偏导数存在的条件

偏导数的运算

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fx（x。，lim

.x—0

f（X。X,

zx

第二节偏导数

教学目的：（1）理解多元函数偏导数的概念；

（2）掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函

数的求导法则；

（3）了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。

教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法

教学难点：偏导数存在性的讨论

教学方法：讲练结合

教学时数：2课时

、偏导数的定义及其计算

在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变

化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个

自变量的变化率，例如：

理想气体的体积：V=kT,

P

因此，我们引入下面的偏导数概念。

1、偏导数的定义

定义2.1设函数z二f（x,y）在点（xo，y。）的某一邻域内有定义，当y固定在y。，而x

在xo处有增量x时，相应地函数有增量：f（X。•Ax,y。）-f（x。，y。），

如果|巩

f（x

。Xy。）-

f（

x°

,y

。）存在，则称此极限为函数z二f（x,y）在点（x

0

,y。）处对x

的偏导数，记为

，—，Zx（x。，y。）或fx（x。，y。）.

伙（x。』。）苏（冷』0）

同理可定义函数z=f（x,y）在点（x。』。）处对y的偏导数，为

f（x。，y。y）〜f（x。，y。）

记为z

(xo,yo)

，zy(x°,y°)或fy(x°,y。).

o°)

即fy(xo,yo)呷叽％号「("0)=

dLf(xo,y)

yzyo°

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个

偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏导数

_zf,

记作&，孑，zx或fx(x,y).

同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作一z,—,zy

或fy(x,y)•cy

cy

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处

fx(x,y，卄啊

f(x5,

y

⑵一

f(x

,

y

⑵

f(x,y•：y,z)-f(x,y,z)

f

y(X,y,z)pm

o-

fzxz)呷fwn®

2、计算:

从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变

量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。

曰

是，

元函数的求导公式和求

解法一:

；

:z

ex(1,2)

2132=8,：

z

£y(1,2)=

3

汉〔+2乂2_7

解法二:

导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

x23xyy2在点(1,2)处的偏导数.

L、z:z

2x3y;3x2y.

.x:y

欣(1,2严宀

f(0,3)—f(0,0)

f

y

(0,0)少0(，y

(

，啊十0,

这里我们要知道,

例2:f(x,y,z)xyz

二xe

2

、cf

(xy)arctanln(1xyz),求——

ex

(1,0,1)-

解：fx(x,0,1)=xx0

拼

=x,.——

ex(1,0,1)

=1.

例3已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数)，

求证：空兰1=-1.

V订.:p

证明：p：二E=

VeV

RT-

_—

』T

p

PV二

:T

-P

2T

8

RT

_V2

RT

=-1

PV

例如，z=f(x,y)二

•，莎求fx(0,0),fy(0,0).

解：当(x,y)=(0,0)时，fx(x,y)=y(x2y2)—2xxy

y(y2-x2)

fy(x,y)=

222

(xy)

222'

(xy)

“22、小

x(xy)_2yxy

222

(xy)222'(xy)

仁(0,0)侧305。,。)

=

卫-0,

x

有关偏导数的几点说明：

1、偏导数—是一个整体记号，不能拆分;

ex

2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;

j

解：fx(0,0)巳m

|x0|-0

=0二fy(0,0).

例4:设f(x,沪宀°,沪(0,°),求f(x,y)的偏导数。

〔0(x,y)=(0,0)

当(x,y)=(0,0)时，按定义可知

i“亠2dz

Ix^=1+3y+y

(1,2)5)

z

“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例

有时,

y^=7

、/y(y-x)

故fx(x,y)=*(X2+y2)2

b

(x,y)=(O,O)

(X,y)=(0,0)

^22

x(x-y)、(x,A(0,0)

(x,y)=(0,0)

-2

::z

=fxx(x,y),=

JfHy^=f

yy

(x,y)

d(cz^一-2

:z

列、px3cxcy

=fxy(x,y),

:z-2:z

二fyx(x,y)

元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数

未必连续

x2y2-0

依定义知在(0,0)处，,

x2y2二0

fx(0,0)=fy(0,0)=0.但函数在该点处并不连续•

4、偏导数的几何意义

设M0(X0

,y0

,f(Xo’y。))是曲面z二f(x,y)上一点，则

偏导数f

x

(x

0

,y

0

)就是曲面被平面y二y

0

所截得的曲线在点M

0

处的切线M

0

T

x

对x轴的斜

率；偏导数f

y

(x

0

,y

0

)就是曲面被平面x二x

0

所截得的曲线在点M

0

处的切线M

0

T

y

对y轴

的斜率.

二、高阶偏导数

设函数z=f(x,y)在区域D内的两个偏导数f

x

(x,y)、fy(x,y)的偏导数也存在，则

称它们是函数Z=f(x,y)的二阶偏导数。记作

定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

'xy

例如，函数f(x,y)=*

x2+y2

0,

例5设z=x3y2—3xy3

.：

2z

-xy1，求亍

;2z

：

2z

z223

解：3xy-3y

:x

-：

z

32

二2xy-9xy

：

-x;

2Cz2

6xy,36y,

；

-2

■y

二2x3T8xy;

；■n2

:z

-----=6xy—9y-1,

：x：y:y：x

ax

u

ax

解：aecosby,besinby;

.xy

.2.2

:U2axU,2ax

2aecosby,2becosby,.x；y

=-abeaxsinby,

_：x；：y

「u=-abeaxsinby.

■y.x

问题：混合偏导数都相等吗?

例7设f(x,y)=T

x3y

0

(X")珂0,0，求fxy(0,0),fyx(0,0).

(x,y)=(0,0)

解：当(x,y)=(0,0)时,

fx(x,y)二

3x2y(x2y2)-2xx3y/22、2

(xy)

3x2y2x4y

~2_~2,

xy(xy)

fy(x,y)二

332

x2xy

""2_~2r~2,xy(xy)

当(x,y)=(0,0)时，按定义可知:

fx(0,0)=叽f(gf(0Q)

=lim

匚xx

f(0,Ay)—f(0,0)

f

y

(0,0)Pm

0y

二lim2=0,

y—0._.y

fxy(0,0)^^=0

显然fxy(0,0)=fyx(0,0).

问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等?

定理2.1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数

,2厂2

及上Z在区域D内连

；：y：：xfx；：y

续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

例8验证函数u(x,y)=1nx2y2满足拉普拉斯方程

.■.2.■.2

:'Uu

220-

:x:y

例6设u=eaxcosby，求二阶偏导数.

证明:

m、,x2=丄1n(x

y2),二

：.:u

:y

-2/2222.2；■u(xy)-x2xy-x:-u

一2■22^"2

,一2.x(xy)(xy)；y

(x2y2)-y2y

(xy)

x-y

/2.2X2-

(xy)

2影2222

:uruy「xx-y

----+------—--------------+-----------------n

=0.x；:y(xy)(xy)

内容小结：

1•偏导数的定义(偏增量比的极限)

2•偏导数的计算、偏导数的几何意义

3•高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等的条件

思考题：若函数f(x,y)在点Po(xo，yo)连续，能否断定f(x,y)在点Po(x。，y。)的

偏导数必定存在?

思考题解答：不能。例如f(x,y)—x2•y2在(0,0)处连续，但f

x

(0,0)=f

y

(0,0)不存在。

作业：练习册P5---P8.