卡尔松不等式

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柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分

析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等

式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，

正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地

步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯

西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明

二维形式

在一般形式中，

1212

2,,,,naaabbcbd令，得二维形式

2

2222bdacdcba

等号成立条件：dcbabcad//

扩展：2

22222222

3nnnn

aaaabbbbabababab

等号成立条件：

1122

000

:::

:,1,2,3,,

iiii

nn

ii

abab

ababab

abin













当或时，和都等于，

不考虑

二维形式的证明：







2222

22222222

22222222

22

2

,,,

22

0

=

abcdabcdR

acbdadbc

acabcdbdadabcdbc

acbdadbc

acbd

adbc

adbc











等号在且仅在

即时成立

三角形式

22

2222abcdacbd

adbc



等号成立条件：

三角形式的证明：

2

22

111

nnn

kkkk

kkk

abab













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



2

222222222222

2222

2222

22

22

2222

2

2

2-2

abcdabcdabcd

abcdacbd

aaccbbdd

acbd

abcdacbd















注：表示绝对值

两边开根号，得

向量形式





123123

=,,,,,,,,2

=

nn

aaaabbbbnNn

R









，

等号成立条件：为零向量，或

向量形式的证明：



123123

112233

22222222

123123

22222222

3

=,,,,,,,,,

cos,

cos,

cos,1

nn

nn

nn

nnnn

maaaanbbbb

mnababababmnmn

aaaabbbbmn

mn

ababababaaaabbbb











令

一般形式

2

11

2

1

2















n

k

kk

n

k

k

n

k

k

baba

1122

:::

nnii

abababab等号成立条件：，或、均为零。

一般形式的证明：

2

11

2

1

2















n

k

kk

n

k

k

n

k

k

baba

证明：





22222

2

=/2

=

/2

ijji

iijjjjii

ababn

abababab

n







不等式左边共项

不等式右边

共项

用均值不等式容易证明，

不等式左边不等式右边，得证。

推广形式(卡尔松不等式)：

卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素

之积的几何平均之和。

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

1

1111

123

1111

,

m

nnmmmn

mmmm

mmmm

iiiin

iiii

xxxxxxxxx

xxxx

mnN



















其中，

或者：

1

1

11

11

,

m

mm

nn

m

ijij

ji

ji

ij

xx

mnNxR



































其中，，

或者





1122

11

11

nn

n

nn

n

xyxyxy

xy

xxy













注：表示，，，x的乘积，其余同理

推广形式的证明：

推广形式证法一：

111222

1

12

1

1212

1212

1

12

1

1212

1212

1

12

,,

+

nnn

n

n

n

nn

nn

n

n

n

nn

nn

n

n

AxyAxyAxy

x

xx

x

AAAxxx

nAAAAAA

y

yy

y

AAAyyy

nAAAAAA

n

x

AAA























































记

由平均不等式得

同理可得

上述个不等式叠加，得

1









1

12

11

11

1

12

1122

11

+

n

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

nn

y

AAA

xy

AAAxy

xyxyxy

xy





































即

即

，证毕

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4/11

或者

推广形式证法二：

事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，

这个不等式并不难，可以简单证明如下：

11

1

1

11

22

1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

m

m

jj

nn

m

j

j

ji

ii

m

m

jj

nn

m

j

j

ji

ii

m

m

jnjn

nn

m

j

j

jiji

ii

m

m

n

jk

n

k

j

ji

i

m

jk

j

m

n

ji

i

j

xx

m

xxji

xx

m

xxji

xx

m

xx

x

x

x

x



































































































由均值不等式

同理有

以上各式相加得

上式也即

1

1

1

11

11

1,

1

m

n

k

mm

nn

m

jkji

ki

jj

xx

m











































该式整理，得：

得卡尔松不等式，证毕

付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法：

2

2211nn

bababa2

22

2

2

1

2

22

2

2

1nn

bbbaaaniRba

ii

2,1,

等号当且仅当

0

21



n

aaa或

ii

kab时成立（k为常数，ni2,1）现将它的证

明介绍如下：

证明1：构造二次函数22

22

2

11

)(

nn

bxabxabxaxf

=22222

12112212

2nn

nnnn

aaaxabababxbbb

22

12

0n

n

aaa

0fx恒成立

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2

2222

11221212

440nn

nnnn

abababaaabbb

即2

2222

11221212

nn

nnnn

abababaaabbb

当且仅当01,2

ii

axbxin即12

12

n

n

a

aa

bbb

时等号成立

证明（2）数学归纳法

（1）当1n时左式=2

11

ab右式=2

11

ab

显然左式=右式

当2n时，右式

22

22222222

2

aabbabababab

222

2

2ababaabbabab右式

仅当即

2112

abab即12

12

aa

bb

时等号成立

故1,2n时不等式成立

（2）假设nk,2kk时，不等式成立

即2

2222

11221212

kk

kkkk

abababaaabbb

当

ii

kab，k为常数，1,2in或

12

0

k

aaa时等号成立

设222

12k

aaa222

12k

bbb

1122kk

Cababab

则22222

11111kkkkk

abbab





2

222

111111

2

kkkkkk

CCababCab





22222222

121121kkkk

aaaabbbb





2

112211kkkk

abababab





当

ii

kab，k为常数，1,2in或

12

0

k

aaa时等号成立

即1nk时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

二、柯西不等式的应用

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1、巧拆常数证不等式

例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：

2222

abbcacabc





.abc、、均为正数





111

29

2=

abc

abbcac

abcabbcac















为证结论正确，只需证:

而

为证结论正确，只需证：

又29(111)只需证:





2

111

2

111

1119

abc

abbcac

abbcac

abbcac



























又abc、、互不相等，所以不能取等

原不等式成立，证毕。

2、求某些特殊函数最值

例2：

3549yxx求函数的最大值。

函数的定义域为[5，9],0y



3549

32422529

5*210

45=396.44

yxx

xx

xxx







函数仅在，即时取到

3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

已知点

00

,xy及直线:l0xyC220

设点p是直线l上的任意一点，则

0xxC（1）

22

120101

ppxxyy（2）

点

12

pp两点间的距离

12

pp就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有

22

22

01010101

xxyyxxyy



0011

xyCxyC

由（1）（2）得：

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22

1200

ppxyC即

00

12

22

xyC

pp







（3）

当且仅当

0101

:yyxx







12

ppl（3）式取等号即点到直线的距离公式

即

00

12

22

xyC

pp







4、证明不等式

例3已知正数,,abc满足1abc证明

222

333

3

abc

abc





证明：利用柯西不等式

2

313131

2

222

222222abcaabbcc









222

333

222abcabc

















2

333abcabc1abc

又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc

得：2223abcabc

2

2223332223abcabcabc•

故

222

333

3

abc

abc





5、解三角形的相关问题

例4设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的

半径，证明222

1

2

xyzabc

R



证明：由柯西不等式得，

111

xyzaxbycz

abc



111

axbycz

abc



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8/11

记S为ABC的面积，则

22

42

abcabc

axbyczS

RR



1

2

2

abcabbcca

xyzabbcca

Rabc

R



222

1

2

abc

R



故不等式成立。

6、求最值

例5已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求

a

的最值

解：由柯西不等式得，有

2

222

111

236

236

bcdbcd









即2

222236bcdbcd

由条件可得，2

253aa

解得，12a当且仅当

236

121316

bcd

时等号成立，

代入

11

1,,

36

bcd时，

max

2a

21

1,,

33

bcd时

min

1a

7、利用柯西不等式解方程

例6在实数集内解方程

222

9

4

862439

xyz

xyy















解：由柯西不等式，得

222

222286248624xyzxyy







①

22

22228624xyz







2

9

6436414439

4



又2

2862439xyy

222

222286248624xyzxyz







即不等式①中只有等号成立

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

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8624

xyz





它与862439xyy联立，可得

6

13

x

9

26

y

18

13

z

8、用柯西不等式解释样本线性相关系数

在线性回归中，有样本相关系数





1

2

2

11

()

()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

xxyy













r=，并指出1r且r越接近

于1，相关程度越大，r越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性

相关系数。

现记

ii

axx，

ii

byy，则，

1

22

11

n

ii

i

nn

ii

ii

ab

ab









r=，由柯西不等式有，1r

当1r时，2

22

111

nnn

iiii

iii

abab





此时，



i

i

ii

yy

b

k

xxa







，k为常数。点,

ii

xyni2,1均在直线

yykxx上，r

当1r时，2

22

111

nnn

iiii

iii

abab





即2

22

111

0

nnn

iiii

iii

abab





而2

2

22

1111

nnn

iiiiijji

iiiijn

abababab





2

1

0

ijji

ijn

abab



0

ijji

abab

,i

i

b

kk

a

为常数。

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此时，此时，



i

i

ii

yy

b

k

xxa







，k为常数

点,

ii

xy均在直线yykxx附近，所以r越接近于1，相关程度越大

当0r时，,

ii

ab不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点,

ii

xy都

在直线yykxx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。

9、关于不等式22222)())((bdacdcba的几何背景

几何背景：如图，在三角形OPQ中，QOPdcQbaP),,(),,(，

则,,2222dcOQbaOPQ（c，d）

.)()(22dbcaPQOP（a，b）

将以上三式代入余弦定理cos2222OQOPOQOPPQ，并化简，可得

2222

cos

dcba

bdac





或.

))((

)(

cos

2222

2

2

dcba

bdac







因为1cos02，所以，1

))((

)(

2222

2







dcba

bdac

，

于是

22222)())((bdacdcba.

柯西不等式的相关内容简介

（1）赫尔德(Holder)不等式

)1

11

()()(

2211

1

21

1

21



qp

babababbbaaa

nn

q

q

n

qq

p

p

n

pp

当2qp时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在

分析学中有着较为广泛的应用。

（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）

22

22

2

11

22

2

2

1

22

2

2

1

)()()(

nnnn

babababbbaaa

可以借助其二维形式2

22

2

11

2

2

2

1

2

2

2

1

)()(bababbaa来理解，根据

三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式

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p

p

nn

pp

p

p

n

pp

p

p

n

ppbabababbbaaa

1

2211

1

21

1

21

])()()[()()(

称为闵可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体

定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(

2121nn

yyyyxxxx，

定义其距离为

p

n

i

p

ii

yxyx

1

)(),(.

闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的

理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。