凤凰方程

第2章一元二次方程

一元二次方程

专题一利用一元二次方程的概念肯定字母的取值

1.已知2(3)21mxmx是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

≠3≥3≥-2D.m≥-2且m≠3

2.已知关于x的方程21(1)(2)10mmxmx，问：

（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出那个方程；

（2）m取何值时，它是一元一次方程？

专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

3.关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常数项为0，求m的值．

4.若一元二次方程2(24)(36)80axaxa没有一次项，则a的值为.

专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（）

A.－1

6.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，a－b+c=0，则此方程必有一个根为.

7.已知实数a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，求代数式

2

2

1

2012

2013

a

aa



的值.

知识要点：

1.只含有一个未知数（一元），而且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的

方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程

的根.

温馨提示：

1.一元二次方程概念中必然要注意二次项系数不为0的条件.

2.一元二次方程的根是两个而再也不是一个.

方式技能：

+bx+c=0是一元一次方程的情形有两种，需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或代数式的值时常常常利用到整体思想，需要同窗们认真

领会.

答案：

1.D解析：

30

20

m

m











，解得m≥-2且m≠3

2.解：（1）当

212,

10

m

m











时，它是一元二次方程.解得：m=1．

当m=1时，原方程可化为2x2-x-1=0；

（2）当

20,

10

m

m











或当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是一元一次方程.

解得：m=-1，m=0.

故当m=-1或0时，为一元一次方程．

3.解：由题意，得：

210,

10.

m

m











解得：m=－1．

=-2解析：由题意得

360,

240.

a

a











解得a=－2.

5.A解析：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）

=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．

=－1解析：比较两个式子

会发觉：（1）等号右边相同；（2）等号左侧最后一项相同；（3）第一个式子x2对应了第二

个式子中的1，第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故

21

1

x

x











.解得x=－1.

7.解：∵实数a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0.

∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.

∴

一元二次方程的解法

专题一利用配方式求字母的取值或求代数式的极值

1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左侧能够写成一个完全平方式；则k的值为（）

A．-9或11B．-7或8C．-8或9C．-8或9

2.若是代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m=.

3.用配方式证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

专题二利用△判定一元二次方程根的情形或判定字母的取值范围

4.已知a，b，c别离是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情形是（）

A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）

6.概念：若是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）知足a＋b＋c＝0，那么咱们称那个方程为

“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结

论正确的是（）

A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2=.

8.阅读题例，解答下题：

例：解方程x2－|x－1|－1=0.

解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.

解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.

（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.

解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.

综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.

依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．

专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系

9.探讨下表中的奥秘，并完成填空：

10.请先阅读例题的解答进程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，

那个方程左侧能够分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．咱们知

道，若是两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，若是两个

因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程

x+2=0或3x-5=0，取得原方程的解为x1=-2，x2=

5

3

．

按照上面解一元二次方程的进程，王力推测：a﹒b＞0，则有

0,

0

a

b











或

0,

0.

a

b











请判断王

力的推测是不是正确？若正确，请你求出不等式

51

0

23

x

x







的解集，若是不正确，请说明

理

由．

专题五利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

11.设x

1

、x

2

是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x

1

（x

2

2+5x

2

﹣3）+a=2，则a=．

12.（2012·怀化）已知x一、x

2

是一元二次方程0262aaxxa的两个实数根，

⑴是不是存在实数a，使－x

1

＋x

1

x

2

=4＋x

2

成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你

说明理由；

⑵求使（x

1

＋1）（x

2

＋1）为负整数的实数a的整数值．

13.(1)教材中咱们学习了：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－

b

a

,

x1·x2=

c

a

.按照这一性质，咱们能够求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知x1、

x2为方程x2-2x-1=0的两根，则：

（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x1

2+x2

2=(x1+x2)2-2x1·x2=____．

请你完成以上的填空

．．．．．．．．．

．

（2）阅读材料：已知2210,10mmnn

，且1mn．求

1mn

n



的值．

解：由210nn

可知0n．∴

2

11

10

n

n

．∴

2

11

10

n

n

.

又210,mm

且1mn，即

1

m

n

．∴

1

,m

n

是方程210xx的两根．

∴

1

1m

n

．∴

1mn

n



=1．

（3）按照阅读材料所提供的的方式及（1）的方式完成下题的解答．

已知222310,320mmnn

，且1mn．求2

2

1

m

n

的值．

知识要点：

1.解一元二次方程的大体思想——降次，解一元二次方程的常常利用方式：直接开平方式、

配方式、公式法、因式分解法.

2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系：

当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；

当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解；

△<0时，一元二次方程没有实数解.

3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系：

x

1

+x

2

=﹣，x

1

•x

2

=.

温馨提示：

+6x+m2是一个完全平方式，易误以为m=3.

