兀值表

职高高考数学公式（最

全）

3

职高高考数学公式

预备知识：（必会）

1.相反数、绝对值、分数的运算

2.因式分解

（1）△十字相乘法如：3√-5x-2=（3x+l）（x-2）

（2）两根法如：X2-X-∖=（x---）

22

19S

3.△酉己方法如：2√+x-3=2（x+-）2--

48

4.分数（分式）的运算

5.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法

（1）代入法

（2）消元法

6.完全平方和（差）公式：a2+2ab+b2=（a+b）2u2-2ab+b2=（a-b）2

7.半方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

8.立方和（差）公式：a3+b3=（a+b∖a2-ab+b2）

a3-b'=（α-b）（∕+ab+b2）

9.△注：所有的公式中凡含有“=”的，注意把公式反过来运用。

第一章集合

1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：△描述法{兰I.V=..rx∈...}:另重点类型如：{yIy=X，-3x+l,xe（-1,3]}

元奈元素性质取Vi范俐

3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N'（正

整数集）、Z+（正整数集）

4.元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1）元素与集合是“已”与“纟〃的关系。

（2）集合与集合是“匸”“三”“=”“匕”的关系。

4

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，（做题时多考虑0是否满足题

意）

(2)—个集合含有〃个元素，则它的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空真子集有2”-2

个。

5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)

(1)AnB={x∖xeA^xeB}:A与3的公共元素(相同元素)组成的集合

(2)A∪B={xlx∈A

(3)CUA:〃中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。

注:CU(AnB)=CUAuCUBCu(A∖jB)=CuA∏CuB

6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7.命题：能判断真假的语句。

8.逻辑联结词：

且(人)、或(V)非(-1)如果……那么……(二>)

量词：存在(3)任意(∀)

真值表：

:其中一个为假则为假，全部为真才为真；

PPq:其中一个为真则为真，全部为假才为假；

r2：与P的真假相反。

(同为真时“且•为真,同为假时“或”为假，真的“非"为假，假的“非”为真；真“推”假

为假，假

“推”真假均为真，)

9.命题的非

5

(1)是T不是

都是T不都是(至少有一个不是)

⑵3……，使得卩成立T对于V……t都有-P成立。

6

对于0……,都有"成立Tm・・・・・・I使得-P成立

(3)7PM)=^V-I^7卩7q)=7Nrq

10.充分必要条件

△"是G的.条件〃是条件，Q是结论

"是g的必要不充分条件（必要条件）"是O的充分必要条件（充要条

件）〃是"的既不充分也不必要条件

注：另外一种情况’"的_____条件是-（9是条件，"是结论）

第二章不等式

1.不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如:

√f2δiθ-√z2009^⅛√f2δδ9-√r2008（倒数法）等。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：（△均值定理）

（1）a1+b1≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。

（2）a+b≥2后（a,b已RT、当且仅当a=b时，等号成立。

（3）a+b+c≥3y[abc（a,b,c∈/?+）,当且仅当α=b=c时，等号成立。

注：弓（算术平均数）≥√^（几何平均数）

充分

"是q的充分不必要条件（充分条件）

7

3.—兀一次不等式的解法(略)

4.—兀二次不等式的解法

(1)保证二次项系数为正

(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法)，目的是求根：

(3)定解：(口诀)大于两根之外，大于大的，小于小的；

小于两根之间

注：若△=()或∆vθ,用配方的方法确定不等式的解集n

5.绝对值不等式的解法

rnIIXl-«<%O,则｛汁

∖X∖>a<^>X>d孤<-a

6.分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

7.多因式不等式的解法：穿根法。

标根后，从右上角开始划线，“奇次一穿而过，偶次穿而不过”

