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连续不一定可导

更新时间:2022-11-12 16:55:55 阅读: 评论:0

初中数学折叠题解题技巧-极限点


2022年11月12日发(作者:点球大赛)

2020高考数学复习极限连续可导辨析

在高中数学第三册(选修II)第三章导数与微分的学习过程中,不少同学对极限、连续、可导、最

值等概念混淆不清,下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系,以期对同学们的学习有所帮助。

(1)XX

0

是指X从点X0左侧(x

于X0,XX

0

是指X从点X0右侧(X>X0)

无限趋近于X0。而XTX0是指X可以用任何方式无限趋近于X0,即可以从点X0的左侧无限趋近于X0,也

可以从点X0右侧无限趋近于X0,还可以从点X0的两侧交错地无限趋近于X0等等,且有如下充要条

件:

limf(x)limf(x)a.

XX0XX。

(2)limf(x)存在与f(x)在X0处是否有定义无关,xTX0是x取值无限地趋近于X0,不一

Xx

定取到X0。

例1

(1)设f(x)

X2(X0),人

讨论f(x)在点x=0的极限;

x1(x0),

(2)

X2

已知f(x)

2x亠

,求limf(x);

X2x2

x1(x0),

(3)

设f(x)0(x

0),求limf(x)与f(0).

x0

X1(X0),

limf(x)x20,

(1)

x0

limf(x)

x0

lim(x1)1,

x0

f(x)在点x=0处无极限,即limf(x)不存在(但f(0)=0,f(x)在x=0处有定义)

x0

(2)limf(x)lim血习limx2.

x2x2x2X2

(x)与f(xo)

Xx

limf(X)a

XX0

(3)limf(x)lim(x1)1,又limf(x)lim(x1)1,

x0x0x0x0

limf(x)1,又f(0)0.

x0

2•函数f(x)在点xo处有极值与f(x)在点xo处连续

(1)函数f(x)在点xo连续必须具备3个条件:

(1)f(x)在点x=xo有定义;

(ii)f(x)在点x=xo有极限;

(iii)limf(x)f(x

0

).

xXQ

(2)极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势,与函数在这点有无定义无关,但函数在某一点连

续不仅要求该点有极限,而且要求函数在该点的极限值等于函数值(即函数在此点必须有定义)。

分析(1)f(x)在x=a处连续。

(2)在x=a处无定义,.••不连续。

(3)limf(x)f(a),•••不连续。

xa

(4)limf(x)不存在,•不连续。

xa

3•函数f(x)在点xo处连续与f(x)在点xo处可导

函数f(x)在点xo处可导时必有点xo连续;函数f(x)在点xo连续不一定在点xo可导,即可导必连

续,连续不一定可导。

例3已知函数f(x)在点xo可导,求证:f(x)在点xo连续。

证明T函数f(x)在点xo可导,

lim便0込f(xo).

x0x

而limf(x)limf(x

0

x)lim[f(x

0

x)f(x

0

)f(x

0

)]

xx0x0x0

limf(x)f(-)-,

x-

•f(x)在点x=-连续。

lim

f(-x)f(-)

lim

-

x-1

x-xx-x

..f(-lim

x)

f(-)

..-lim

x-

1,

x-xx-x

•_■f(-x)f(-)不存在

--lim不存在,

x0x

•f(x)在点x=-不可导。

4•极值与可导

(1)函数极值的判定方法是:

设f(x)在点x-连续。

(i)若在X-附近左侧f'(x)>0右侧f'(x)<0那么f(x-)是函数的一个极大值;

(ii)若在xo附近左侧f'(x)<0右侧f'(x)>0那么f(x-)是函数的一个极小值。点x-是极值点的

充分条件是该点附近两侧导数异号。

(2)f'6x存在时,x-是极值点的必要条件是f'(0=-,

即x-是f(x)的极值点f'(0=-,反

之不一定成立,例如f(x)=x

3

在x=-有f'(-)=-但x=-不是极值点。

(3)不可导点可

能是极值点,也可能不是极值点,故找函数的极值点应该从f'(x)=啲根

和不可导点两方面去检验。

例如y=|x|,x=-是极值点,但函数在x=-不可导;

yx3,x-不是极值点,函数在x=-也不可导。

5•极值与最值

(1)极值是就某点附近而言,是一个局部性概念,在某区间内,极值可以有多个,极大值也不一

lim[f(x。x)f(x。)

x0

xf(xo)]

f(X°x)f(Xo)

lim--limxf(x

0

)

x0xx--,

•••函数f(x)在点x-连续。

例4请举反例说明连续不一定可导。

f(x-)0f(x-)

f(x-),

解如函数f(x)=|x|=

x(x-),

x(x-).

定比极小值大,极大值与极小值两者没有必然联系,最值是一个整体性概念,在某区间内函数的最值若

存在,则必是唯一的,且最大值一定大于最小值。

如图2所示,在区间[a,b]内,函数在点X=X1,X=X3,X=X5取得极小值,在X=X2,X=X4取到极

大值,而最值得惟一的,分别在X=X1取得最小值,X=b取得最大值。

(2)极值点xo是区间[a,b]内部的点,

不会出现在端点a,b,而最值点可能在端点x=a或

X=b取到。故区间上的单调函数一定没有极值,而闭区间上的连续函数必存在最值。

(3)极值有可能成为最值,最值点只要不在端点,必是极值点;

(4)求函数最值的步骤是:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。

(i)求f(X)在(a,b)内极值;

(ii)将各极值与端点值f(a),f(b)比较,最大的一个即为最大值,最小的一个即为最小值。

例5已知f(x)=ax

3-6ax2+b在[-1,2]上最大值是3,最小值是-29,求a,b值。

解显然a^Q否则f(x)=b,不可能有最大值3,最小值-29.

f'(x)=30rx12ax=3ax(x-4).

由f'(X)=0,得X1=0,X2=4(舍去)。

当a>0时,

X-1(-1,0)0(0,2)2

f

y

+0

yb-7abJb-16a

■/b-16a

•••f(x)max=f(0)=b=3,f(x)min=f(2)=b-16a=-29.解得a=2,b=3.

当a<0时,同理可求得

a=-2,b=-29.

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