2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2有双层含义：（1）ax1

2+bx1+c=0，

ax2

2+bx2+c=0；（2）x

1

+x

2

=﹣，x

1

•x

2

=.

方式技能：

1.求二次三项式ax2+bx+c极值的大体步骤：（1）将ax2+bx+c化为a（x+h）2+k；（2）当a>0，

k>0时，a（x+h）2+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）2+k≤k.

2.若一元二次方程ax

2+bx+c=0的两个根为x

1

．x

2

，则ax2+bx+c=a（x﹣x

1

）（x﹣x

2

）．

3.解绝对值方程的大体思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大

小关系.

4.解高次方程的大体思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.

5.利用根与系数求解时，常常常利用到整体思想.

答案：

解析：按照题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11

或k=-9．

2.±3解析：据题意得，m2=9，∴m=±3．

3.证明：－2x2+4x－5=－2（x2－2x）－5=－2（x2－2x+1）－5+2=－2（x－1）2－3.

∵（x－1）2≥0，∴－2（x－1）2≤0，∴－2（x－1）2－3＜0.

∴无论x为何实数，代数式－2x2+4x-5的值恒小于零．

解析：△=（2c）2﹣4（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）.

按照三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．

解析：当kx2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，现在k=0；

当kx2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，若是有实数根，则

2

0

3420

k

k











.解得

9

8

k且k≠0.综上所述

9

8

k.

解析：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b2－4ac＝0，

又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得（－a－c）2－4ac＝0，化简得（a－c）2

＝0，所以a＝c．

解析：由题意得x2+y2-5=±8.解得x2+y2=13或x2+y2=－3（舍去）.

8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x2+2（x+2）－4=0，∴x2+2x=0.解得x1=0，x2=－2；

②当x+2＜0，即x＜-2时，x2－2（x+2）－4=0，∴x2－2x－8=0.

解得x1=4（不合题设，舍去），x2=－2（不合题设，舍去）．

综上所述，原方程的解是x=0或x=－2．

9.

4

1

，﹣3；

4

1

，3．

发觉的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x

1

．x

2

，则

ax2+bx+c=a（x﹣x

1

）（x﹣x

2

）．

解析：∵x1x2＝－3，x2

2+4x2－3=0，

∴2x1(x2

2+5x2－3)+a=2转化为2x1(x2

2+4x2－3+x2)+a=2.

∴2x1x2+a=2.∴2×(－3)+a＝2.解得a＝8.

12.解：（1）按照题意，得△=（2a）2－4×a（a－6）=24a≥0．∴a≥0．

又∵a－6≠0，∴a≠6．

由根与系数关系得：x1＋x2=－

6

2

a

a

，x1x2=

6a

a

.

由－x1＋x1x2=4＋x2得x1＋x2＋4=x1x2.∴－

6

2

a

a

＋4=

6a

a

，解得a=24．

经查验a=24是方程－

6

2

a

a

＋4=

6a

a

的解．

（2）原式=x1＋x2＋x1x2＋1=－

6

2

a

a

＋

6a

a

＋1=

a6

6

为负整数，

∴6－a为－1或－2，－3，－6.解得a=7或8，9，12．

13.解：（1）2，－1，6．

（3）由n2+3n-2=0可知n≠0,∴1+

3

n

－

2

n2

=0.∴

2

n2

－

3

n

－1=0.

又2m2-3m-1=0,且mn≠1，即m≠

1

n

．

∴m、

1

n

是方程2x2-3x-1=0的两根．

∴m+

1

n

=

3

2

,m·

1

n

=－

1

2

,∴m2+

1

n2

=(m+

1

n

)2-2m·

1

n

=(

3

2

)2-2·(－

1

2

)=

13

4

.

一元二次方程的应用

专题一、利用一元二次方程解决面积问题

1.在高度为的一面墙上，预备开凿一个矩形窗户．现用长的铝合金条制成如图所示的窗

框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的

宽度比为2：3，若是要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每

一个彩条的宽度？

3.数学的学习贵在触类旁通，触类旁通.仔细观察图形，认真试探，解决下面的问题：

（1）在长为

a

m，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草

坪的面积可表示为2m；

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改成宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则现在

余下草坪的面积为2m；

（3）伶俐的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！

（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒

为xm的弯曲小路（如图3），现在余下草坪的面积为14212m．求小路的宽x.

