矩阵可交换

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内蒙古财经大学本科学年论文

可交换矩阵成立的条件与性质

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指导教师评语：

该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指

导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完

成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完

成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目

及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的

理解及总结。

成绩：中

指导教师：

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内容提要

矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的

理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，

ABBA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多

特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交

换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.

关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵

Abstract

Matrixisanimportantcontentinaltitude-mathematics,ithasagreattheoretic

swe

haveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunder

thenormalcondition,thatistosay,normally,s,

insomecertain

conditions,the

multiplicatio

e

paperdiscusssomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof

theexchangeablematrix,andalsointroducesveralkindsofspecificexchangeable

hearediscusdfromtheconceptofexchangeablematrixand

relativeinformation.

KeyWords：matrixinterchangeableconditionspropertyupper

triangularmatrix

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目录

引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1

一可交换矩阵及相关定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1

(一)矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1

(二)可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3

二可交换矩阵成立的条件与性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3

(一)可交换矩阵成立的条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3

(二)相关结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5

(三)可交换矩阵的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7

三几类常用的可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7

四可交换矩阵的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8

五总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

10

参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

10

致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

10

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可交换矩阵成立的条件与性质

引言

随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究

受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，

使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理

论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无

线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应

用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深

刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重

视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学

工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计

算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方

便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.

一、可交换矩阵及相关定义

㈠矩阵

1、矩阵的定义

由m

n个数aiji1,2,,m,j1,2,

,n

排成的m行n列的数表

a11a12a1n

a21a22a2n

1A

an1an2ann

称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大

写黑体字母表示它，也可以记为Aaij或Amn．这里的aij表示位于A的第i行第j列的

元素.mn称为矩阵的阶数.

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矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有

一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，

则称为同型矩阵.

2、矩阵的运算

1加减法

设Aaijmn,Bbijmn为同型矩阵，则

AB

ai

jbijmn2

这里若设

B为B的负矩阵，即

Bbijm

n，则可以定义减法运算

AB

ai

j

bi

jmn3

2数与矩阵的乘积

设A

aijmn,kR为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且

kAkaijmn4

即给A的每个元素均乘以数k.

3矩阵的乘积

设Aaijm5,Bbij5n，则

ABCcijmn5

称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中

cijai1b1jai2b2jai5b5ji1,2,,m;j1,2,,n

即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有

当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．

4对称矩阵

在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：

AijAji,0i,jn16

则称A为对称矩阵.

5反对称矩阵

设A是一个n阶方阵，如果

ATA7

则称A为反对称矩阵.

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㈡可交换矩阵

一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：

有意义时，BA不一定有意义.

与BA均有意义时，可能它们的阶数不相等.

与BA均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现ABBA.

因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B满足：

ABBA8

则称矩阵A和B是可交换的.

二、矩阵可交换成立的条件与性质

若ABBA成立，则称方阵A与B为可交换矩阵.设

fxamxmam1xm1a1x1a09

系数a0,a1,,am均为数域P中的交换数，A为P上的一个n阶方阵，记

faaAma

m1

Am1aAaE

m10

容易看出：任何方阵A都与其伴随矩阵A*是可交换的，且二者的乘积为AIn;对于任何

方阵A，fx

aAPaAP1a

p

I与gA

bAqbAq1

bI可交换.

0101q

(一)

可交换矩阵成立的条件

定理1[1]设n阶方阵A,B满足条件ABAB.则A,B可交换.

证明由条件A

BAB,diage1,enI，变形可得

IAIBAB(AI)B(IA)

(AI)(BI)

即(A

I)(BI)I

，所以AI为可逆矩阵，其逆矩阵为BI，有

(AI)(BI)(BI)(AI)I

即AB

ABIBABA

I，从而可得AB

BA.

定理2[3]设A,B均为对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵.

证明设A,B均为对称矩阵，由于AB

BA，故ABTBTATBAAB

所以AB是对称的.

反之，由于ABTAB，所以AB

ABTBTATBA，因此，A,B可交换.

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推论设A为n阶对称矩阵，则A,AT都可交换.

定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反

对称矩阵.

证明设ATA，BTB,由于ABBA,所以

ABTBTATBAAB10

所以AB为反对称矩阵.

反之，若AB为反对称矩阵,则

ABABTBTATBA

11

从而ABBA.

定理4[3]设A,B均为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．

证明因A,B均为反对称矩阵，故有ATA，BTB，又因为A,B可交换，故有

ABBA成立.从而

ABTBTATBAABBA12

反之，若AB为对称矩阵，则

ABABTBTATBABAAB13

所以A,B是可交换矩阵.

定理５[3]若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A1,B1可交换.

证明因ABBA,故有

AB1BA1B1A1A1B1

14

即A1与B1是可交换的.

反之，因A1，B1可交换，故有

BA1A1B1B1A1AB1

15

两边求逆得到ABBA.

推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是

AB1B1A1.

定理6[3]若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是ABTATBT

证明如果ABBA，那么ABTBATATBT

反之，若ABTBTAT，则ABTBTATBAT，即ABBA.

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定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.

证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可

知A必为一对角线矩阵.设

d1

d2

A.

.

dn

取矩阵

11..1

00..0

B....0

.....

00..0

代入条件ABBA,得d1d2dn，所以A是一个数量矩阵.

反之，设AaI,B为任意n阶矩阵，则

ABaIBaBBaBIaBIaBA16

引理1(1)A0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.

(2)A的幂矩阵总是与A可交换.

定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n1次的多项式矩阵.

定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可

交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n1次多项式.

