扇形弧长公式

【本讲教育信息】

一.教学内容：

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二.教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三.重点及难点

重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧

长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：

，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，

例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成

。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形

的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，

所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是

。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积

的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫

做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

（3）弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，

只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，?

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是

（???????）（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠

AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长弧长圆面积扇形面积

公

式

（2）扇形与弓形的联系与区别

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径

为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，

圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公

式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆

的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面

积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

名称圆锥圆柱

图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转

得到的，如Rt△SOA绕

直线SO旋转一周。

由一个矩形旋转得到的，如矩

形ABCD绕直线AB旋转一周。

图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面

侧面展开图的特

征

扇形矩形

面积计算方法