等差数列项数公式

等差数列的通项公式

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等差数列概念与性质

文字定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差

数列，这个常数叫等差数列的公差。

符号定义

1nn

aad





分类

递增数列：0d递减数列：

0d

常数数列：0d

通项

1

(1)()

nm

aandpnqanmd，其中

1

,pdqad

前n项和2

1

1

()

(1)

22

n

n

naa

nnd

Snapnqn







，其中

1

,

22

dd

pqa

中项

,,2abcbac成等差的充要条件:

主要性质

等和性：等差数列

n

a，若mnpq则

mnpq

aaaa

推论：若2mnp则2

mnp

aaa

2

nknkn

aaa





12132nnn

aaaaaa



即：首尾颠倒相加，则和相等

其

它

性

质

1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。

即：

232

,,,

mmmmm

sssss等差，公差为

2md则有

32

3()

mmm

sss

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：

14710

,,,,aaaa（下标成等差数列）

3、,

nn

ab

等差，则

2n

a

，

21n

a



，

n

kab，

nn

paqb也等差。

4、等差数列

n

a的通项公式是n的一次函数，即：

n

adnc(0d)

等差数列

n

a的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，即2

n

SAnBn(0d)

5、项数为奇数21n的等差数列有：

1

s

n

sn





奇

偶

；

n

ssaa

奇偶中

；

21

(21)

nn

sna





项数为偶数2n的等差数列有：

1

n

n

s

a

sa



奇

偶

；ssnd

偶奇

；

21

()

nnn

snaa





6、,

nm

aman则0

mn

a





nm

ss则0()

mn

snm





,

nm

smsn则()

mn

smn





证明一个

数列为等

差数列的

方法：

1、定义法：

1

()

nn

aad



常数

2、中项法：

11

2(2)

nnn

aaan





3.、通项公式：),(为常数bkbkna

n

4、前n项和：),(2为常数BABnAnS

n



设元技巧

三数等差：,,adaad四数等差：3,,,3adadadad

等差数列的通项公式

2/7

等差数列的通项公式

1、你能根据规律在（）内填上合适的数吗？

(1)1682，1758，1834，1910，1986，（）.

(2)28，21.5，15，8.5，2，…,（），-24.

(3)1，4，7，10，（），16，…

(4)2，0，-2，-4，-6，（）…

2、由下列等差数列的通项公式求首相和公差.

1)

63na

n

2)72na

n

3）12na

n

4）na

n2

1

1

5）32

n

an

3、观察下列各数列的规律，并写出其通项公式

（1）

11111

,,,,

315356399

（2）

246810

,,,,

315356399

（3）2,5,10,17,26

（4）13，9，5，…；

（5）

2

1

，

2

1

，

2

3

，…．

（6）2、5、8、11……

（7）a、2a、3a、4a……

等差数列的通项公式

3/7

4、如果数列

n

a是等差数列，完成下列问题：

（1）已知a

1

=-2，a

4

=4，求数列

n

a公差及通项公式；

（2）已知a

1

=3，a

5

=2，求数列

n

a公差及通项公式；

（3）已知a

2

=3，a

5

=6，求数列

n

a公差及通项公式；

（4）已知a

1

=-2，a

8

=2a

4

，求数列

n

a公差及通项公式；

（5）已知1

1

a，4d，求数列

n

a通项公式；

（6）已知4

4

a，4

8

a，求

12

a；

（7）已知

3

1

d，8

7

a，求

1

a；

等差数列的通项公式

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（8）已知10

5

a，31

12

a，求首项

1

a与公差d

（9）若

45

15aa,

7

15a,求

2

a的值.

（10）

1560

8,20aa，求

75

a=。

（11）a

4

=10，a

8

=22，则a

10

=___________

（12）

11

1,1

nn

aaa



，则

2009

a

（13）首项

1

4,a公差2d，则通项公式

n

a

（14）6

5

a15

8

a求

14

a

（15）

1560105

8,20,aaa

（16）

352

7,6aaa，则

6

a

等差数列的通项公式

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（17）

23

9,7aa，则公差d=

（18）已知76,31

73

aa，求

1

a和d；

（19）已知7,12

461

aaa，求

9

a．

（20）已知10

3

a，28

9

a，求

12

a

（21）若

35

4,11aa，则

11

a

（22）已知

7

1

,8,

3

da则

1

a

5、数列的等差中项

等差数列的通项公式

6/7

（1）已知

11

,

3232

ab



，则a，b的等差中项为

（2）等差数列

n

a中，20

87654

aaaaa，则

102

aa

（3）等差数列

n

a中，若

34567

50aaaaa，求

258

aaa；

（4）等差数列

n

a中，若

1591317

117aaaaa，则

315

aa

（5）等差数列

n

a中，

4681012

90aaaaa，则

106

aa

（6）等差数列

n

a中，

468

1aaa，求

39

aa

（7）等差数列

n

a中，450

76543

aaaaa，则

82

aa

等差数列的通项公式

7/7

（8）等差数列

n

a中，若5

72

aa，则

81

aa____，

63

aa_______

（9）正等差数列{a

n

}中，

147

39aaa，

258

33aaa，那么

369

aaa

6、其他性质

（1）等差数列{a

n

}、{b

n

}的前n项和分别是S

n

、T

n

,且

21

32

n

n

S

n

Tn







求6

6

a

b



（2）等差数列

n

a中，若

1234

3,5aaaa，则

78

aa

（3）在—1与7之间插入3个数a，b，c，使得这5个数成等差数列，求这5个数。