1.映射

—般地，设A.B是两个集合，如果按照某种对应法则对于集合A中的任何一个元素，在集合3

中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射.记作：f∙.A→Bo

注：理解原象与象及其应用。

(1)A中每一个元素必有惟一的象；

(2)对于A中的不同的元素，在3中可以有相同的象；

(3)允许3中元素没有原象。

2.函数

(I)定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。

(2)函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

第三章函数

8

注:在解函数题时可以画出图像•运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单n

3.函数的三要素:定义域、值域、对应法则

(1)△定义域的求法：使函数(的解析式)有意义的X的取值范围

主要依据：

①分母不能为O

②偶次根式的被开方式no

③特殊函数定义域

y=≠0

y=a∖(a>0且"≠1),X∈R

y=Iogax,(a>O且G≠IxX>O

y=tanx,x≠kπ+—,(k∈Z)

2

(2)△值域的求法：y的取值范围

①正比例函数：y=kx和一次函数：y=kx+b的值域为R

②二次函数：y=ax2

+bx+c的值域求法：配方法。如果X的取值范围不是R则还需画图像

③反比例函数：y=丄的值域为｛yI≠0｝

④y=9二的值域为｛>,∣y≠-)

CX+UC

⑤y=心+"的值域求法:判别式法

ax"+bx+c

⑥另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

(3)解析式求法：

在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

9

4.函数图像的变换

(1)平移

5.函数的奇偶性

(1)定义域关于原点对称

(2)若f(-x)=-/(X)T奇若/(-X)=/(Λ-)→偶注：①若奇函数在X=O处有意义，则

/(O)=O

②常值函数fW=a(a≠0)为偶函数

③/(Λ)=0既是奇函数又是偶函数

6.△函数的单调性对于∀xpx2∈［a.b］且X］Vx21若

7(Λ-1)

/U1)>/(£)，称/3在［αb］上为减函数

增函数：才值越大，函数值越大；兀值越小，函数值越小。

减函数：犬值越大，函数值反而越小；犬值越小，函数值反而越大。

复合函数的单调性:h(x)=/(g(x))

/(X)与g(χ)同增或同减时复合函数加χ)为増函数；/(X)与g(x)相异时(一增一减)复合函数力

(X)为减函数C

y=fM

向右平移

α个单

位

→y=f(χ-a)

y=fM

向左平移

"个单位

Ty=/(χ+d)

向上平移

d个单位

→y=fW+d

y=fM

向下平移

a个单位

→y=fM-a

(2)翻折

y=fW

沿X轴

上、下对

Ty=-fM

y=fM

保留X轴上方图

像

→y=ι∕ω∣

y=fM

保留y轴右边图

像

右边翻折到左边

→y=/(IVI)

10

注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。

7.二次函数

(1)二次函数的三种解析式

①一般式：/(X)=ax'+bx+c(6/≠O)

②△顶点式：/(x)=α(x-灯？+"(r∕≠0),其中伙/)为顶点

③两根式：f(x)=a(x-xl)(x-x2)(dHθ)I其中旺、小是/W=0的两根

(2)图像与性质

△二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

①开口t∕>0T开口向上a<0T开口向下

②△对称轴：X=-—

Ia

丄一Zb4"c—b'、

③△顶点坐标：-----------)

2a4“

Δ>o→有两交点

④△与X轴的交点：<△=()T有佼点

△vθτ无交点

b

⑤一元二次方程根与系数的关系：(韦达定理)

b

舟+厂=——

Δ

C

MX2=-

a

⑥f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件为b=0

⑦二次函数(二次函数恒大(小)于0)

■

f(x)>0O]">°O图像位于X轴上方

11

Δ<0

12

f(b)>O

注：若二次函数/(X)=O的两根“、X2；“位于(心)内，兀位于(G〃)内，同样利用画图

像的办法。

&反函数

(1)函数y=f(χ)有反函数的条件

兀与y是—对应的关系

(2)求y=f(x)的反函数的一般步骤：

①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域

②由原函数的解析式，求出X=…

将兀」对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

(3)△原函数与反函数之间的关系

①原函数的定义域是反函数的值域

fWVoo]"V°o图像位*轴下方

Δ<0

⑧若二次函数对任意X都有/(r-χ)=∕(r+Λ-)1则其对称轴是x

=to

i•若两根為、X2—正一负

Δ≥0

x1x2

ii・若两根為、勺同正(同

负)

