2020高考数学复习极限连续可导辨析
在高中数学第三册(选修II)第三章导数与微分的学习过程中,不少同学对极限、连续、可导、最
值等概念混淆不清,下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系,以期对同学们的学习有所帮助。
(1)XX
0
是指X从点X0左侧(x
于X0,XX
0
是指X从点X0右侧(X>X0)
无限趋近于X0。而XTX0是指X可以用任何方式无限趋近于X0,即可以从点X0的左侧无限趋近于X0,也
可以从点X0右侧无限趋近于X0,还可以从点X0的两侧交错地无限趋近于X0等等,且有如下充要条
件:
limf(x)limf(x)a.
XX0XX。
(2)limf(x)存在与f(x)在X0处是否有定义无关,xTX0是x取值无限地趋近于X0,不一
Xx
定取到X0。
例1
(1)设f(x)
X2(X0),人
讨论f(x)在点x=0的极限;
x1(x0),
(2)
X2
已知f(x)
2x亠
,求limf(x);
X2x2
x1(x0),
(3)
设f(x)0(x
0),求limf(x)与f(0).
x0
X1(X0),
limf(x)x20,
解
(1)
x0
limf(x)
x0
lim(x1)1,
x0
f(x)在点x=0处无极限,即limf(x)不存在(但f(0)=0,f(x)在x=0处有定义)
x0
(2)limf(x)lim血习limx2.
x2x2x2X2
(x)与f(xo)
Xx
limf(X)a
XX0
(3)limf(x)lim(x1)1,又limf(x)lim(x1)1,
x0x0x0x0
limf(x)1,又f(0)0.
x0
2•函数f(x)在点xo处有极值与f(x)在点xo处连续
(1)函数f(x)在点xo连续必须具备3个条件:
(1)f(x)在点x=xo有定义;
(ii)f(x)在点x=xo有极限;
(iii)limf(x)f(x
0
).
xXQ
(2)极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势,与函数在这点有无定义无关,但函数在某一点连
续不仅要求该点有极限,而且要求函数在该点的极限值等于函数值(即函数在此点必须有定义)。
分析(1)f(x)在x=a处连续。
(2)在x=a处无定义,.••不连续。
(3)limf(x)f(a),•••不连续。
xa
(4)limf(x)不存在,•不连续。
xa
3•函数f(x)在点xo处连续与f(x)在点xo处可导
函数f(x)在点xo处可导时必有点xo连续;函数f(x)在点xo连续不一定在点xo可导,即可导必连
续,连续不一定可导。
例3已知函数f(x)在点xo可导,求证:f(x)在点xo连续。
证明T函数f(x)在点xo可导,
lim便0込f(xo).
x0x
而limf(x)limf(x
0
x)lim[f(x
0
x)f(x
0
)f(x
0
)]
xx0x0x0
limf(x)f(-)-,
x-
•f(x)在点x=-连续。
又
lim
f(-x)f(-)
lim
-
x-1
x-xx-x
..f(-lim
x)
f(-)
..-lim
x-
1,
x-xx-x
•_■f(-x)f(-)不存在
--lim不存在,
x0x
•f(x)在点x=-不可导。
4•极值与可导
(1)函数极值的判定方法是:
设f(x)在点x-连续。
(i)若在X-附近左侧f'(x)>0右侧f'(x)<0那么f(x-)是函数的一个极大值;
(ii)若在xo附近左侧f'(x)<0右侧f'(x)>0那么f(x-)是函数的一个极小值。点x-是极值点的
充分条件是该点附近两侧导数异号。
(2)f'6x存在时,x-是极值点的必要条件是f'(0=-,
即x-是f(x)的极值点f'(0=-,反
之不一定成立,例如f(x)=x
3
在x=-有f'(-)=-但x=-不是极值点。
(3)不可导点可
能是极值点,也可能不是极值点,故找函数的极值点应该从f'(x)=啲根
和不可导点两方面去检验。
例如y=|x|,x=-是极值点,但函数在x=-不可导;
yx3,x-不是极值点,函数在x=-也不可导。
5•极值与最值
(1)极值是就某点附近而言,是一个局部性概念,在某区间内,极值可以有多个,极大值也不一
lim[f(x。x)f(x。)
x0
xf(xo)]
f(X°x)f(Xo)
lim--limxf(x
0
)
x0xx--,
•••函数f(x)在点x-连续。
例4请举反例说明连续不一定可导。
f(x-)0f(x-)
f(x-),
解如函数f(x)=|x|=
x(x-),
x(x-).
定比极小值大,极大值与极小值两者没有必然联系,最值是一个整体性概念,在某区间内函数的最值若
存在,则必是唯一的,且最大值一定大于最小值。
如图2所示,在区间[a,b]内,函数在点X=X1,X=X3,X=X5取得极小值,在X=X2,X=X4取到极
大值,而最值得惟一的,分别在X=X1取得最小值,X=b取得最大值。
(2)极值点xo是区间[a,b]内部的点,
不会出现在端点a,b,而最值点可能在端点x=a或
X=b取到。故区间上的单调函数一定没有极值,而闭区间上的连续函数必存在最值。
(3)极值有可能成为最值,最值点只要不在端点,必是极值点;
(4)求函数最值的步骤是:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。
(i)求f(X)在(a,b)内极值;
(ii)将各极值与端点值f(a),f(b)比较,最大的一个即为最大值,最小的一个即为最小值。
例5已知f(x)=ax
3-6ax2+b在[-1,2]上最大值是3,最小值是-29,求a,b值。
解显然a^Q否则f(x)=b,不可能有最大值3,最小值-29.
f'(x)=30rx12ax=3ax(x-4).
由f'(X)=0,得X1=0,X2=4(舍去)。
当a>0时,
X-1(-1,0)0(0,2)2
f
y
+0
一
yb-7abJb-16a
■/b-16a
•••f(x)max=f(0)=b=3,f(x)min=f(2)=b-16a=-29.解得a=2,b=3.
当a<0时,同理可求得
a=-2,b=-29.
本文发布于:2022-11-12 16:55:55,感谢您对本站的认可!
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