定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:

(1)ABABABABAB

(2)AB'A'B'

定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：ABAB．

定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对

称矩阵．

(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.

(二)相关结论

定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：

(1)A2B2ABABABAB

(2)AB

(3)AB

2

A22ABB2

2

A22ABB2

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(4)ABKBKAK,ABmBmA，其中k,m分别为正整数

AmBmABAm1Am2BBm1

Bm

m

(5)ACm

kAmkBk

k0

证明(1)

因为

ABABA2ABBAB2

ABABA2ABBAB2

由已知ABBA，可得

A2B2ABABABAB

(2)AB2ABABA2ABBAB2

由已知ABBA，可得

AB2A22ABB2

同理可得：

AB2A22ABB2

(3)由已知ABBA,可得

ABkABABABAABBABAAABBAkBk,

ABmABBBBABBBBBABmA

(4)运用数学归纳法

①当m2时，由（1）等式成立，即

A2B2ABAB

②假设m

k

1时，等式成立，即有

Ak1Bk1ABAk2Ak3BBk2

③当mk时，由已知ABBA，有

AkBk

Ak1Bk1ABAk1BBk1A

ABAk2Ak3BBk2ABAk2BBk1A

AkAk1BA2Bk2B2Ak2B3Ak3

B3Ak1BBk1A

由性质有

Bk1AABk1，Ak1BBAk1

因此，上式可转化为：

AkBkAkAk1BA2Bk2B2Ak2

BkAk1BBk1A

AkAk1BA2Bk2

ABk1BAk1-B2Ak2B3Ak3

Bk

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ABAk1Ak2BBk1

Ak1ABAk2BABBk1AB

即证得

AmBmABAm1Am2BBm1

同理可证得

AmBmAm1Am2BBm1AB

(5)对m用数学归纳法同（4）即可得证.(三)可

交换矩阵的性质

高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.

[2]

性质1设A,B可交换,则有:

(1)ABBA,BAAB,其中m,k都是正整数

(2)AfBfBA,其中fB是B的多项式,即A与B的多项式可交换

(3)ABA

BAAB？B

AAB?BAB

Bm

m

(4)ACm

kAm1Bk

k0

性质2[4](矩阵二项式定理)设A,B可交换,则有：

(1)若A,B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵

(2)若A,B均为幂等矩阵,则AB,ABAB也为幂等矩阵

(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵

(4)若A,B均为幂零矩阵,则AB,AB均为幂零矩阵.

三、几类常用的可交换矩阵

假设以下矩阵均为n阶实方阵，

定理14[7]（1）设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换

(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换

(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换

(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换

(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换

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(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换

(7)设A可逆,则A与A可交换

(8)

设ABE,则A,B可交换.

定理15[7](1)

设ABAB,其中,为非零实数,则A,B可交换

(2)

设AmABE,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换.

定理16[7](1)

设A可逆,若ABO或AAB或ABA,则A,B可交换

(2)

设A,B均可逆,若对任意实数ｋ,均有AAkEB,则A,B可交换.

四、可交换矩阵的应用

例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.

证明记aijnn，用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的nn矩阵.

因A与任何矩阵均可交换，因此必与Eij可交换.

由AEijEijA,得

aiiajji,j1,2,,n及aij0ij,i,j1,2,,n.

故A是数量矩阵.

例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？

解不妨设B为可逆矩阵，由于ABBA，所以对于任意可逆阵B都有

B1ABA

即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI．

例3如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即AaE．

证明记Aij用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A与任

何矩阵均可交换，所以必与E可交换.由AEijEijA得

ajiaij（ij1,2,3,n及aij0i不等于j）

故A是数量矩阵．

例4若矩阵A1,A2都与B可交换，则KA1LA2,A1A2也都与B可交换.

解由已知A1BBA1，A2BBA2，那么

KA1LA2BKA1BLA2BBKA1BLA2BKA1LA2

A1A2BA1A2BA1BA2A1BA2BA1A2．

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例5A与B可交换（即ABBA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即

ABTAB）．

解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但ABBA．一定要加一个条

件A和B本身都是对称阵才有结论.若ABBA，则

ABTBATATBTAB.

反之，若ABTAB，则

ABBTATBA．

例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P,使得都为对

角矩阵.

证明在V中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B,且A,B

与对角形相似.

例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.

解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现

的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如

AB2A22ABB2A和B可交换.

ABABA2B2A和B可交换.

A和B

可交换

(不是!)有二项公式.

例

8

(1)设矩阵A

diaga1,a2,,an为对角矩阵，其中ij

时，

aiaji,j1,2,

,n,则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵.若A,B均为对角矩阵

则，A,B可交换．若B与A

diaga1,a2,,an可交换，i不等于j

时，aiaj，

（i,j

1,2,

n），

证明设Bbijnn,ABCijnn

,BAdijn

n，因为A为对角矩阵，故

cijaibij,dijajbij

i,

j1,2,,n

由AB

BA,即cijdiji,j

1,2,,n得

aiaj

bij0

而i

j

时，aiaj0i,j

1,2

,,n,

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故

bij0ij,i,j1,2,,n

所以B为对角矩阵．

五、总结

本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，

涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交

换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相

关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在

代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的

重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只

是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行

研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今

后的探讨中相信也会有所进步．

参考文献

[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高

等教育出版社.2007:181-186.

[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，

2002(04)

[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)

[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，

2002,25(4)

[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)

[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，

2010,24(5)

[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)

[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002

致谢

本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，

并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学

习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨

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向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今

后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!课题的顺利进

行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑

上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的

莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难

忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢

意.

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