两根之和两根之积

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

教学目标：

（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用

关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解

一些简单的问题。

（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，

培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的

过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简

思想。

（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增

强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用

教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：

一、创设情境，激发探究欲望

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得

到伟大的定理，比如：

抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）

电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=

I

R

-------------------欧姆

定律（欧姆）

而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：

直角三角形的三边a,b,c满足关系：2a+2b=2c--------------------勾股定理

（毕达哥拉斯）

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受

一次当科学家的味道。

设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的

规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。

二、探究规律

先填空，再找规律：

一元二次方

程

1

x

2

x

1

x+

2

x

1

x.

2

x

2x+6x-16=0

2x-2x-5=0

22x-3x+1=0

52x+4x-1=0

思考：观察表中

1

x+

2

x与

1

x.

2

x的值，它们与前面的一元二次方程的各

项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根

之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方

法。

三、得出定理并证明（韦达定理）

若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）的两根为

1

x、

2

x，则

1

x+

2

x=-

b

a1

x.

2

x=

c

a

特殊的：若一元二次方程2x+px+q=0的两根为

1

x、

2

x，则

1

x+

2

x=-p

1

x.

2

x=q

证明此处略（师生合作完成）

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，

让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

四、运用定理解决问题

例1.求下列方程的两根之和与两根之积.

（1）2x-6x-15=0(2)5x-1=42x

(3)2x=4(4)22x=3x

(5)2x-(k+1)x+2k-1=0(x是未知数，k是常数)

设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根

积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本

质理解。

例2.若一元二次方程2x-4x+2=0的两根是

1

x、

2

x，求下列各式的值：

（1）

1

1x

+

1

2x

（2）2

1

x+2

2

x

设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解

题中的运用，可起到简便运算的作用。

例3.若一元二次方程2x+ax+2=0的两根满足：2

1

x+2

2

x=12，求a的值。

设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决

问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考

察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；

两根的倒数和等于2等。

五、课堂小结：

让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适

当引导和点拨。

六、课堂板书（略）

七、教后反思