单位向量怎么求

平面向量

平面向量的基本概念

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别，二个要素：大小、

方向。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

例如：a=（-1,3）|a|=√(1+9)=√10

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

||

AB

AB



)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：

a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,

但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点

ABC、、

共线ABAC、共线；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如

基本练习：

1．下列物理量中，不能称为向量的是（）

A．质量B．速度C．位移D．力

2.设O是正方形ABCD的中心，向量AOOBCOOD、、、是（）

A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量

3.在下列说法中，正确的是（）

A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;

B．模为0的向量与任一非零向量平行;

C．向量就是有向线段;

D．若|a|=|b|，则a=b

4.下列各说法中，其中错误的个数为（）

（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方

向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同

一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行

A．2个B．3个C．4个D．5个

A

B

C

E

D

F

O

a

b

c

d

e

C

a+bb

AaB

5.如图，O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED、OCFB是正方形，在图中所示

的向量中，

（1）与AO相等的向量有_________________________；

（2）与AO共线的向量有_________________________；

（3）与AO模相等的向量有_______________________；

（4）向量AO与CO是否相等？答：_______________．

6.O是正六边形ABCDEF的中心，且AOa，OBb，ABc，

在以A、B、C、D、E、F、O为端点的向量中：

（1）与a相等的向量有；

（2）与b相等的向量有；

（3）与c相等的向量有．

7.在如图所示的向量a、b、c、d、e中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？

模相等的向量？若存在，请一一举出．

8.某人从A点出发向西走了200m达到B点，然后改变方向向西偏北600走了450m到达C

点，最后又改变方向向东走了200m到达D点

（1）作出向量AB、BC、CD（1cm表示200m）；

（2）求DA的模．

9.如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的

模？有多少种不同的方向？

10.下列说法中正确是_______________（写序号）

（1）若a与b是平行向量，则a与b方向相同或相反；

（2）若AB与CD共线，则点A、B、C、D共线；

（3）四边形ABCD为平行四边形，则AB=CD；

（4）若a=b，b=c，则a=c；

（5）四边形ABCD中，ABDC且||||ABAD，则四边形ABCD为正方形；

（6）a与b方向相同且|a|=|b|与a=b是一致的；

平面向量的线性运算

向量的加（减）法：求两向量和（差）的运算叫向量的加（减）法运算

②三角形法则：向量

AB

与

BC

相加时，

AB

的终点B作为

BC

的起点，这时起点A到终点

C的向量

AC

就是这两个向量的和向量，即

ABBCAC

.这种求向量和的方法叫三角形法则.

（

ABACCB

）

O

A

B

C

D

E

F

（注意：两个向量要“首尾”相接）

③平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，

则以A为起点的向量AC就是向量a，b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形

法则，如右图：

向量加法的交换律：a+b=b+a

9．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

10．实数与向量的积：实数λ与向量

a



的积是一个向量，记作：λ

a



（1）|λ

a



|=|λ||

a



|；（2）λ>0时λ

a



与

a



方向相同；λ<0时λ

a



与

a



方向相反；λ=0

时λ

a



=0

11．运算定律λ(μ

a



)=(λμ)

a



，(λ+μ)

