方向向量怎么求

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授课：XXX

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是()

A.











7

2

，1，－2

B.











1

2

，2，3

C.()－12，3，5

D.











1

3

，

4

3

，－2

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且AC

→

＝

2

3

AB

→

，则点C的坐

标为()

A．(

7

2

，－

1

2

，

5

2

)B．(

3

8

，－3,2)

C．(

7

3

，－1，－1)D．(

5

2

，－

7

2

，

3

2

)

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于()

A．－

2

5

B.

2

5

C．－

25

5

D.

25

5

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则

()

A．x＝

9

2

，y＝15B．x＝3，y＝

15

2

C．x＝3，y＝15D．x＝

9

2

，y＝

15

2

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a

与b所成的角是()

A．30°B．45°

C．60°D．90°

6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且

|AC

→

|

|AB

→

|

＝

1

3

，则点C的坐标为

()

A.











7

2

，－

1

2

，

5

2

B.











3

8

，－3，2

C.











10

3

，－1，

7

3

D.











5

2

－

7

2

，

3

2

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，

则异面直线EF与GH所成的角等于()

A．45°B．60°

C．90°D．120°

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，

则以下结论中不成立的是()

A．EF与BB1垂直

B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面

D．EF与A1C1异面

9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是()

A．异面直线B．平行直线

C．垂直不相交D．垂直且相交

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授课：XXX

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝

6，且a⊥b，则x＋y的值是()

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A．－3或1B．3或－1

C．－3D．1

二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为

(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为

________．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y

＝______，z＝______.

14．已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v2〉＝－

1

2

，则l1

与l2所成的角为________________．

三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x

的值．

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB

＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|

＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是()

A.











7

2

，1，－2

B.











1

2

，2，3

C.()－12，3，5

D.











1

3

，

4

3

，－2

[答案]B

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授课：XXX

[解析]由中点坐标公式可得B.

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且AC

→

＝

2

3

AB

→

，则点C的坐

标为()

A．(

7

2

，－

1

2

，

5

2

)B．(

3

8

，－3,2)

C．(

7

3

，－1，－1)D．(

5

2

，－

7

2

，

3

2

)

[答案]C

[解析]设C(x，y，z)，AC

→

＝(x－3，y－3，z＋5)

＝

2

3

(－1，－6,6)

解得x＝

7

3

，y＝－1，z＝－1.

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于()

A．－

2

5

B.

2

5

C．－

25

5

D.

25

5

[答案]B

[解析]a·b＝－4，|a|＝5，|b|＝25，

cosθ＝|cos〈a·b〉|＝













a·b

|a||b|

＝











－4

10

＝

2

5

.

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则

()

A．x＝

9

2

，y＝15B．x＝3，y＝

15

2

C．x＝3，y＝15D．x＝

9

2

，y＝

15

2

[答案]D

[解析]∵l1∥l2，∴a∥b，∴

3

2

＝

x

3

＝

y

5

，

∴x＝

9

2

，y＝

15

2

.

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a

与b所成的角是()

A．30°B．45°

C．60°D．90°

[答案]C

[解析]直线a，b的方向向量分别为AB

→

，CD

→

，

∵AB

→

＝AC

→

＋CD

→

＋DB

→

，

∴AB

→

·CD

→

＝AC

→

·CD

→

＋CD2

→

＋DB

→

·CD

→

，

即2×1×cos〈AB

→

，CD

→

〉＝1

∴cos〈AB

→

，CD

→

〉＝

1

2

，

即〈AB

→

，CD

→

〉＝60°.故选C.

6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且

|AC

→

|

|AB

→

|

＝

1

3

，则点C的坐标为

()

A.











7

2

，－

1

2

，

5

2

B.











3

8

，－3，2

C.











10

3

，－1，

7

3

D.











5

2

－

7

2

，

3

2

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[答案]C

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[解析]设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且

|AC

→

|

|AB

→

|

＝

1

3

.

∴AC

→

＝

1

3

AB

→

，

即(x－4，y－1，z－3)＝

1

3

(－2，－6，－2)，

∴x＝

10

3

，y＝－1，z＝

7

3

.

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，

则异面直线EF与GH所成的角等于()

A．45°B．60°

C．90°D．120°

[答案]B

[解析]取D点为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，设棱长为1，

则EF

→

＝













0，

1

2

，－

1

2

，GH

→

＝













－

1

2

，0，

1

2

，

∴cos〈EF

→

，GH

→

〉＝

－

1

4

2

2

·

2

2

＝－

1

2

.