'Δ≥0

X1X2>O

iii・若两根“、位于(匕方)内,

Δ≥0

若G>0,则O

Δ≥0

若同负,W‰v1+x2<0

X1X2>O

则利用画图像的办法。

Δ≥0

若a<0,则f(a)

f(b)

13

原函数的值域是反函数的定义域

②二者的图像关于直线y=χ对称

③原函数过点(",“)，则反函数必过点(b,α)

④原函数与反函数的单调性一致

第四章指数函数与对数函数

1.指数显的性质与运算

(1)根式的性质：

①允为任意正整数=a

②当“为奇数时，0=α；当"为偶数时，佰=Iol

(3〕零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

(2)零次幕:Λ0=1(a≠0)

(3)负数指数幕：

旷=丄(a≠0,neNt)

an

(4)分数指数鬲：

In__

an=,∖[a^(a>0,nι.HeN■且n>1)

(5)实数指数幕的运算法则:(a>OjnjieR)

φaman=αm+n②(Qrny=Umn③(a-b)π=an∙b"

2.鬲运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个

数的"次方。

O拓(J当">0W,y=f在(0,+S)上单调递增

3.△希函数y=XS

I当a

14

4.指数与对数的互化

Ub=NoIogdN=b(a>0且GHl)、(N>0)

5.对数基本性质：

①log,=l②IogJ=O③/酬=N④log,Af=N

△⑤IOgab与IOgba互为倒数OIOgnbIOgfeα=loIogab=!—

IOgbU

Δ(B)logb,'=—IogflZ?

IrI

6.对数的基本运算：

M

△logd(M∙N)=logαM+logflNIogaU=IOgdM-IOgaN

N

7.△换底公式：log。N=譽上G>O且”Hl)

IogM

&△指数函数、对数函数的图像和性质

指数函数对数函数

定

义

y=ax(a>O,a≠啲常数)y=IOgflx(a>0,α≠1的常数)

图像

V

O

性

质

(1)xeR,y>O

(2)Δ图像经过(0,1)点

(3)

a>ty=ax为增函数；Δ

O

(1)XeR.y>O

⑵△图像经过(1,0)点

⑶

Aα>l,y=log“x在(0,+S)上为增函数：Δ

O

9.△利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同需

15

（次）或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。

io.指数方程和对数方程

(1)指数式和对数式互化

(2)同底法

(3)换元法

(4)取对数法

(5)△超越方程(作图法)

注：△解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章数列

定

义

数

常

个

-

同

为

差

之

项

-

前

与

项

-

每

=πdn

G

=

••

•

=

2a3

a

=2α

≠q=≡≡

-l

_一

∙•

•

=

3-2G-d=5

一

5

I

■

•

/

注

O当

通

项

公

式

=Jld1-1√=/!α

推

论

贝/;/+

一

Pjs

*9

"〃

卜

≡:

d-

-π++

a;4

川

一

=若

WUux-

△

G

仏

5

严

W

_一

①

加

“

/I-

刃

定

"

√

“9=

∖)/

∖)//(

∖

Z^n12/

∕l

∖/(

∖

h

〃

中

项

公

式

有贝寧

+

2

C/?>O

小

+C

数

"

个

9=

三

”