专题二、利用一元二次方程解决转变率问题

4.据报导，我省农作物秸杆的资源庞大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，

大部份秸杆被直接焚烧了，假定我省每一年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增

加率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每一年的增加率．（取

2

≈）

5.某种电脑病毒传播超级快，若是一台电脑被感染，通过两轮感染后就会有81台电脑被感

染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效

控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商预备以每平方米7000元的价钱出售，由于

国家出台了有关调控房地产的政策，开发商通过两次下调销售价后，决定以每平方米5670

元的价钱销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售领导向开放商建议：先发布下调5%，再下调15%，如此更有吸引力．请问房

产销售领导的方案对购房者是不是更优惠？为何？

专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题

7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：

若是购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；若是购买树苗超过60棵，每增加1棵，所

出售的这批树苗每棵售价均降低元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终

向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在必然范围内，每部汽车的售

价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1

部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部；月底厂家按照销售量一次性返利给销售公

司，销售10部之内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.

(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.

(2)若是汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？

（盈利=销售利润+返利）

专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题

9.(1)通过凸n边形(n＞3)其中一个极点

．．．．．．

的对角线有条.

(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？

(3)是不是存在有21条对角线的凸多边形？若是存在,它是几边形？若是不存在,说明得

出结论的道理.

10.如图每一个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填与下列表格：

正方形边长1357…n（奇数）

红色小正方形个数…

正方形边长2468…n（偶数）

红色小正方形个数…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数

为P2，问是不是存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

知识要点：

列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增加率问题、经济问题、疾病传播问题、生活

中的其他问题.

温馨提示：

1.若设每次的平均增加(或降低)率为x，增加(或降低)前的数量为a，则第一次增加(或降低)

后的数量为a(1±x)，第二次增加(或降低)后的数量为a(1±x)

2

．

2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平

移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，按照面积(体积)公式列出一元二次方程．

3.列方程解决实际问题时，方程的解必需使实际问题成心义，因此要注意查验结果的合理性.

方式技能：

1.转变率问题中常常利用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x

是变

化率.转变率问题用直接开平方式求解简单.

2.解决面积问题常常常利用到平移的方式，利用平移前后图形面积不变成立等量关系.

答案：

1.解：设高为x米，则宽为

9.50.52

3

x

米.由题意，得

9.50.52

3

3

x

x





.

解得

12

1.5,3xx(舍去,高度为的一面墙上).

当x=时，宽

9.50.529.50.53

2

33

x

.

答：高为米,宽为2米.

2.解：设横、竖彩条的宽度别离为2xcm、3xcm，由题意，得

（20－6x）（30－4x）=（1－）×20×30.整理，得6x2－65x＋50＝0.

解，得x

1

＝，x

2

＝10（不合题意，舍去）.∴2x＝，3x＝.

答：每一个横、竖彩条的宽度别离为cm，cm．

3.解：(1)(1)ab（或aba）；(2)(1)ab（或aba）；

(3)将笔直的小路平移到草坪的左侧，则余下部份的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两偏重合，

则余下部份的宽为（30-x）m,由题意得：

(50-x)（30-x）=1421.解得x1=1，x2=79（舍去）.

答：小路的宽为1m.

4.解：设我省每一年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增加率是x，由题意，得

30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈，x2≈（不合题意舍去）．∴x≈．

答：每一年的增加率约为41%．

5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得

1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)2

＝81.

∴x

1

＝8，x

2

＝－10（舍去）.

∴(1＋x)

3

＝(1＋8)

3

＝729＞700．

答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

6.解：（1）设平均每次下调%p，则有5670%)1(70002p.∴81.0%)1(2p.

∵1—p%>0，∴1—p%=.p%==10%.答：平均每次下调10%；

（2）先下调5%，再下调15%，如此最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=元.

∴销售领导的方案对购房者更优惠一些．

7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵．

设该校共购买了x棵树苗，由题意，得1200.5608800xx





.

解得

12

220,80xx．

当

1

220x时，1200.52206040100，∴

1

220x不合题意，舍去；

当

2

80x时，1200.58060110100，∴

2

80x.

∴80x.

答：该校共购买了80棵树苗．

8.解：(1)27－=；

（2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.

①当销售10部之内（含10部）时，依题可得﹝28－27+（x－1）﹞x+=12.

解得6)(20

21

xx，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+（x－1）﹞x+x=12.

解得24,5

21

xx，均不合题意，应舍去.

答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

9.解:（1）n－3；(2)设那个凸多边形是n边形,由题意,得

(3)

14

2

nn

.

解得

12

7,4nn(不合题意,舍去).答:那个凸多边形是七边形.

(3)不存在.

理由:假设存在n边形有21条对角线.由题意,得

(3)

21

2

nn

.

解得

3177

2

n



.因为多边形的边数为正整数，但

3177

2



不是正整数，故不合题意.所

以不存在有18条对角线的凸多边形.

10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n－1；4，8，12，16（偶数）2n．

（2）由（1）可知n为偶数时P

1

=2n．∴P

2

=n2－2n.

按照题意得n2－2n=5×2n，n2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．

∴存在偶数n=12使得P

2

=5P

1

2．