∴〈EF

→

，GH

→

〉＝120°，

∴异面直线EF，GH成60°角．

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的

是()

A．EF与BB1垂直

B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面

D．EF与A1C1异面

[答案]D

[解析]建立空间直角坐标系后，验证A、B、C正确，故选D.

9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是()

A．异面直线B．平行直线

C．垂直不相交D．垂直且相交

[答案]B

[解析]取D点为坐标原点建系后，

DA1

→

＝(1,0,1)，AC

→

＝(－1,1,0)，

设PQ

→

＝(a，b，c)，则







a＋c＝0

－a＋b＝0，

取PQ

→

＝(1,1，－1)．

∵BD1

→

＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－PQ

→

，

∴PQ

→

∥BD1

→

，∴PQ∥BD1.

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝

6，且a⊥b，则x＋y的值是()

A．－3或1B．3或－1

C．－3D．1

[答案]A

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[解析]∵|a|＝6，∴x＝±4.

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又a⊥b，∴2y＋x＋2＝0.

当x＝4时y＝－3，x＋y＝1；

当x＝－4时y＝1，x＋y＝－3.故选A.

二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为

(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

[答案](－1,0,2)

[解析]由已知，AB

→

＝(－1，－1，－1)，AC

→

＝(2,0,1)，PA

→

＝(－x,1，－z)，

由











PA

→

·AB

→

＝0

PA

→

·AC

→

＝0

，得







x－1＋z＝0

－2x－z＝0

，解得







x＝－1

z＝2

.

∴P(－1,0,2)．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为

________．

[答案](1,2,0)

[解析]BC

→

＝(－2，－2,0)，而AD

→

＝BC

→

，

∴OD

→

＝BC

→

＋OA

→

＝(－2，－2,0)＋(3,4,0)＝(1,2,0)，

∴D点坐标为(1,2,0)．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y

＝______，z＝______.

[答案]

3

2

3

2

[解析]∵v∥AB

→

，而AB

→

＝(－1,2－y，z－3)

∴

－1

2

＝

2－y

－1

＝

z－3

3

∴y＝

3

2

，z＝

3

2

.

14．已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v2〉＝－

1

2

，则l1

与l2所成的角为________________．

[答案]60°

[解析]由异面直线夹角的范围可得．

三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x

的值．

[解析]AB

→

＝(－2,2－2)，

AC

→

＝(－1,6，－8)，AP

→

＝(x－4，－2,0)．

因为点P在平面ABC内，则存在一对实数λ，μ，使得AP

→

＝λAB

→

＋μAC

→

.

故





x－4＝－2λ－μ，

－2＝2λ＋6μ，

0＝－2λ－8μ.

解得x＝11.

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

[解析]建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，

B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．

由BD∥AC，DC∥AB⇒BD

→

∥AC

→

.DC

→

∥AB

→

，

因此





(x，y－1，z)＝k1(－1，0，2)，

(－x，－y，2－z)＝k2(－1，1，0)，

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⇒





x＝－1，

y＝1，

z＝2.

即D点的坐标为(－1,1,2)．

17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB

＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

[解析]设OA

→

＝a，OB

→

＝b，OC

→

＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝

1

2

，|a|＝|b|＝|c|＝1，

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OE

→

·BF

→

＝

1

2

(a＋b)·











1

2

c－b

＝

1

2









1

2

a·c＋

1

2

b·c－a·b－|b|2

＝

1

2









1

4

＋

1

4

－

1

2

－1

＝－

1

2

，

∴cos〈OE

→

，BF

→

〉＝

OE

→

·BF

→

|OE

→

|·|BF

→

|

＝

－

1

2

3

2

×

3

2

＝－

2

3

.

∴OE与BF所成角的余弦为

2

3

.

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的

中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；

(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

[解析]如图所示，建立空间直角坐标系．

(1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，

B1(2,3,2)，E(1,3,0)

∴AO1

→

＝(－2,0,2)，B1E

→

＝(－1,0，－2)．

∴cos

→

，B1E

→

>＝

－2

210

＝－

10

10

.

∴AO1与B1E所成角的大小为arccos

10

10

.

(2)由题意得O1D

→

⊥AC

→

，AD

→

∥AC

→

.

∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，

∴O1D

→

＝(x，y，－2)，AD

→

＝(x－2，y,0)，

AC

→

＝(－2,3,0)

∴









－2x＋3y＝0，

x－2

－2

＝

y

3

，

∴









x＝

18

13

，

y＝

12

13

.

∴D(

18

13

，

12

13

，0)．

∴|O1D

→

|＝(

18

13

－0)2＋(

12

13

－0)2＋(0－2)2

＝

2286

13

.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）