扇形的弧长公式

..

.v.

羁弧长与扇形面积、圆锥侧面积

膆【知识详解】

肆知识点1、弧长公式

袂因为360°的圆心角所对的弧长就是圆长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧

长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公

式：，

莁说明：〔1〕在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单

位"度〞，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写

成。

袈〔2〕在弧长公式中，l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

袄知识点2、扇形的面积

羂如下列图，阴影局部的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然

扇形的面积是它所在圆的面积的一局部，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面

积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的

计算公式是。

螂又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又

得到扇形面积的另一个计算公式：。

芆知识点3、圆锥的侧面积

袇圆锥的侧面展开图是一个扇形，如下列图，设圆锥的母线长为l，底面圆的

半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积

，圆锥的全面积

羂说明：〔1〕圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

罿〔2〕研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面

积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

肈知识点4、圆柱的侧面积

蚆圆柱的侧面积展开图是矩形，如下列图，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱

底面圆的长，假设圆柱的底面半径为r，高为h，那么圆柱的侧面积

..

.v.

，圆柱的全面积

肁圆锥与圆柱的比较

莀名称螀圆锥莅圆柱

膁图形螁膈

膄图形的形成过程

芁由一个直角三角形旋转

得到的，如Rt△SOA绕直

线SO旋转一。

膂由一个矩形旋转得到的，如矩形

ABCD绕直线AB旋转一。

羀图形的组成膇一个底面和一个侧面莁两个底面和一个侧面

艿侧面展开图的特

征

莈扇形羆矩形

蒁面积计算法蚀聿

螅补充：知识点5、弓形的面积

螅〔1〕弓形的定义：由弦及其所对的弧〔包括劣弧、优弧、半圆〕组成的图形叫

做弓形。

肀〔2〕弓形的长＝弦长＋弧长

薇〔3〕弓形的面积

螇如下列图，每个圆中的阴影局部的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看

出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB

的面积。

袅当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，

蒁当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

艿当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

薆例：如下列图，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，那么图中阴影局部的面积是

〔〕〔结果用表示〕

..

.v.

羅分析：由图可知由圆角定理可知∠ABC＝∠

AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

袂，

蚇所以

芅注意：〔1〕圆长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

肅

聿圆长葿弧长肄圆面积膄扇形面积

蒀公

袇式

肇芄袁蕿

袆〔2〕扇形与弓形的联系与区别

芄图

节示

肇蚅莄

荿面

螈积

蒄蒄蝿

芆【典型例题】

蒆例1.如下列图，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，那么阴

影局部的面积是〔〕A.B.C.D.

薄分析：阴影局部所在的两个扇形的圆心角为，

膀所以

羈例2.如下列图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，

tan∠BAC＝，求阴影局部的面积。

芅分析：此题考察的知识点有：〔1〕直径所对圆角为90°，〔2〕解直角三角

形的知识〔3〕组合图形面积的计算。

蚄解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，

薁在Rt△ABC中，AB＝10，tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝

..

.v.

莆设BC＝3k，AC＝4k，〔k不为0，且为正数〕由勾股定理得

羄所以BC＝6，AC＝8，，而

螄所以

羂例3.如下列图，扇形AOB的圆心角为直角，正形OCDE接于扇形AOB，点C，

E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为

F，如果正形的边长为1，那么阴影局部的面积为〔〕

膈分析：连接OD，由正形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD

＝，

肇因为正形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两局部阴影的面

积中的一局部为M，另一局部为N，那么，

阴影局部面积可求，但这种法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一局部空白

面积为P，

袃因为∠BOD＝∠DOC，所以

腿所以M＝P，所以

薆例4.如下列图，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD

＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一，求所得几体的外表积。

薂分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一所得的几体是由一样底面的圆柱和圆

锥组成的，所得几体的外表积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

虿解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2

芆CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4

肄在△CDH中，

芁所以

蝿例5.扇形的圆心角为120°，面积为300平厘米

蚇〔1〕求扇形的弧长。

螆〔2〕假设把此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的轴截面面积是多少.

肀分析：〔1〕由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长

可由弧长公式求得。〔2〕由此扇形卷成的圆锥如下列图，这个圆锥的轴

截面为等腰三角形ABC，〔1〕问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆长，而圆长

公式为C＝2r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求

得，所以可求。

..

.v.

蝿解：〔1〕设扇形的半径为R，由，得，解得R

＝30.

肈所以扇形的弧长〔厘米〕。

膃〔2〕如下列图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆

长C＝2r，因为底面圆长即为扇形的弧长，所以

肂在Rt△ADC中，高AD＝

衿所以轴截面面积〔平厘米〕。

膄【模拟试题】

袅一、选择题

袁1.假设一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，那么这个扇形的半径是〔〕

罿A.4B.2C.47лD.2л

薅2.扇形的圆心角是60°，那么扇形的面积是所在图面积的〔〕

莃A.B.C.D.

3.扇形的面积等于其半径的平，那么扇形的圆心角是〔〕

A.90°B.C.D.°

4.两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．大

圆半径是小圆半径的3倍，那么扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的〔〕

A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍

5.半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，那么阴影局部的面积是〔〕

A.B.

C.D.

6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，那么此圆锥的底面半径

为〔〕

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

7.圆锥的全面积和侧面积之比是3：2，这个圆锥的轴截面的顶角是〔〕

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之

比为1∶2，那么它们的高之比为〔〕

A.2：1B.3：2C.2：D.5：

9.如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC>BC，假设以AC为底面圆半径，BC

为高的圆锥的侧面积为S

1

，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S

2

，

那么〔〕

A.S

1

＝S

2

B.S

1

>S

2

C.S

1

2

D.S

1

、S

2

的大小关系不确定

..

.v.

二、填空题

1.扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，那么扇形的半径是cm，扇形的面

积是cm2.

2.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，那么扇形的

圆心角是.

3.扇形面积是12cm2，半径为8cm，那么扇形长为.

4在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一得到

一个圆锥，其全面积为S

1

；把Rt△ABC绕AB旋转一得到另一个圆锥，其全面积

为S

2

，那么S

1

：S

2

＝。

5.一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一

个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有

cm。

6.如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，

那么阴影局部的面积是。

7.如图正形的边长为2，分别以正形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，

那么阴影局部面积为。

三、计算题

1.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，以A为圆心画弧，交AB于点D，交

AC延长线于点F，交BC于点E，假设图中两个阴影局部的面积相等，求AC与

AF的长度之比〔л取3〕。

2.一个等边圆柱〔轴截面是正形的圆柱〕的侧面积是S

1

，另一个圆锥的侧面

积是S

2

，如果圆锥和圆柱等底等高，求．

3.圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆上一点，从点M拉一根绳

子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．

【试题答案】

一、选择题

1.A2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.B

二、填空题

1、241442、40°3、19cm4、3：45、36、27、2－4

三、计算题

1、连接AE，那么，所以

2、

3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。

利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，

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.v.

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu.

NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.

Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.

толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,

исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.

以下无正文

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