有HJ

贝

H/C

、

=

Q

_

一

数

，

个

三

16

前

“

项

和

公

式

d?-2

+

-

Y+21dz(

∖=π

S0

=

7O16

=)71HSHg

其∙

≡

5.特殊三角函数值

17

它△等差数列的连续兀项之和仍成等差数列

△等比数列的连续〃项之和仍成等比

数列

1.已知前”项和S”的解析式，求通项心

_fSl（11=1）

心）

2.△弄懂等差、等比数通项公式和前"项和公式的证明方法。（见教材）

第六章三角函数

1•理解正角、负角、零角的定义，并能表示终边相同的角，

2.弧度和角度的互换

180"=兀弧度

IJ鲁弧度≈001745弧度

180

1QQ

1弧度=（——y≈57^18,

π

3.扇形弧长公式和面积公式

△厶砂=IαI・r

△S扇=-Lr=—a∖r~（记忆法:与SAABC=亍〃?类似）

注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。

重要例题：3+X书卩106例4・

18

a0=0°

-=30°

6

-=450

4

-=60°

3

-=90υ

2

—象限

Sina

遁

^2^

4T

√2T√3T√4^2^

COSa

√4

~τ

√3

2

√2

~τ

&~2√δ

2

tana0

√3丁

1√3不存在T

6.三角函数的符号判定

（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）

（2）图像记忆法

7.Δ三角函数基本公式

tana=—=—（可用于化简、证明等）

COSaCOtQf

Silra+cos2a=1（1.可用于已知Sina求COStY；或者反过来运用。2.注意1的运用）

1÷tan2a=c2a（可用于已知COSQ（或Sina）求Iana或者反过来运用）

&诱导公式

（1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指^∙∣+a（Zr∈Z）1若斤为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。

（2）分类记忆

①去掉偶数倍兀（即2kπ）

②将剩下的写成G（—象限）、—a（二象限）、∕r+a（三象限）、-a（四象限）再看

象限

定正负号（函数名称不变）；或写成—象限）、£+&（二象限），再看象限定正负

22

号（要变函数名称）

③△要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或

19

互补的关系。

9.已知三角函数值求角Q

(1)确定角Q所在的象限

(2)求出函数值的绝对值对应的锐角力

(3)写出满足条件的O〜2龙的角

(4)加上周期(同终边的角的集合)

10.△和角、倍角公式

Sin(

cos(α±0)=CoSaeOS0干SinaSinP注意正负号相反

ZIc、tan

tan(tanα±tanβ=tan(α±0)(1+tanatanβ)

1+tana

tanP特别

注意当α+0=

彳时的运用

4

Sin2a=2sin

cos2α=cos2α-sin2a=2cos2a-∖=l-2sin2a

八2tana

tan2a=---；—

l-tan'a

si∩30=3sinO-4sin'θ

COS30=4COS3Θ—3cos&

注：半角公式可由倍角公式推得。

另重点类型：

20

aI-COSaSinaIII-COSa

tan—=------=-------=±I------

2SilIa1+cosαV1+cosa

重要例题:3+X书P119-P121例1~例3.

11•三角函数的图像与性质

函数图像

性质

定义域值域同期

奇

偶

性

单调性

21

y=SillX

.05：

-V

XeR[-14]T=2π奇

[2kπ--y2kπ+-]↑

22

[2kπ+-,2kπ+

-]^

22

y=COSX2

J

XeR[-1,1]T=2π偶

[2kπ-π,2kπ]↑

[2kπ,2kπ+π}I

y=tanX

•

0

■

!L

l

7

丄

一

tπ

X≠kπ+

-

2

keZ

RT=π奇

伙π--.kπ+-)T

22

12.正弦型函数y=ASin(CaX+φ)(A>0.ω>0)

⑴定义域乩值域[-AA]

(2)周期：T=込

ω

(3)注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将X的系数提出来，再看是怎

样平移的。

(4)y=astnx+bcosx类型

y=asinx+bcosx

=y∣a1+b1Sin(X+φ)

13.正弦定理

—:一=.=二厂=2R(R为AABC的外接圆半径)

SInASInBSinC

其他形式：

(1)a=2Rs∖nAb=2RsinBc=2∕?SinC(注意理解记忆，可只记一个)

22

(2)Z?:C=SinA:siιιB:SinC

14.余弦定理

∙222

Cr=Ir+c2-2bccosA=>COSA=——(注意理解记忆，可只记一个)