a



=λ

a



+μ

a



，λ(

a



+b



)=λ

a



+λb



12．向量共线定理向量b



与非零向量

a



共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，

使b



=λ

a



13．平面向量基本定理：如果

1

e，

2

e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量

a



，有且只有一对实数λ1，λ2使

a



=λ11

e+λ22

e

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被

a



，

1

e，

2

e唯一确定的数量

基本练习：

1.化简PMPNMN所得的结果是（）

A．MPB．NPC．0D．MN

2.化简PMPNMN所得的结果是（）

A．MPB．NPC．0D．MN

3.下面给出四个命题：

①对于实数m和向量a、

b

恒有：mbmabam)(

②对于实数m、n和向量a，恒有namaanm)(

B

A

D

C

O

③若)(Rmmbma，则有

ba

④若)0,,(aRnmnama，则nm

其中正确命题的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

4.设OAa，OBb且|a|=|b|=6，∠AOB=120



，则|a－b|等于（）

A．36B．12C．6D．36

5.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BCa，CAb，ABc，

则下列各式：①

11

22

EFcb；②

1

2

BEab；③

11

22

CFab；④ADBECF0．其中正确的

等式的个数为

6.如图，D、E、F是

ABC

的边AB、BC、CA的中点，

则DBAF=

7.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OAOBOC、、表示

OD．

8.化简：()()ABCDACBD=．

9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点．

求证：)(

2

1

BCABEF

10.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知

AB

=a,

AD

=b,试用a，b表示BC和MN．

F

E

D

A

B

C

向量的数乘的运算及其几何意义

一般地，我们规定实数λ与向量

a

的积是一个向量，这种运算叫做向量的数

乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：

（1）

aa

（2）当λ>0时，

a的方向与

a

的方向相同；

当λ<0时，a的方向与

a

的方向相反。

由（1）可知，当0

或0a时，0a

类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：

设

a

、

b

为任意向量，



、



为任意实数，则有：

结合律：

aa)()(

第一分配律：

aaa)(

第二分配律：baba)(

向量共线定理：向量b与非零

．．

向量a共线当且仅当有唯一

．．．．．．．

一个实数



，使得

ab

例.已知任意两非零向量a、b，试作baOA,baOB2，baOC3。

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

基本练习：

1.已知向量a=e

1

-2e

2

，b=2e

1

+e

2

,其中e

1、e

2

不共线，则a+b与c=6e

1

-2e

2

的关系为（）

A．不共线B．共线C．相等D．无法确定

2.已知向量e

1、e

2

不共线，实数(3x-4y)e

1

＋(2x-3y)e

2

=6e

1

+3e

2

,则x－y的值等于（）

A．3B．-3C．0D．2

3.已知向量a，b，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b,则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

4.在三角形ABC中，,



cAB,



bAC若D点满足,2



DCBD则



AD=()

A．,

3

1

3

2

cbB.,

3

5

3

2

cbC.,

3

1

3

2

cbD.,

3

2

3

1

cb

5.设两非零向量

1

e、

2

e不共线,且k

1

e+

2

e与

1

e+k

2

e共线,则k的值为（）

A.1B.-1C.±1D.0

6.已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________,y

＝________

7..若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a=b

8.已知向量a,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a,b共线的条件是（）

①2a-3b=4e且a+2b=-3e

②存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0

③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)

④已知梯形ABCD，其中AB=a,CD=b

A．①②B．①③C．②D．③④

9.G为△ABC内一点，且满足GA

→

＋GB

→

＋GC

→

＝0，则G为△ABC的()

A．外心B．内心C．垂心D．重心

10.已知向量a、b不共线，OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b.

(1)求证：A,B,C三点共线；

(2)试确定实数k的值，使ka+b与a+kb共线

向量的坐标表示

若存在唯一一对实数x、y，使得a=yj+xia

的坐标表示:（x，y）。如右图所示：

平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x

1

，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，则

a＋b＝(x

1

＋x

2

，y

1

＋y

2

)，a－b＝(x

1

－x

2

，y

1

－y

2

)，

λa＝(λx

1

，λy

1

)，|a|＝x2

1

＋y2

1

.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则AB

→

＝(x

2

－x

1

，y

2

－y

1

)，|AB

→

|＝x

2

－x

1

2＋y

2

－y

1

2.

例如：A（2,3），B（4,9）则AB

→

=（4-2,9-3）=（2,6）

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x

1

，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，其中b≠0.a∥b⇔x

1

y

2

－x

2

y

1

＝0.

4.平面向量基本定理

如果e

1

，e

2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且

只有一对实数λ

1

，λ

2

，使a＝λ

1

e

1

＋λ

2

e

2

.

