幂函数和指数函数

1

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念符号表示备注

如果nxa,那么

x

叫做

a

的

n

次方根1nnN且

当

n

为奇数时,正数的

n

次方根是一个正数,负数的

n

次

方根是一个负数

na

零的

n

次方根是零

当

n

为偶数时,正数的

n

次方根有两个,它们互为相反数

(0)naa

负数没有偶次方根

（2）．两个重要公式

①

























)0(

)0(

||

aa

aa

a

a

an

n；

②

aan

n)(

（注意

a

必须使na有意义）。

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:

(0,,1)

m

n

m

naaamnNn、且;

②正数的负分数指数幂:

11

(0,,1)

m

n

m

n

m

n

aamnNn

a

a



、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

n为奇数

n为偶数

2

y=axa>10

图象

定义域R

值域（0，+）

性质（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1;

x<0时,0

(2)当x>0时，0

x<0时,y>1

(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确

定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果(01)xaNaa且，那么数

x

叫做以

a

为底，N的对数，记作logN

a

x，其中

a

叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数

底数为

a0,1aa且logN

a

常用对数底数为10

lgN

自然对数底数为elnN

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1aa且）：①1log0

a



，②

log1a

a



，③logN

aaN，④logNa

a

N。

3

（2）对数的重要公式：

①换底公式：

log

log(,1,0)

log

N

N

a

b

b

a

abN均为大于零且不等于；

②

1

log

log

b

a

a

b

。

（3）对数的运算法则：

如果0,1aa且，0,0MN那么

①NMMN

aaa

loglog)(log；

②NM

N

M

aaa

logloglog；

③

)(loglogRnMnM

a

n

a

；

④b

m

n

b

a

n

amloglog。

3、对数函数的图象与性质

图

象

1a01a

性

质

（1）定义域：（0,+



）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当01x时，(,0)y；

当1x时，(0,)y

（4）当1x时，(,0)y；

当01x时，(0,)y

（5）在（0,+



）上为增函数（5）在（0,+



）上为减函数

注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4

4、反函数

指数函数y=ax与对数函数y=log

a

x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而

指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，

1

2yx，y=x-1方法：可画出x=x

0

；

当x

0

>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，

1

2yx，y=x-1；

当0

0

<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，

1

2yx，y=x，y=x2，y=x3。

3、幂函数的性质

y=xy=x2y=x3

1

2yx

y=x-1

定义域RRR[0，



）|0xxRx且

值域R[0，



）R[0，



）|0yyRy且

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x∈[0，



）时，增；

x∈(,0]时，减

增增x∈(0,+)时，减；

x∈(-,0)时，减

定点（1，1）

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值

例1.(2007育才A)

（1）计算：

25.0

2

1

2

1

3

2

5.0

3

2

0625.0])32.0()02.0()008.0()

9

4

5()

8

3

3[(



；

5

（2）化简：

5

3

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

1

3

4

)

2

(

24

8

aa

aa

a

b

a

aabb

baa











变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;

)(

6

5

3

1

2

1

2

1

1

3

2

ba

baba







（2）

.)4()3(

6

5

2

1

3

3

2

1

2

1

2

3

1





bababa

(3)

12

00.256

3

4

33

72

1.5()82(23)()

63



知识点2：指数函数的图象及应用

例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式

ba)

3

1

()

2

1

(

，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b

＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式：（2010华附A）若直线ay2与函数0(|1|aayx且)1a的图象有两个公共

点，则a的取值范围是_______.

知识点3：指数函数的性质

例3.（2010省实B）已知定义域为R的函数

1

2

()

22

x

x

b

fx









是奇函数。

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）判断函数fx的单调性;

（Ⅲ）若对任意的tR，不等式

22(2)(2)0fttftk

恒成立，求k的取值范围．

变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=

x

x

a

a

e

e



是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

知识点4：对数式的化简与求值

例4.（2010云浮A）计算：（1）

)32(log

32





（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg2;

6

（3）

2

1

lg

49

32

-

3

4

lg8+lg245.

变式：（2010惠州A）化简求值.

（1）log2

48

7

+log212-

2

1

log242-1;

（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;

（3）(log32+log92)·(log43+log83).

知识点5：对数函数的性质

例5.（2011深圳A）对于01a，给出下列四个不等式：

①

1

log(1)log();

aa

aa

a

②

1

log(1)log(1)

aa

a

a

；

③

1

1

1;a

aaa

④

1

1

1;a

aaa

其中成立的是（）

（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④

变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log

ab

b

bba

1

log,log,

1

的大小关系是

（）

b

bba

1

loglog

1



B.

bb

b

baa

1

log

1

loglog

C.

bb

b

aba

1

log

1

loglog

D.

b

bbaab

log

1

log

1

log

例6.（2010广州B）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|

≥1成立，试求a的取值范围.

变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减

函数.求实数a的取值范围.

