132ln(2xx的导数

五．回顾总结

六．布置作业

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”

的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同

科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题

目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈

现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走

一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试

的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都

不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对

全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，

步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策

略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以

采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有

两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问

题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步

解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，

完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与

否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反

证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”

与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与

讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范

第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要

以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可

能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏

难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新

在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，

本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答

题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量

按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不

要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能

太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于

没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知

识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不

要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一

个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，

结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下

后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化

学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范

的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙

述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达

到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔

流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难

题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考

知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这

类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，

努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。