2bc

15.三角形面积公式

SMIiC=gd∕?Sine=*bcsinA=*αcsinB(注意理解记忆，可只记一个)

另海伦公式：ΔABC中.三边长分别为a,b、c则SMBC=JP(P-O)(P-b)(P一C(其中P为

MBC的半周长，P=竺二)

16.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两

边之各大于第三边、三内角和为180O

I第一个内角都在(O")之间等C

第七章平面向量

1.向量的概念

(1)定义：既有大小又有方向的量。

(2)向量的表示：书写时一定要加箭头I另起点为A,终点为B的向量表示为丽。

(3)向量的模(长度):∣ABI<7∣

(4)零向量：长度为0,方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量n

反(负)向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2.向量的运算

(1)图形法则

23

加法：AB+BC=AC减法：AB-AC=CA

（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

3・数乘向量：λa（1）模为:IAIItzI（2）方向：2为正与"相同；兄为负与"相反亠

的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。AB=（XB-心，）5-儿）

5.△向量共线（平行）：日惟一实数兄，使得a=λbo（可证平行、三点共线问题等）

6.平面向量分解定理：如果不&是同一平面上的两个不共线的向量.那么对该平面上的任

使得α=g+a2e2O向量α在基弘勺下的坐标

为(Λ

I,Λ

2)O

■■∙1■∙‘∙

7中点坐标公式：M为^的中点，则^=-（OA&△注意AABC中，（1）重心（三条中线交点）、外

心（外接圆圆心：三边垂直平分线交

点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义

⑵若D为BC边的中点，则AD=I（AB+AC）坐标：两点坐标相加除以2

⑶若O为ΔABC的重心，贝∣jAO+BO+CO=δ;（重心坐标：三点坐标相加除以3）

9.向量的内积（数量积）

（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围［0皿］。

（2）内积公式：Crb=IaIlblcos

10.向量内积的性质：

ffa∙h

—向量dJ都存在惟一的一对实数"［,勺

24

(1)CoSVd,b>=-一(夹角公式)

IdIlbl

(2)a±boα∙b=0

(3)a-a=∖aI2或Ial=Jd•“(长度公式)

11.向量的直角坐标运算：

(!)AB=(Xβ-XA,jβ-yA)

(2)设a=(ai,a2),b=(bl,b2),则

—♦f

cι±b=(al±b^a1±b2)

λa=(加］,Aii2)

crb=afy+a2b2(向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积)

12.向量平行、垂直的充要条件

设a=(alia2)ib=(bl,b2)t贝IJ

a∕∕b^^=∣^(相对应坐标比值相等)

■■

α丄ZoaF=Ooaχbχ+a2b2=0(两个向量垂直则它们的内积为0)

13.长度公式

(1)向量长度公式：设a=(alya2),贝IJIaI=Jaj+虽

(2)两点间距离公式:设点A(XPyI),B(x2,y2)Jil∣J

II=7(x2-x1)2+(y2-yι)2

14.中点坐标公式：设线段A3中点为M,且A(Xl,y1),B(Xl,y2),M(x,y)I则

Aj+禺

X=-----

2(中点坐标等于两端点坐标相加除以2)

15.定比分点公式：P为有向线段p“2的分点,且A(X|宀)上(尤2』2)，H")，点P分有向线

25

段成定比2=T⅛~(注意方向)(2工-1),则有X=-,y=—o

ΛΓIl+∕t1+兄

注：遇到这种类型的题.可用向量的办法来解更简单。利用l∖P=λPP1用坐标来算n

16.向量平移

(1)平移公式:点P(x,y)平移向量a=(al,a2)^]P,(x∖y)t贝IJ

<：A⑷记忆法：“新=IH+向量"

[y=y+a2

(2)△图像平移：y=/(X)的图像平移向量：=(绚,勺)后得到的函数解析式为：

y-«2=f(χ-al)

