辐角主值

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求复数的辐角、辐角主值

知识要点：

一、基础知识

1）复数的三角形式

①定义：复数z=a+bi（a,b∈R）表示成r（cosθ+isinθ）的形式叫复数z的三角形

式。即z=r（cosθ+isinθ）

其中zrθ为复数z的辐角。

②非零复数z辐角θ的多值性。

以ox轴正半轴为始边，向量oz



所在的射线为终边的角θ

叫复数z=a+bi的辐角

因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）

③辐角主值

表示法；用argz表示复数z的辐角主值。

定义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值02argz

唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模zr是唯一的。

⑤z=0时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方

等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数

运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。

辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角

主值的求法。

2）复数的向量表示

在复平面内与复数z

1

、z

2

对应的点分别为z

1

、z

2

（如图）

何量ozz

11



对应于

何量ozz

22



对应于

何量zzzzz

1221



对应于

与复数z

2

－z

1

对应的向量为oz



显然oz∥z

1

z

2

则argz

1

=∠xoz

1

=θ

1

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argz

2

=∠xoz

2

=θ

2

argz（z

2

－z

1

）=argz=∠xoz=θ

3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

如z

1

=r

1

（cosθ

1

+isinθ

1

）z

2

=r

2

（cosθ

2

+isinθ

2

）

①乘法：z=z

1

·z

2

=r

1

·r

2

[cos(θ

1

+θ

2

)+isin(θ

1

+θ

2

)]

如图：其对应的向量分别为ozozoz

12



显然积对应的辐角是θ

1

+θ

2

<1>若θ

2

>0则由oz

1



逆时针旋转θ

2

角模变为

oz

1



的r

2

倍所得向量便是积z

1

·z

2

=z的向量oz



。

<2>若θ

2

<0则由向量oz

1



顺时针旋转

2

角

模变为r

1

·r

2

所得向量便是积z

1

·z

2

=z的向量oz



。

为此，若已知复数z

1

的辐角为α，z

2

的辐角为β求α+β时便可求出z

1

·z

2

=z

a

z对

应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法

zzz

z

z

r

r

i

12

1

2

1

2

1212

[cos()sin()]（其中z

2

≠0）

除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述

如下：

<1>

21

0



时顺时针旋转角

２

oz。

<2>

２２

时逆时针旋转角



0

1

oz。

二、基本方法

求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：

1）化复数为三角形式

如求复数

１

２

（）的辐角，辐角主值cossin



44

i

１

２

（）＝

１

２

［（－

４

）＋（－

４

）］cossincossin



44

ii

这样化成三角式∴复数的辐角是２k





4

（

kz

）

辐角主值为

7

4



∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

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1

2

7

4

7

4

（）cossin



i

2）直接求辐角及主值

主要是使用复数代数式、三角式的互化：

若z=a+bi（a,b∈R）

则rab22辐角为θ则t

b

a

g，θ依点z（a,b）所在象限确定。

如上例zii

1

244

2

4

2

4

（）cossin



设辐角为θ则tgθ=－1

∵点z（

2

4

2

4

,）在第四象限∴tgθ=tg

7

4









7

4

2kkz（）

而argz=

7

4



3）数形结合

主要是复数运算的几何意义得到的解法