元功

第２９卷总第４２７期

２０１１年第９期（上半月）

物理教学探讨

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ

Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．４２７

（Ｓ） ９．２Ｏ１１ ．４１．

运用微元法求解功

姜玉斌

江苏省淮阴中学，江苏省淮阴市２２３００２

摘 要：本文以中学物理教学中的常见问题为例，对运用微元法求解变力做功的思路进行了详细的阐述。

关键词：微元法；变力做功；万有引力做功；弹力做功；摩擦力做功；交变电流做功；安培力做功

中图分类号：Ｇ６３３．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—６１４８（２０１１）９（Ｓ）一００４１—３

在处理物理问题时，从对事物的极小部分

的分析入手，达到解决事物整体过程的方法叫微

元法。用微元法处理与变量有关的功是一种行之

有效的方法，下面以教学中常见问题为例，说明

运用微元法求解功的思路。

１ 万有引：匀做功

如图１所示，设地球的质量为Ｍ，物体的质

量为ｍ，物体在位置Ａ时离开地心的距离ＯＡ为

，一 ，ＯＢ间的距离为ｒ。，求物体从Ａ到Ｂ的过程中

万有引力做的功。

图１

解析 设ＡＢ问距离为 —ｒ 一ｒ。，将 分

为 等份，则第ｉ等份上的万有引力大小为

Ｆ—Ｇ

（ｒ１＋ｉ生）

０．５ Ｑ。Ｄ的轴上用线提起一重物ｍ，当ｍ一

（１）此时电动机的

最大机械功率和最大机

械功率时的效率；

（２）此时电源的输

出功率和效率。

。

：．：

占

分析与解 本题要 图３

找的是电动机输出的机械功率最大的条件，而电

源输出功率：最大时对应于电动机消耗的总功率

最大，但这里包含了电动机内阻发热的功率，所

以前面推出的结论也就无法直接使用。那么可否

变通一下呢 挂一步的分析即可发现：只要将电

动机的内阻和电源放在一起，组成一个等效电

源，则该等效电源的输出功率即等于电动机输出

的机械功率，这样就可应用上面推出的结论了。

简解如下：

（１）依题意知，当

Ｆ

Ｉ一 一１０／２（２＋０．５）Ａ一２Ａ时

厶 ７ｕ １一，ｏ

等效电源的最大输出功率为

２ １ ｎ２ Ｐ一南一 ｗ＝＝＝１０Ｗｔｌｍ．ｘ 一 一面 一

即电动机的最大机械功率为

Ｐ机 一１０Ｗ

．

此时电源的路端电压为

Ｕ—Ｅ—Ｉｒ一（１Ｏ一２×２）Ｖ一６Ｖ

电动机的效率为

一 ×１００％一 ×１００％ 一 ×一 ×

一８３．３％

（２）此时电源的输出功率为

Ｐｅ—ＵＩ＝＝＝６×２Ｗ一１２Ｗ

电源的总功率为

Ｐ总＝＝＝ＥＩ一１０×２Ｗ＝２０Ｗ

电源的效率为

一老×１ｏ。％＝：＝ １２×１Ｏ。％

一６０

在第一例中，也同样存在求电动机输出的最

大机械功率问题，使用的也是本例中类似的解

法，读者不妨一试，篇幅所限，这里不再详解。

综上可见，在闭合电路欧姆定律应用的课堂

教学中，如果能进一步引导学生进行上述探讨，

就能很好地培养学生的综合分析能力和思维能

力，充分体现新课程的理念。笔者认为这是一个

很好的教学案例，故此提供给各位同仁参考。

（栏目编辑 罗琬华）

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（Ｓ） ９．２０ｌ１ ．４２．

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＋

万有引力做功的元功为

Ｗ 一一Ｆ，

，２

全过程中万有引力做的总功为

一一ｌｉｍ Ｆ

一、ｉ一１ ＂

一一 ＂ｌｉｒａ（—— 一＋

一、（ｒ１＋一ａＴ）

Ｊ—一・・・上

（ｒ１＋ ３ ）： （ｒｌ＋ ｘ）ｚ

，２ ７７

１

（ｒ１＋２一ａＴ）

１

）一ａＴ

＂

解得：Ｗ一一ＧＭ７ｌ，２（ 一 ）

ｒｌ １＂２

在数列求和中用到裂项求和，即”一。。时，

可以认为ｒ，！＝＝＝Ｉ＂ｉｒ ，并将 裂项为

Ｌ一一（一１一＿ｌ＿）

ｒ．‘Ｆｉ １ ｆｉ一１ ｒｉ ａＴ

２ 弹力做功

如图２所示，一根劲度系数为是的轻质弹簧，

在弹性限度内用外力Ｆ将它从自然长度缓慢拉

至伸长 ，求这一过程中拉力Ｆ做的功。

解析 将伸长量 分为 等份，则第ｉ等份

七的拉力大小为

Ｆ 一

拉力做功的元功为

ｗ．一

全过程中拉力做的总功为

Ｗ—ｌｉｍ∑ｋｉ（生）

一 ｌｉｍ去（１＋２＋３＋…＋ ）

解得：Ｗ—ｋｘ ｚｌｉ

，

１

一号 ｝ｌ一 Ｈ ￡． ‘－

在数列求和中用到结论：

ｌ十２＋３＋…＋”一

图２

Ａ

图３

３ 摩擦力做功

如图３所示，一个质量为Ⅲ的机动小车，以

恒定速率 在半径为＿Ｒ的竖直圆轨道上运动，已

知车与轨道间的动摩擦因数为 ，求小车从Ａ到

Ｂ的过程中摩擦力做的功。

解析 将从Ａ到Ｂ的圆弧分成１１等份，每等

份圆弧长为 ，所对圆心角为

” ”