其中，不共线的向量e

1

，e

2

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

基本练习：

1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）

A．e

1

=(0,0),e

2

=(1,－2);B．e

1

=(-1,2),e

2

=(5,7);

C．e

1

=(3,5),e

2

=(6,10);D．e

1

=(2,-3),e

2

=)

4

3

,

2

1

(

2.已知MA=(-2，4)，MB=(2，6)，则

2

1

AB=

()

A．(0，5)B．(0，1)C．(2，5)D．(2，1)

3..已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b

4.已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB同向的单位向量是（）

A．(

5

3

，-

5

4

)B．(-

5

3

，

5

4

)C．(-

5

4

，

5

3

)D．(

5

4

，-

5

3

)

5.若向量a=(1，1)，b=(1，－1)，c=(－1，2)，则c等于（）

A．－

2

1

a+

2

3

bB．

2

1

a－

2

3

bC．

2

3

a－

2

1

bD．－

2

3

a+

2

1

b

6.已知向量a=(-2，4)，b=(1，-2)，则a与b的关系是（）

A．不共线B．相等C．同向D．反向

7.已知：4,2M、3,2N，那么MN；NM．

8.设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD=2AB-3BC，则点D的坐标为．

9.已知平行四边形

ABCD

的顶点2,1A、1,3B、6,5C，求顶点

D

的坐标．

10.已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE=

3

1

AC，BF=

3

1

BC

（1）求点

E

、

F

及向量EF的坐标；

（2）求证：EF∥AB．

向量的数量积

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b(如图)，作OA

→

＝a，OB

→

＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)

叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；

如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

2．两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量

积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，

即0·a＝0.

3．向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．

4．向量数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；

(2)a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝

|a|2或者|a|＝a·a；

(4)cosθ＝

a·b

|a||b|

；

(5)|a·b|≤|a||b|.

5．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

6．平面向量数量积的坐标运算

设向量a＝(x

1

，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，向量a与b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x

1

x

2

＋y

1

y

2

；

(2)|a|＝x2

1

＋y2

1

；

(3)cos〈a，b〉＝

x

1

x

2

＋y

1

y

2

x2

1

＋y2

1

x2

2

＋y2

2

；

(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0.

7．若A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，AB

→

＝a，则|a|＝x

1

－x

2

2＋y

1

－y

2

2(平面内两点间

的距离公式)．

备注：

一个条件

两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0.

例如：a=（1，-1），b=（1,1），a⊥b⇔1*（-1）+1*1=0

两个探究

(1)若a·b＞0，说明a和b的夹角为锐角

(2)若a·b＜0，说明a和b的夹角为钝角

三个防范

(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，

即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同

时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一

个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，

因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．

(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB

→

与BC

→

的夹角应为120°，

而不是60°.

基本练习：

1.已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．

A.

π

3

B.

π

4

C.

2π

3

D.

3π

4

2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．

A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

C．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)

3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．

A．4B．3C．2D．0

4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．

A．9B．4C．0D．－4

5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

6.若abac且0a，则

AbcBbcCb∥cDbc与bc均有可能

7.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于()

A．－1B．－

1

2

C.

1

2

D．1

8.设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()

A.5B.10C．25D．10

9.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()

A.









7

9

，

7

3

B.









－

7

3

，－

7

9

C.









7

3

，

7

9

D.









－

7

9

，－

7

3

10.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB

→

·AC

→

等于()

A．－

3

2

B．－

2

3

C.

2

3

D.

3

2

11.．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

12.．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB

→

·AC

→

＝________.

13.已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．

14.已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n>1)，a与b的夹角是45°.

(1)求b；

(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

15.设两个向量e

1

、e

2

满足|e

1

|＝2，|e

2

|＝1，e

1

、e

2

的夹角为60°，若向量2te

1

＋7e

2

与向量e

1

＋te

2

的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

16.已知|a|=

1

2

，|b|=4，且a与b的夹角为

3



，则a·b的值是（）

A．1B．±1C．2D．±2

17..△ABC中，0ABBC,则△ABC是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

18.已知a2＝1，b2＝2，（a－b）·a＝0，则a与b的夹角为（）

A．300B．450C．600D．900

19.以原点和点A(3,1)为两个顶点作等腰直角三角形△OAB,∠B=90o,,求点B的坐标.

20.人骑自行车的速度为v

1

,风速为v

2

,则逆风行驶的速度大小为()

A.v

1

-v

2

B.v

1

+v

2

C.|v

1

|-|v

2

|D.1

2

v

v