三阶无穷小

三角函数、极限、等价

无穷小公式

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1

2

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ=-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ=1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ=1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)=sinα

3

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA=sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1.极限的概念

（1）数列的极限：

0，

N

（正整数），当

Nn

时，恒有Ax

n

Ax

n

n





lim或Ax

n

)(n

几何意义：在),(AA之外，

n

x至多有有限个点

N

xxx,,,

21



（2）函数的极限

x的极限：

0，

0X

，当Xx时，恒有Axf)(

Axf

x





)(lim或Axf)()(x

几何意义：在（

)XxX

之外，)(xf的值总在

),(AA

之间。

0

xx的极限：0，0，当

0

0xx时，恒有Axf)(

Axf

xx





)(lim

0

或Axf)()(

0

xx

几何意义：在

0000

(,)(,)xxxxx邻域内，)(xf的值总在),(AA之

间。

（3）左右极限

4

左极限：

0，

0，当

00

xxx

时，恒有Axf)(

Axf

xx





)(lim

0

或Axfxf



)0()(

00

右极限：

0，

0，当



00

xxx时，恒有Axf)(

Axf

xx





)(lim

0

或Axfxf



)0()(

00

极限存在的充要条件：

00

lim()lim()

xxxx

fxAfx





（4）极限的性质

唯一性：若Axf

xx





)(lim

0

，则A唯一

保号性：若Axf

xx





)(lim

0

，则在

0

x的某邻域内

0A(0)A()0fx(()0)fx

；

()0fx(()0)fx0A(0)A

有界性：若Axf

xx





)(lim

0

，则在

0

x的某邻域内，

)(xf

有界

2.无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大

量；同一极限

过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意：0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大

量。例如当x时，xxsin是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为

无穷小；Axf

xx





)(lim

0

成立的充要条件是Axf)(

（

00

(,)xxx，

0lim）

（3）无穷小的比较（设

0lim，

0lim）：

若lim0





，则称是比



高阶的无穷小，记为()o；特别



称为

()o

的主部

若

lim







，则称是比



低阶的无穷小；

若

limC







，则称与



是同阶无穷小；

若

lim1







，则称与



是等价无穷小，记为~；

若

lim

k

C







，（0,0kC）则称为



的k阶无穷小；

5

（4）无穷大的比较：若limu，limv，且

lim

u

v



，则称u是比v

高阶的无穷大，记为

1

()ov；特别u称为

1

()uvovv的主部

3.等价无穷小的替换

若同一极限过程的无穷小量

~

，

~

，且lim









存在，则

()()

limlim

()()

fxfx

gxgx











(lim0)

常用等价无穷小

sin

tan

arcsin

arctan

~

ln(1)

1

11

e





































































2

1

1

1cos~

2

1

11~

2

1

(1)1~

1~ln

n

n

aa

















注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；

（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若

lim()(0)ff

，

~

，则()~()ff

4.极限运算法则（设

Axf)(lim

，

Bxg)(lim

）

（1）)()(limxgxf

)(limxfBAxg)(lim

（2）)()(limxgxf

)(limxfBAxg)(lim

特别地，)(lim)(limxfCxCf，nxf)(limn

nAxf)(lim

（3）

)(

)(

lim

xg

xf

B

A

xg

xf



)(lim

)(lim

(0B)

5.准则与公式（lim0，lim0）

准则1：（夹逼定理）若)()()(xxfx，则

Axx)(lim)(lim

Axf)(lim

准则2：（单调有界数列必有极限）

6

若

n

x单调，且

n

xM（

0M

），则lim

n

n

x



存在（

n

x收敛）

准则3：（主部原则）

()

limlim

()

o

o











；11111

21212

()()

limlim

()()

oo

oo







公式1：

0

sin

lim1

x

x

x



sin

lim1







公式2：

1

0

lim(1)

1

lim(1)

x

x

n

n

x

e

n



























1

lim(1)

1

lim(1)

e



























公式3：limlim(1)e，一般地，limlim(1)ffe

公式4：

1

10

1

10

0

limlim

nnn

nnnn

mmm

xx

mmmm

nm

axaxaaxa

nm

bxbxbbxb

nm



































6.几个常用极限

(0,1)aa

（1）

1lim



n

n

a

，

1lim



n

n

n

；（2）

1lim

0





x

x

x

，

limx

x

x





；

（3）1

0

limx

x

e



，1

0

lim0x

x

e



；（4）

0

limln

x

x



；

（5）0

0

1

limarctan

2

1

limarctan

2

x

x

x

x































；（6）

01

1

lim

11

1

n

n

q

q

q

q

q

























不存在