则第ｉ等份上的摩擦力大小为

＿厂 一 （ 簧＋ Ｓｉｎ ）

摩擦力做功的元功为

ｗ，一 姿

从Ａ到Ｂ的过程中摩擦力做的总功为

ＴＩ， １． ７３ ｌ 丌、枳 ｗ

一 ／ｚ（ｍ ７ ３＋ｍｇｓｉｎ／

：：＝

／／Ｔｒｍ

。

￣ｏ－十 ｇＲ ｌｉｍ （ｓｉｎ ＋ｓｉｎ２ ２一十 ｇ

一

十

＋ｓｉｎ３ ７ｒ＋…＋ｓｉｎ” ）

２ｎ

解得：Ｗ—ｆ．ｏ，ｒｍ，、ｖ￣ ＋￣ｅｎｇＲ

在数列求和中用到结论：

ｓｉｎＯ￣ｓｉｎ２０￣ｓｉｎ３０＋…＋ｓｉｎ 一ｓｉｎ昙 ．

ｓｉｎ ０ ｉｎ导）

４ 交变电流做功

匝数为Ｎ，面积为Ｓ的矩形线框在磁感应强

度为Ｂ的匀强磁场中，绕垂直磁场方向的轴以角

速度∞匀速转动，求交流电的电动势有效值与最

大值的关系。

解析 从中性面开始计时，电动势随时间

变化的规律为Ｐ—Ｅ ，ｓｉｎ￣ｔ—ＮＢ Ｓｓｉｎ￣ｔ

取完整四分之一周期进行研究，将ｔ—Ｔ／４分

成＂等份，第ｉ等份上的电动势为 一 ｓｉｎ ｔ＿

交流电在Ｔ／４内做的总功为

Ｅ ｓｉｎ （ ）

． Ｗ＝

…

ｌｉｒａ

１—＿ 寺 ＂ ＝ 』、

，．

Ｅｍ ２ ｓｉ ）

７ｒ

一 ——页 、 ＝ｌ ｊ、 ‘－，皿

．

Ｅｍ （１一ｃ。 一 ））

７ｒ

一

１， 叶 一 』、 厶，圯Ｄ

柑 。

４ｃ

设交流电电动势的有效值为Ｅ，由 Ｅ２亳一

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ＶｏＩ．２９ ＮＯ．４２７

（Ｓ） ９．２Ｏ１１ ．４３．

，

解得：Ｅ一万Ｅｍ

在数列：ｊ之和中用到结论：

＿ｌ ｃ。ｓ ＋ｃ。ｓ２ ＋ｃＯＳ３ ＋一‘＋ｃ。ｓｎ 一ｓｉｎ号

ｃｏｓ ０．（ｓｉｎ导）

５ 安培力做功

近年某市测试中有这样一道题目：

相距Ｌ一１．５ｍ的足够长金属导轨竖直放

置，质量为 一ｌｋｇ的金属棒 和质量为ｍ。一

０．２７ｋｇ的金属棒 均通过棒两端的套环水平地

套在金属导轨上，如图４（ｎ）所示，虚线上方磁场

方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向

下，两处磁场磁感应强度大小相同。 棒光滑，

