无穷比无穷

.

1/7

1.4无穷小与无穷大

无穷小

1．无穷小量的定义

定义：如果x→x

0

〔或x→∞〕时,函数f的极限为零,那么把f叫做当x→

x

0

〔或x→∞〕时的无穷小量,简称无穷小.

例如：因为0)1(lim

1





x

x

,所以函数x-1是x→1时的无穷小.

因为0

1lim



x

x

,所以函数

x

1

是当x→1时的无穷小.

因为0

1

1lim

xx

,所以函数

x1

1

是当x→－∞时的无穷小.

以零为极限的数列｛x

n

｝,称为当n→∞时的无穷小,

n

1

,

n3

2

都是n→∞时的无

穷小.

注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数f是无穷小,必须指明自变量的

变化趋向.

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在x→x

0

〔或x→∞〕时,极

限仍为常数本身,并不是零.

⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在x→x

0

〔或x→∞〕时,极限是零.

2.无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质：

⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小〔无穷多个无穷小之和不一定是无穷小〕.

⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.〔常数与无穷小的乘积仍是无穷小〕.

⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小.

例1．求

x

x

x

sinlim



解：∵1sinx,是有界函数,而0

1lim



x

x

.

2/7

∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

∴

x

x

x

sinlim



＝0

3．函数极限与无穷小的关系

定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之,如果函数可表示为常

数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限.

4．无穷小的比较

例：当x→0时,x,3x,x2,sinx,

x

x

1

sin2都是无穷小.

观察各极限：

0

3

2

0

lim



x

x

x

x2比3x要快得多

1

sinlim

0





x

x

x

sinx与x大致相同





x

x

xx

x

xx

sin1sinlimlim

0

2

0

sinx比x2慢的多

xx

x

x

xx

1

sin

1

sin

limlim

0

2

2

0

不存在不可比

极限不同,反映了无穷小趋于0的"速度〞是多样的.

得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小

⑴如果





lim＝0,则称β是比α高阶的无穷小

⑵如果





lim＝∞,则称β是比α低阶的无穷小

⑶如果





lim＝k〔k≠0〕,则称β与α是同阶的无穷小

⑷如果





lim＝1,则称β与α是等价无穷小,记为α～β.

例2．比较当x→0时,无穷小x

x





1

1

1

与x2阶数的高低.

.

3/7

解：因为

1

1

1

)1()1(

)1)(1(1

1

1

1

limlimlimlim

0

2

2

0

2

0

2

0



















xxx

x

xx

xx

x

x

x

xxxx

所以x

x





1

1

1

～x2

例3．当x→1时,无穷小1－x与1-x3是否同阶,是否等价？

解：

3

1

)1)(1(

1

1

1

2

1

3

1

limlim













xxx

x

x

x

xx

故同阶但不等价.

常用的等价无穷小：

当x→0时,sinx～x；arcsinx～x；tanx～x；arctanx～x；

1-cosx～2

2

1

x,ln<1+x>～x;ex-1～x；<1+x>a～1-ax

无穷大

1．无穷大量的定义

如果当x→x

0

〔或x→∞〕时,函数f的绝对值无限增大,那么函数f叫做当

x→x

0

〔或x→∞〕时的无穷大量,简称无穷大.

注：⑴说一个函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向.如函数

x

1

是当x→0时的无

穷大,当x→∞时,它就不是无穷大,而是无穷小了.

⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大,因为常数在x→x0<或x→∞>时极限为常

数本身,并不是无穷大.

2．无穷小与无穷大的关系

定理：在自变量的同一变化过程中,若f为无穷大,则

)(

1

xf

为无穷小；反之,若f

为无穷小,且f≠0,则

)(

1

xf

为无穷大.

.

4/7

例4．求

45

32

2

1

lim







xx

x

x

解：当x→1时,分母x2-5x+4→0,因此不能直接使用商的极限法则,但f的倒数的

极限

由无穷大与无穷小的关系可得



)(lim

1

xf

x

1．5函数的连续性

函数连续性的概念

1．函数的增量

定义：在函数y=f中,当x由x0〔初值〕变化到x1〔终值〕时,终值与初值之差x1-x0

叫做自变量的增量〔或改变量〕,记为Δx=x1-x0.

