互感系数

第３１卷第１期

２ ０ ０ ２年３月

上海师范大学学报｛自然科学版）

ｊｏｕｒｎａｔ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｔｅ￣ｈｅｒｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，￣）

Ｖｄ．３１．Ｎｏ．１

Ｍａｒ ２ ０ ０ ２

自感与互感的定义及耦合系数的讨论

朱顺泉，郑仁蓉

（上海师范大学数理信息学院．上海２００２３４

摘要：提出了一种自感系数和互感系数的定义方法．有利于理解它们的静态定义与动

态定义的区别与联系．同时对线圈串接时的常见错误进行了讨论．

关键词：自感：互感：耦合系数

中图分类号：０４４１ 文献标识码：Ｃ 文章编号：１０００ ５１３７（２００２）０ｌ一０ｏ８７＿（＿４

０引 言

自感与互感是电磁感应现象的重要实例．在电路中有广泛的应用．其中涉及的一些知识是很成

熟的－但仍有一些模糊观点．散见于一些教材和文章，其实有些错误不来自复杂难懂的数学

，而是对

最基本的定义和概念理解不深．本文用这种方法讨论两个最常见的问题

１ 自感与互感的定义

一般普物教材…是这么定义自感系数的：由于磁感应强度与激发它的电流强度成正比

，因此通

过线圈的磁通量正比于电流强度

雪＝，Ｊ１

对非铁磁物质来说．Ｌ与线圈中的电流强度无关当穿过回路自身的电流强度随时问变化时

一个常数，求自感电动势时．可得：

ｅ＝ ｄｔ＝一 ｄｔ＝一， ． ＿。ｄ

ｆ

定义自感系数

ｒ１ｊ

Ｌ是

ｒ２ｊ

，｜＝一三

ｄ１． ｆ３ｊ

由推导过程看，此式似不适于线圈中有铁磁物质的情况．而有另一些教材和参考书 在解释上式时

特别强调：这是自感系数的动态定义 它不论回路是不是密绕，也不论回路周围有没有铁磁质都能

应用，但没有说明原因．且也未见有关教材论述这一问题．（３）式适用条件表面上不一致的症结何

在？本文用一特例说明这一个问题．

收稿日期２００１—１０—０８

基金顷目普通物理课程建设（Ｋｇ００１２３）

作者简介’朱顺泉（１９４４一），男，上海师范大学数理信息学院教授

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上海师范大学学报【自然科学版 ２００２年

对形状特殊的长直螺旋管．其磁通量为：

＝ｔｔｎｌＳ． ｒ４ｊ

式中磁导率 ．对非铁磁质来说是一个不随电流强度而变的常数所以磁通量是电流强度的线性函

数：而对铁磁质来说， 是电流强度的复杂函数所以磁通量通常是电流强度的非线性函数，总之，

不管哪种情况．磁通量总是关于电流强度的函数，利用法拉弟电流感应定律可得

ｅ＝

ｄｔ一一 ｄ

掣ｄｔ． ㈣

』

定义：

Ｌ一箬． ㈣

由（５）．（６）两式亦可得（３）式．但此时Ｉ 确是电流强度有关的物理量，可以认为（３）式是自感系数的

广义定义．基于这个广义定义，（３）式当然也适用于含有铁磁质的情况．此外当无铁磁质时． 与

是线性关系（６）可化为：

Ｌ一 ． ｒ７ｊ

这就是式（１）．它是自愿系数的静态定义且与常见的晋物教材提齿一致．

这种定义自感系数的方法也可用来定义互感系数若有两个相邻的回路１

流强度为 。．它在第一各回路引起的磁通量为．其互感电动势为：

一一 一一孥·訾．

定义

Ｍ一 ．

根据互感的性质，亦可写成：

Ｍ一 ｄｑ ￣ｚｌ

２设第２个电路的电

互感系数的动态定义为：

Ｍ一最一最一

上式对回路中有无铁磁质均适用 若回路中无铁磁质．互感磁通与电流成线性关系

成：

ｒ８ｊ

ｒ９ｊ

ｆ１０ｊ

ｎ１ｊ

（９）．（１０）可化

Ｍ一警＝鲁． ｊ

这就是通常所说的互感系数的静态定义

在一般普物教材中．特别强调回路中若无铁磁质．则Ｌ．Ｍ是不随电流强度而变化的常数．在这

个基础上定义了感抗．井导出了一系列极为重要的应用公式．但在日常生活中所碰到的回路中又往

往有铁磁质．这些公式能否适用是我们必须正视的问题．

铁磁材料有软磁、硬磁、矩磁、压磁之分，但在电工试验中．最常用的为软磁材料．有的教材 指

出．软磁材料磁滞现象不明显．可用起始磁化曲线代替磁滞回线．而起始磁化曲线在一定范围内又

接近于直线．于是可作如图１所示的一系列简化．这种简化使软磁介质的回路中自感系数，Ｊ、互感系

数Ｍ也可近似认为是不随电流强度而变的常数 于是把Ｌ Ｍ当常数而导出的某些重要公式也能

适用与一些常见电气回路了．

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第ｌ期 朱顺泉，郫仁蓉：自感与互感的定义及耦合系数舶讨论

