第二个重要极限

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2.5.1两个重要极限（第一课时）

——新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1.复习该章的重点内容。

2.理解重要极限公式。

3.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入

（1）极限存在性定理：AxfxfAxf

xxxx

xx







)(lim)(lim)(lim

00

0

（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（

0

)(xxxf，则

）（

0

0

)(

1

xx

xf



（3）极限的四则运算：

)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf

)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf

)(lim

)(lim

)(

)(

lim

xg

xf

xg

xf

0limxg

（4）)(lim)(limxfcxcf（加法推论）

（5）

kkxfxf)(lim)(lim（乘法推论）

（6）0lim有界变量无穷小量（无穷小量的性质）

eg:0sin

1

lim

sin

lim

















x

xx

x

xx

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那么，？

x

x

x

sin

lim

0

呢，这是我们本节课要学的重要极限

2、掌握重要极限公式

1

sin

lim

0



x

x

x

公式的特征：（1）

0

0

型极限；

（2）分子是正弦函数；

（3）sin后面的变量与分母的变量相同。

3、典型例题

【例1】求

kx

x

x

sin

lim

0

0k

解：

kx

x

x

sin

lim

0

=

kkx

x

kx

1

1

1sin

lim

1

0





【例2】求

x

x

x

tan

lim

0

解：

x

x

x

tan

lim

0

=111

cos

1

lim

sin

lim

cos

1sin

lim

000















xx

x

xx

x

xxx

（推导公式：1

tan

lim

0



x

x

x

）

【例3】求

x

x

x

5sin

lim

0

解：515

5

5sin

lim5

5

5sin

5lim

5sin

lim

000



x

x

x

x

x

x

xxx

4、强化练习

（1）

x

x

x3

sin

lim

0

（2）

x

kx

x

sin

lim

0

0k（3）

x

x

x3

5sin

lim

0

(4)

x

x

x

2tan

lim

0

解：（1）

x

x

x3

sin

lim

0

=

3

1

1

3

1sin

lim

3

1

0



x

x

x

（2）kk

kx

kx

k

kx

kx

k

x

kx

xxx





1

sin

lim

sin

lim

sin

lim

000

（3）

3

5

1

3

5

5

5sin

lim

3

5

3

5

5

5sin

lim

3

5sin

lim

000

















x

x

x

x

x

x

xxx

（4）

x

x

x

2tan

lim

0

=1112

2cos

1

lim

2

2sin

lim2

2cos

12sin

lim

000















xx

x

xx

x

xxx

四、小结:

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3/63/63/6

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数

的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换

为正弦函数，二是分子sin后面的变量与分母的变量相同。

五、布置作业:

（1）

x

x

x5

sin

lim

0

（2）

x

x

x

3sin

lim

0

（3）

x

x

x2

5sin

lim

0

(4)

x

x

x

3tan

lim

0

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2.5.2两个重要极限（第二课时）

————新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1.理解重要极限公式。

2.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数

运算。

(1)

nn

nbaba

(2)mnmnaaa

(3)m

nnmaa

2、掌握重要极限公式

e

x

x

x





)

1

1(lim

3、典型例题

【例1】x

xx

)

2

1(lim



解：22

2

2

2])

2

1

1(lim[])

2

1

1[(lim)

2

1(lime

xx

x

x

x

x

x

x

x





（构造法）

【例2】x

x

x

1

0

)1(lim



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解：e

z

xz

z

x

z

x

x









)

1

1(lim)1(lim

1

1

0

（换元法）

（推导公式：exx

x





1

0

)1(lim）

【例3】x

xx

)

1

1(lim



解：

e

e

xxx

x

x

x

x

x

x

1

])

1

1(lim[])

1

1[(lim)

1

1(lim111















（构造法）

【例4】x

xx

x

)

1

(lim



解：

e

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

1

lim)

1

1

1

(lim)

1

(lim























（构造法）

4、强化练习

（1）x

xx

)

5

1(lim



（2）x

x

x

2

0

)1(lim



（3）x

xx

)

2

1(lim



(4)x

xx

x

)

1

2

(lim



解：（1）55

5

5

5])

5

1

1(lim[])

5

1

1[(lim)

5

1(lime

xx

x

x

x

x

x

x

x





（2）2

2

2

1

0

2

1

0

2

0

)

1

1(lim)1(lim)1(lim)1(lime

z

xxxz

z

x

x

x

x

x

x















































(3)

2

22

2

2

2

1

])

2

1

1(lim[])

2

1

1[(lim)

2

1(lim

e

e

xx

x

x

x

x

x

x

x





















(4)

e

e

e

e

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























































2

2

2

2

2])

2

1

1(lim[])

2

1

1[(lim

1

1lim

2

1lim

)

1

1

2

1

(lim)

1

2

(lim

四、小结:

本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函

数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从

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而求得极限。

五、布置作业:

（1）x

xx

)

3

1(lim



（2）x

x

x

1

0

)21(lim



（3）x

xx

2)

1

1(lim



(4)x

xx

x

)

1

3

(lim