知识点6：幂函数的图象及应用

例7.(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数

()fx

的图象上，点

1

2

4









，

，在幂函数

()gx

的图

象上．问当x为何值时有：（１）

()()fxgx

；（２）

()()fxgx

；（３）

()()fxgx

．

变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=x322mm（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上

是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a

）（

）（

xxf

b

xf的奇偶性.

四：方向预测、胜利在望

1．（A）函数

4

1

lg)(







x

x

xf的定义域为（）

A．(1，4)B．[1，4)C．(－∞，1)∪(4，＋∞)D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

2.（A）以下四个数中的最大者是（）

(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln

2

(D)ln2

3（B）设a>1，函数f(x)=log

a

x在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为,

2

1

则a=()

(A)2（B）2（C）22（D）4

7

4.（A）已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()设

63

(),(),

52

afbf

5

(),

2

cf则（）

（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab

5.（B）设f(x)=

1

2

3

2,2,

log(1),2,

xex

xx















则不等式f(x)>2的解集为（）

(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）

(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）

6．（A）设

2

log3P，

3

log2Q，

23

log(log2)R，则（）

Ａ．RQPＢ．PRQＣ．QRPＤ．RPQ

7．(A)已知cab

2

1

2

1

2

1

logloglog，则()

A．cab222B．cba222C．abc222D．bac222

8．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（）

（A）()sinfxx(B)()1fxx

(C)

1

()()

2

xxfxaa(D)

2

()

2

x

fxln

x







9.（A）函数

1

2

log(32)yx的定义域是：（）

A[1,)B2

3

(,)C2

3

[,1]D2

3

(,1]

10.(A)已知函数kxyxy与

4

1

log的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（）

A．

4

1

B．

4

1

C．

2

1

D．

2

1

11．（B）若函数的图象经过第二且)10(1)(aabaxfx、三、四象限，则一定

有（）

A．010ba且B．01ba且

C．010ba且D．01ba且

12．(B)若函数)10(log)(axxf

a

在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=

（）

A.

4

2

B.

2

2

C.

4

1

D.

2

1

13.(A)已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）

（A）

0)(logxy

a

（B）1)(log0xy

a

（C）

2)(log1xy

a

（D）2)(logxy

a

14.（A）已知

xxf

2

6log)(，那么)8(f等于（）

（A）

3

4

（B）8（C）18（D）

2

1

15．（B）函数y＝lg|x|（）

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

16.（A）函数

3

)4lg(







x

x

y的定义域是____________________________.

8

17．（B）函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线

10(0)mxnymn上，则

11

mn

的最小值为．

18．（A）设

,0.

()

,0.

xex

gx

lnxx













则

1

(())

2

gg__________

19．（B）若函数f(x)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值范围为___________.

20．(B)若函数)2(log)(22

a

axxxf是奇函数，则a=．

21.(B)已知函数

x

x

x

xf







1

1

log

1

)(

2

，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调

性.

参考答案：

三：例题诠释，举一反三

例1.解：（1）

9

2

，（2）2a

变式：解：（1）1,（2）

.

4

51

4

5

4

5

)(

2

3

2

3

2

1

2

3

3

1

3

6

1

ab

ab

ab

babab





(3)110

例2.解：B

变式：解：)

2

1

,0(；

例3.解：（Ⅰ）1b（Ⅱ）减函数。（Ⅲ）

3

1

k

变式：解：（1）a=1.（2）略

例4.解：（1）-1.（2）1.（3）

2

1

.

变式：解：(1)

.

2

3

2log

22

1

log

24248

127

2

3

22





（2）2.（3）

4

5

例5.解：选D。

变式：解：C

例6.解：(1，3］∪［

3

1

，1）

变式：解：{a|2-23≤a＜2}

例7.解：（1）当

1x

或

1x

时，

()()fxgx

；

（2）当

1x

时，

()()fxgx

；

（3）当

11x

且

0x

时，

()()fxgx

．

变式：解：（1）f(x)=x-4.

（2）F（x）=3

2

bx

x

a

，∴F（-x）=

2

x

a

+bx3.

①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；

9

②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；

③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；

④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.

四：方向预测、胜利在望

1—5ADDDC；6—10AADDA；11—15CADDB.

16.(-,3)(3,4)17.418.

2

1

19.[-1,0]20.

2

2

21．[解]x须满足,110

1

1

,

0

1

1

0

























x

x

x

x

x

x

得由

所以函数)(xf的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数)(xf的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

)()

1

1

log

1

(

1

1

log

1

)(

22

xf

x

x

xx

x

x

xf











，所以)(xf是奇函数.

研究)(xf在（0，1）内的单调性，任取x

1

、x

2

∈（0，1），且设x

1

2

，则

,0)1

1

2

(log)1

1

2

(log,0

11

)],1

1

2

(log)1

1

2

([log)

11

(

1

1

log

1

1

1

log

1

)()(

1

2

2

2

21

1

2

2

2

21

2

2

2

21

1

2

1

21

































xxxx

xxxx

x

x

xx

x

x

xfxf

由

得)()(

21

xfxf>0，即)(xf在（0，1）内单调递减，

由于)(xf是奇函数，所以)(xf在（－1，0）内单调递减.