相应的,函数终值f与初值f

0

>之差Δy,叫做函数的增量.

注意：增量Δx可正、可负；增量Δy可正、可负或为零.

2．函数y=f在x0的连续性

先观察两个函数的图像的特点

当Δx→0时,Δy→0.当Δx→0时,Δy不趋向于零.

定义：设函数y=f在点x0与其近旁有定义,如果当自变量x在点x0处的增量Δx

趋近于零时,函数y=f相应的增量

)()(

00

xfxxfy也趋近于零,那么就

叫做函数y=f在点x0连续.用极限表示,就是

或0)()(

00

0

lim



xfxxf

x

定义2：设函数y=f在点x0与其左右近旁有定义,如果函数y=f当x1→x0时的

极限存在,且等于它在x0处的函数值f,即

那么就称函数f在点x0处连续.

函数f在点x0处连续必须满足三个条件：

⑴函数f在点x0与其左右近旁有定义；

⑵

)(lim

0

xf

xx

存在；

⑶)()(

0lim

0

xfxf

xx





.

5/7

例5试证函数











0,

1

sin

0,0

)(x

x

x

x

xf,在x＝0处连续.

证明：函数)(xf在x＝0与其左右近旁有定义

∵0

1

sinlim

0





x

x

x

f<0>=0)0()(lim

0

fxf

x





∴函数)(xf在x＝0处连续.

3．函数y=f在区间内的连续

设函数)(xf在区间

bx

存在且等于)(bf,即

)(limxf

bx

＝)(bf,就说函数)(xf在点b左连续.

设函数)(xf在区间[a,b〕内有定义,如果左极限)(limxf

ax

存在且等于)(af,即

)(limxf

ax

＝)(af,就说函数)(xf在点a右连续.

定理：函数)(xf在点x0处连续)(xf在点x0处既左连续又右连续

)()()(

000

xfxfxf

在区间内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数,区间叫

做函数的连续区间.连续函数的图像是一条连续不断的曲线.

4．复合函数的连续性

设函数)(ufy在点

0

u处连续,函数)(xu在点

0

x处连续,且)(

00

xu,

则复合函数xfy在点

0

x处连续,即

例6求



x

x

a

x





1loglim

0

解：原式＝x

a

x

x

1

0

1loglim



＝

aa

e

e

aln

1

ln

ln

log

.

6/7

可以推出：当0x时,x

a

1log～

a

x

ln

1．5．2函数的间断点

函数)(xf在

0

x点连续必须满足三个条件,如果这三个条件有一个不满足,

则称)(xf在

0

x点不连续〔或间断〕,并称

0

x点为)(xf的不连续点或者间断点.

间断点的分类：

第一类间断点：⑴

00

xfxf,但

000

xfxfxf

,或者

0

xf无

意义.

⑵

00

xfxf

不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点.

闭区间上连续函数的性质

性质1闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.

注意：⑴若区间是开区间,定理不一定成立.

⑵若区间内有间断点,定理不一定成立.

推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.

性质2如果函数)(xf在ba,上连续,且)(bfaf＜0,那么至少存在一

点ξ∈,使得0f.

对于方程)(xf＝0,若满足性质2中的条件,则方程在内至少存在一个实

根ξ,ξ又称为函数)(xf的零点.

例7证明方程01423xx在区间〔0,1〕内至少有一个根.

证明：设)(xf＝1423xx,)(xf在1,0上是连续的,又因为

)0(f＝1＞0)1(f＝－2＜0

根据性质2,至少存在一点ξ∈〔0,1〕,使0f

.

7/7

即01423

从而证得方程01423xx在区间〔0,1〕内至少有一个根.

判断命题是否正确：如果函数)(xf在ba,上有定义,在内连续,且

)(bfaf＜0,那么)(xf在内必有零点.

解答：不正确.例如函数

)(xf在〔0,1〕内连续,)0(f·)1(f＝－2e＜0,但)(xf在〔0,1〕内无零点.

,01

()

2,0

ex

fx

x