第八章平面解析几何

1.曲线C上的点与方程F(x,y)=O之间的关系：

(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=O的解；

(2)以方程F(Xfy)=O的解d,y)为坐标的点都在曲线C上。

则曲线C叫做方程Fgy)=O的曲线，方程F(Xiy)=O叫做曲线C的方程。

2.△求曲线方程的方法及步骤

(1)设动点的坐标为(x,V)

(2)写出动点在曲线上的充要条件；

(3)用；v,y的关系式表示这个条件列出的方程

(4)化简方程(不需要的全部约掉)

(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程

如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。

重要题型：3+X书P171题4.

26

3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线

(1)倾斜角Q:—条直线/向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角n

其范围是［0皿)

(2)斜率：

①倾斜角为90°的直线没有斜率；

②Λ=tanσ(倾斜角的正切)

注：当倾斜角Q增大时，斜率k也随着增大；当倾斜角Q减小时，斜率£也随着减小！

③已知直线/的方向向量为v(v1,v2).则=—

Vl

④经过两点P∖(X］，”)，PO,N)的直线的斜率K=H(Λ

1≠XJ

^^心-召

A

⑤直线Ax÷By+C=0的斜率K=--

B

(3)直线的方程

①点向式：_=—v(v1,v,)为/的方向向量，方向向量与/平行

VlV2^

②两点式：二==

儿-儿-V2-K

③点法式：A(x-⅞)+β(y->'o)=Ov,(A,B)为/的法向量，法向量与/垂直

④△斜截式：y=kx+b

⑤△点斜式：y-儿=«(•¥-“)

⑥截距式：兰+t=la为/在Λ轴上的截距，b为/在y轴上的截距

ab

⑦△—般式：Ax+By+C=O其中直线/的一个方向向量为(-5刃

27

注：(丨)若直线/方程为3x+4y+5=0,则与/平行的直线可设为3x+4y÷C=0；与/垂直

的直线可设为4x-3y+C=0o

(i)求直线的方程最后要化成一般式。(ii)会求截距，如在X轴上的截距即当y=0,

X=?截距可以是负数！(hi)—般比较复杂的题需要设直线的方程尽量用斜截式或点斜式；同

时注意考虑斜率不存在的情况是否也满足条件。

(4)两条直线的位置关系

①斜截式：Ilty=klx+bl⅛∕2:y=k2x+b2

//I2Okl=心且勺H妇

∕∣与I2重合OkI=公2且也=S

∕1丄I2OkAk2=-1

人与厶相交<^>ki≠k2

②——般式：A:A1x+B1x+C1=0⅛∕2:A2

X+B2

X+C2=O

∕1^∕2

C>4L=⅛≠⅛(相对应系数成比例)

人B=C7

£■OM

厶与厶重合O半=?=2(相对应系数成比例)

人BrCl

■■■

人丄厶oA1A2+B1B2=O(与向量一样，横坐标系数之积加纵坐标系数之积等于0)

厶与4相交O4L≠⅞∙

A.

■J

注：系数为O的情况可画图像来判定。

(5)两直线的夹角公式

①定义：两直线相交有四个角.其中不大于彳的那个角。

28

②范围:[0,£]

2

③斜截式：Ii:y=kAx+b^l2:y=k1x+b1

29

tan&=I音学I(可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解)

1+^lZr2

——般式：1:Alx+Blx+Ci=O与厶：A2x+B2X+C2=O

7A1

2+B~y∣A;+B;

(6)点到直线的距离

①△点P(x°,N)到直线Ax+By+C=0的距

离：r∕='⅛⅛^-y∣A2+B2

I「_「I

③两平行线Av+Bv+C1=0和Ax+By+Cj=0的距离：d=∣2

'√A2+B2

5・圆的方程

(1)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)其中圆心(a.b)9半径广。

(2)—般方程：，+于+氐+Q,+F=0(D2+E2-4F>0)

