四面体的体积

1

四面体与平行六面体

一、一般四面体的性质

性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切

球球心（简称四面体的内心）。内切球与四面体四个面内切。

若四面体ABCD的体积为V，顶点A所对的侧面面积为

A

S，类似的有,,

BCD

SSS,则内切球半径

3

ABCD

V

r

SSSS





.

性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球

球心（简称四面体外心）。外接球通过四面体四顶点。

性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。

性质4.四面体体积公式一：

1111

3333AABBCCDD

VShShShSh

性质5.四面体体积公式之二：

1

||||sin,

6

VABCDdABCD（其中d为AB、CD距离）

性质6.四面体体积公式二：

2sin2sin2sin2sin2sin2sin

333333

CDABADBCABCDBCDABDACACBD

SSSSSSSSSSSS

V

ABBCCDDAACBD





二、特殊四面体的性质

（1）正四面体：各边均相等；

（2）直角四面体：有一个顶点处三条棱两两垂直；

（3）等腰四面体：三组对边分别相等。

三、平行面体

像平行四边形是平面图几何的基础一样，

平行六面体是立体几何的基本图形。

性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心；

性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。

推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。

推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧

棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的

1

4

。

性质3.平行六面体的每一体对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱

长及其所夹余弦之积的两倍。

性质4.平行六面体的每一体对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重

心，且被三角形截面分成三等分。

性质5.平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方4倍，等于这截面所截三个侧

面面积的平方和减去这三个这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的二倍。

性质6.设平行六面体的全面积为S，体积为V，四条体对角线长为

1111

,,,

ACACBDBD

llll,则

1111

22222

ACACBDBD

Sllll。

1111

3

2222

2

1

()

24ACACBDBD

Vllll，

3

2(6)V。

性质7.通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分。

推论1.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的

1

6

。

推论2.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积

的

1

3

。

性质8.平行六面体的体积等于底面面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积。

四、四面体与平行六面体的关系

四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六

面体各面上的一条对角线。它们之间有如下性质：

2

P

A

B

C

D

性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且

1

=

3

VV

四面体平行六面体

；

性质2.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为

2

2

a的正方体；

性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。

例1.(03全国联赛)在四面体ABCD中，设1AB,3CD,直线AB,CD的距离为2，夹角为

3



，则四

面体ABCD的体积为

例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD中2,,ABCDACBDm

ADBCn，且226mn，则四面体ABCD体积最大值为

（10全国）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（）

(A)

23

3

(B)

43

3

(C)23(D)

83

3

练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点在同一球面上，

则球的表面积为（）

A.81B.36C.

81

4



D.144

练2．在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，且依次为34,41,5，则此四面体ABCD的外接球的半

径R为．

例3.（04福建竞赛）四面体ABCD中，,,ABCDABCADbCABDc。如果异面直线AB与CD

所成的角为，则cos=

练．如图，有一个内接的四棱锥PABCD，

若PAABCD底面，

2

BCD



，

2

ABC



，

4,5,3BCCDPA，该球的表面积为（）

A．100B．50C．80D．条件不够，不能求

例4.棱长为a的正四面体ABCD的棱CD在平面内，

||AB，E，F在平面上的射影，则由A，B，E,C,F,D为

顶点的几何体的体积为

例5.正四面体ABCD的四个顶点在半径为R是的球上，求AB的长。

例6.将边长分别为2,2,2abc的锐角三角形的各边中点连接起来，形成四个三角形，它是一个四面体的展开

图。求这个四面体的体积。

例7.证明，如果四面体相对棱间的距离分别为

123

,,hhh，则四面体的体积

123

1

3

Vhhh。

练1.已知四面体ABCD的一组对棱,ABCD的中点分别为M、N。求MN与BC所成角大小。

练2.四面体SABC中，有三组对棱分别相等且依次为25，13，22，求四面体的体积。

练3.四面体ABCD中，ACBC,ADBD.证明：直线AC与BD夹角的余弦值小于

CD

AB

例8.下列四组数中，有一组不可能是某一四面体的四条高,这组数是（）

A．

333333

1,,,

222

B．

253253253

4,,,

333

C．

303030

5,,,

222

D．

656565

2,,,

555

例9.在直角四面体VABC中，090AVBBVCCVA,记VAB、VBC、VCA、ABC的

面积分别为

123

,,,SSSS。求证：2222

123

SSSS

（09清华）四面体ABCD中，ABCD,,ACBDADBC.

3

(1)求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；

(2)设底面为BCD，另外三个面与面BCD所成的二面角为,,，求证：

coscoscos1。

（10武大）有4条边长为2的线段和两条边长为a的线段，用这六条线段作棱，构成一个三棱锥，问a为

何值时，构成的三棱锥体积最大？

（10同济）如图四面体ABCD中，ABCD和为对棱，设,,,ABaCDbABCD夹角为为，距离为d。

（1）若

2



，且棱ABBCD平面，求四面体的体积；

（2）当

2



，证明:四面体的体积为定值；

（3）求四面体的体积。

（09华南理工）已知,,,ABCD是某球面上不共面的四点，且2ABBCAD，

2BDAC,BCAD,则此球的表面积等于。

（09复旦）半径为R的球内部装4个半径相同的球，则小球半径r可能的最大值是。

（０７武大）在正四棱柱

1111

ABCDABCD中,底面ABCD的边长为４，侧棱

1

CC长为３，又Ｅ为

1

CC上

的点，且1CE。

（１）求：

1

BD与BDE平面所成角的正弦值；

（２）求四面体

1

ABED的体积。

（０７武大）在棱长为a的正方体

1111

ABCDABCD中,,,EFM分别为棱

111

,,ABBBAD中点。

（３）求证：CMDEF平面；

（４）求点Ｍ到平面DEF的距离。

（０７武大）在棱长为1的正方体

1111

ABCDABCD中,,,EFP分别为棱

111

,,AACDBC中点。

（１）求证：BEPF；

（２）求四面体BPEF的体积。

（０８武大）在棱长为a的正方体

1111

ABCDABCD中,Ｅ为棱AB中点。

（５）求二面角

1

BECB的正切值；

（６）求四面体

11

EBDC的体积。

（０８武大）在棱长为a的正方体

1111

ABCDABCD中,Ｅ为棱AB中点。

（７）求证：四面体

11

AACE与四面体

11

CACE的体积相等；

（８）求点A到平面

11

ACE的距离。

（０８浙大）有一圆锥正放，它的高为h，圆锥内水面高为

1

h，

1

2

3

hh，现将圆锥导致，求倒置的水面高

度

2

h。

（１０五校）一个正三棱锥的体积为

2

3

，求它表面积的最小值

（09华南理工）如图，在正三棱锥PABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，EFPC

于F。

（1）求证：EF是异面直线PA与BC的公垂线；

（2）求异面直线PA与BC的距离；

（3）求点Ｂ到面APC的距离。