棒与导轨间动摩擦因数为 一０．７５，两棒总电

阻为１．８ａ，导轨电阻不计。 棒在方向竖直向

上，大小按图４（６）所示规律变化的外力Ｆ作用

下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时 棒

也由静止释放。求：

（１）磁感应强度Ｂ的大小和口６棒加速度大

小；

（２）已知在２ｓ内外力Ｆ做功４ｏＪ，则这一过

程中两金属棒产生的总焦耳热。

（ａ） 图４

原解 （１）在运动过程中 棒中的电流方

向向左（６一ｎ）， 棒受到的安培力方向垂直于

纸面向里

经过时间ｔ，金属棒 的速率 —ａｔ

此时回路中的感应电流为

Ｅ ＢＬｖ

Ｒ 尺

对金属棒ｎ６，由牛顿第二定律得

Ｆ—ＢＩＬ，一ｍ１ｇ：＝＝ｍ１口

由以上各式整理得

Ｆ一 ＋ ｌｇ＋ ｎ

在图线上取两点

ｔ１—０，Ｆ１—１１Ｎ；

ｔ２—２Ｓ，Ｆ２—１４．６Ｎ

代入上式得

ａ ｌｍ／ｓ ，Ｂ一１．２Ｔ

（２）在２ｓ末金属棒 的速率

一ａｔ一２ｍ／ｓ

２ｓ内发生的位移为 一妻 一２ｍ

由动能定理得

ＷＦ—ｍＩ ｇ：ｒ—Ｗ克安＝妻ｍｌ 。

又由于Ｑ—ｗ克安

联立以上方程解得

Ｑ—ＷＦ—ｍｌｇｘ一－去－ １ ｆ 一１８Ｊ

再解 在问题（２）中将ｔ一２ｓ分成 等份，

则第ｉ等份上棒ｎ６受到的安培力大小为

Ｆ 一Ｂ警Ｌ

速率为 ：ａｉ

安培力做功的元功为

Ｗｆ一一Ｆ Ｖ

安培力ｔ时间内做的总功为

Ｗ一一ｌｉｍ三ｎ Ｆ

，

ｖｌｔ

＝－

…

ｌｉｍ ｔ３

：一下

ＢｚＬ￣ａ２ｄ ｌｉｍ （１ｚ＋２ｚ＋３ｚ＋

…＋ｎ２） 一—— 。十 十 十…

＝一

１

解得：Ｗ一一 ＝一４．８Ｊ

所以２ｓ内两金属棒产生的总焦耳热为

Ｑ一４．８Ｊ

与题解结果不一样，原因在哪里？

由ＷＦ—Ｑ—ｍｇｘ一告栅

可知Ｗ，一２６．８Ｊ

原来命题者把２ｓ内外力Ｆ做功弄错了

在数列求和中用到结论： ’

１ ｚ＋２ｚ＋３。＋…＋，２ｚ一 旦±

综上所述，处理这类问题的思路是先无限分

割，把变量转化为恒量，解出元功，再累计求和、

求极限解决总功。

（栏目编辑 罗琬华）

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