注：二元二次方程Av2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆的充要条件是：

①A=CHo②B=O(S)D2+E2-4F>0

⑶参数方程：(x-a)2

+(y-b)2=r2的参数方程为V=rc°s^+rt(Be[0,2∕r))y=rcosθ+b

(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离〃和半径厂比较。

〃V/・O木目交；J=?•<=>木目切；〃>厂O相离

⑹圆0]与圆。2的位置关系：利用两圆心的距离〃与两半径之和八+<2及两半径之差打-心

比较再画个图像来判定。(总共五种：相离、外切、内切、相交、内含)

(7)圆的切线方程：

①过圆χ'+y2=l上一点PCs儿)的圆的切线方程：Xi)X+y0y=r2

半径：r=

√D2+E2-4F

2

圆心

30

②过圆（X-^）2+（y-^）2=r2外一点P（x0,y0）的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的斜

率为匕写出切线方程（点斜式）I再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出

6.圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数£

（离心率）的点的轨迹。当O<0<1时，为椭圆；当e>l时，为双曲线；当G=I时为抛物

线。

7・椭圆

几何定义

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数加

IPFII+1PF2I=Ia

标准方程⅛^+⅞^=ι（焦点在X轴上）

⅛+⅛-≡1（焦点在轴

上）

图像

2

y

.•切y曾乙

£

-2Q,b,c的关系

/=X+C2注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心

X轴：长轴长2d；y轴：短轴长2方；0（0,0）

顶点坐标(±t∕,0)(0,±b)

焦点坐标（±c,0）焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上

准线方程

C

离心率

CI~^br

=-=<1

aVX

曲线范围-a

渐近线无

中心在（χ°,y°）的

方程

(χ-y+(y-.o)2

=I中心OeW(J)

CrZr

&双曲线

几何定义

动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数加

IlPFIl-IPF2II=Ia

31

标准方程

⅛-⅛=1（焦点和轴上）

⅛^ρ-≡1（焦点在y轴

上）

图像

I

2-

T

b

/

4

2

-

b/

/

//

7

-2-

鬥∖,

∖/⅛

Z

-2-

・b

WIfl

CF2

X

d,b,c的关系

c2=a2+b2注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心

■V轴：实轴长2α；y轴：虚轴长％；0（0,0）

顶点坐标(±d,0)

焦点坐标（±c,0）焦距2e注：要特别注意焦点在哪个轴上

准线方程

Cr

X=±——

C

离心率

CIlb1

e=7I

=>x

曲线范围X≤一。和X≥atyeR

渐近线

y=+-χ（焦点在X轴上）y=±γΛ-（焦点在y轴上）

ab

中心在C⅞,y°）的方

程

(X-XO)2_CV--y0)2

-ι中心Ogyo)

Cr/?-

注：1.等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等a（2）离心率6>=√2（3）渐近线

y=±x

2.（1）以y=±mv为渐近线的双曲线方程可设为（V+mx）（y-nix）=λ（λ≠O）

2t>∙>2

△（2）与双曲线⅞-γv=l有相同渐近线的双曲线可设为：二-审"

心ZrCrIr

9.抛物线

几

何

定

义

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

IMFl=J（〃为抛物线上一点M到准线的距离）

焦

点

位

置

兀轴正半轴兀轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴

32

图

像

1a

V□7

r

∙

P-

“d

P-20-2K

■

■

ΓP-2⅜

■

0

标

准

方

程

焦

点坐

标

2

£

2Q2

9

(O

厶

2

准

线

方

程

"2=

Z2

P2=yP--2=y

顶

点

对

称

轴

轴轴

y

离

心率1*=

€

注：(1)"的几何意义表示焦点到准线的距离n

(2)△掌握焦点在哪个轴上的判断方法

(3)ΔAB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，A(Xl,yl)>β(χι^>?2)≡则1弦长

IABI=Xl+x2+P(2)X↑-×2=

~

(3)△圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：

IABI=Jl+k'y∣(xi+x2)2-4X

1

X

2

(4)△圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲

线的定义的！

Xy2=-P2

33

(5)掌握椭圆和双曲线中过焦点的弦与另一焦点围成的三角形的周长求法！

第九章立体几何

1-空间的基本要素：点、线、面

注：用集合符号表示空间中点(元素)、线(集合)、面(集合)的关系

2.平面的基本性质

(1)三个公理：

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

②如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条

直线。

③经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

(2)三个推论：

①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，

②经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.两条直线的位置关系：

(1)相交：有且只有一个公共点，记作Ua^b=A^

(2)平行：G过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

b∙平行于同一条直线的两条直线平行

(3)异面：

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于扌的角。注意

在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

34

③异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的部

分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离n

4.直线和平面的位置关系：

(1)直线在平面内：

(2)直线与平面相交：∕∏α=A

(3)直线与平面平行

①定义：没有公共点，记作：/

②判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线

平行。

5.两个平面的位置关系

(1)相交：α∏0=/

(2)平行：

①定义：没有公共点，记作：“&〃0”

②判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行

③性质：α∙两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

方•平行于同一平面的两个平面平行

c.夹在两平行平面间的平行线段相等

(/•两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例

35

6.直线与平面所成的角：

(1)定义：直线与它在平面内的射影所成白

(2)范围：[0,|]

重要定理:

COSO=COSqCoS3

7.直线与平面垂直

(1)判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线.则该直线与平面垂直

(2)性质：

①如果一条直线垂直于一平面•则它垂直于该平面内任何直线；

②垂直于同一平面的两直线平行；

③垂直于同一直线的两平面平行。

&△三垂线定理及逆定理：

①三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂

直。

②三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直.那么它也和这条斜线的射

影垂直n

9.两个平面垂直

(1)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直D

(2)性质定理：如果两个平面垂直.则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂

直n

10.二面角

(1)定义：过二面角a-l-β的棱上一点0,分别在两半平面内引棱/的垂线》、03,则

ZAoB为二面角的平面角

36

(2)范围:[0,Λ∙]

(3)二面角的平面角构造：

37

①按定义，在棱上取一点o,分别在两半平面内引棱的垂线OA、OBI则ZAoe即是

②作一平面与二面角的棱垂直.与两半平面分别交于Q4、03,ZAOB即是

③△由三垂线逆定理，在一平面内找一点A,分别作AO丄棱/于0,AB垂直于另一平面于点B,

连结OB,则ZAOB即是

11.向量在几何中的运用

第十章排列、组合与二项式定理

1•分类用加法:N=ml+m2+……+mπ分步用乘法:N=mim2……mn

2•有序为排列:那=/iG_l)(n_2)……(n-m+l)=——-

{n-nι)↑

n∖m∖(n-m)∖

阶乘：P：=n!=n(n-l)(n-2)X3×2×1

规定：0!=lCf=I

注：(1)做排列组合题的原则：先特殊，后一般！

(2)在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨

论法、机会均等法等等。

3.组合数的两个性质：(1)C；：=C；；"(2)C爲=W

4.二项式定理：

(a+b)n=C^nbO+C；Ian-Ibl+......+C^n~rbr+......C^a,bn-1+C^ι0b,'

△通项:Tr+l=c;Ian-rbr,其中G叫做第r+1项的二项式系数。

注：(1)二项展开式中第厂+1项的系数与第厂+1项的二项式系数U是两个不同的概念。

(2)杨辉三角

(3)

无序为组合：C：

n(n一1)(/?-2)(H-m+1)

6.二项式系数的性质

38

(!)除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即CL=C：+CT

⑵与首末两端等距离的两项的二项式系数相等.即C：=Cr

(3)“为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；(第彳+1项)

〃为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。(第送丄项和后—项)

C：+C；+C：+……=c：+c；+c；+……=2Z

&余数问题和重要例题：3+X书P253例3,4,5.

7∙U+U+……C：+