忽略磁精

ｌ匕

忽略非线性

Ｉ匕

图ｌ软磁材料Ｂ－Ｈ曲线的简化

２两长直螺线管串接时耦合情况的分析

｛

｝

两长直螺线管串联顺接（以下简称串接）后等效自感系数的计算有不少文章或教材进行了讨

论，由于论证方法上的原困．有的结论不妥，有的接受起来比较困难．若用无漏磁的定义讨论这个问

题，则相当简单明了．两线圈无漏磁的定义如下：当两个线圈中的每一个线圈所产生的磁通量对于

每一匝来说都相等并且全部穿过另一个线圈的每一匝，这种情况叫做无漏磁一 ．现在利用这个概念

讨论以下几个问题：

（１）螺线管中磁感应强度．但端口附近的小于此值，有的文章０ 称这种现象谓漏磁．言下之意．

在非端口处处处相等．则无漏磁．根据以上定义．一个线圈各匝之问有无漏磁．不但是每匝线圈产生

的磁通对其他各匝均相等并且还要全部通过其他各匝线圈．就最简单的情况而论．某匝线圈所产

生的在轴线分布也是不均匀的，其函数表达式为：

，， ２， ｘｊ 专 ’

式中Ｒ为线圈半径，ｘ为轴上各点的位置．显示，当各匝线圈沿轴线排列时，某匝线圈在邻近各匝处

产生磁通随ｘ增大而减少．所以是有漏磁的．螺线管内各处Ｂ的值是全部线圈产生Ｂ的迭加，只不

过迭加后非端口附近处处相等．接近端口处逐步减弱．此倒说明，各匝磁通相等，未必无漏磁

（２）有观点认为： ．两长直全同直螺线管串接后．其等值自感为单个自感的４倍．其推导过程如

：

顺接时：Ｌｎ—Ｌ１＋Ｌ２＋２Ｍ．

＿＿＿＿＿＿＿＿＿—— 互感系数为 ＝Ｋ√Ｌ Ｌ ．

无漏磁 ｋ一１．

＿＿＿＿＿＿＿＿＿—— 则Ｌ—Ｌ ＋Ｌ２＋√Ｌ１Ｌ：一４， ．

推导中，关键错误就是ｋ—ｌ，用无漏磁定义，ｋ为多少．一目了然．若忽略端口效应 第一个通电

螺线管在其内部产生的磁强度为Ｂ 一 』，若ｋ＝】，则在与它顺接的第二个线圈产生的磁感应强

度亦为Ｂ。一 』．同理对第二个线圈也可这样分析．于是串接后每个螺线管中的总磁感应强度应为

２ 』，再加上串接后总匝数翻倍，由磁通及自感定义，马上可得总自感系数应为串接前单个线圈自

感的４倍．但实际顺接后．更长螺线管中的每一处ｒ端口除外Ｊ．当然也包括原先单独存在的哪二个

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上海师范大学学报（自然科学版） ２００２年

螺线管而现在都作为整体中一部分的螺线管内的磁感应强度仍为 Ⅳ，。．即串接对每一个螺线管磁

通无影响．翻译为数学语言即为 一０．但由于串接后总匝数翻番，总自感为原单个螺线管的两倍．

用以下公式也可论证此结果

Ｌ — ｌ Ｖ —ｆｌｒｌ ｆ １十Ｖ２ Ｊ＝ ２Ｖ１—２， 】．

（３）有观点一 认为：把顺接螺线管的耦台系数看作０是忽略端头效应（原文称漏磁）时所得出的．

应对不同参数条件进行具体讨论，并得出结论线圈越细越长 相对误差越小．越短越粗．相对误差

越大 所以粗而短的螺线管串接时要讨论耦合系数的大小．这种观点无疑是对的．但对粗而短的螺

线管．其本身的自感系数已无法用精确的数学公式表达 当然其耦合系数也难以用解析式表示，于

是串接值不用理论计算而用实测值了．粗短细长是相对的．我们还是用相对误差讨论这个问题．设

为理想模型自感．△ 为线圈每一端因Ｂ减少而引起的自感减少．其实际自感为．

Ｉ 一Ｉ 一２△ｉ ．

用理论模型代替后 产生的相对误差为

＝

．

当说到这个长螺线管的自感值为 时，我们就默认上述误差是允许的，当两长螺线管顺接后，由于

耦合作用，接口处２ 的误差消除了．此时总自感的相对误差为。

一 一甓一詈．

由此可见．串接后．用理想模型代替实物后的相对误差为接前的一半．无论接后相对误差，或者接后

相对误差的改变都在默认范围内结论是：两长直螺线管顺接后．虽然相互间有耦台．但可以忽略不

计．甚至可以说耦合系数为０．反而更简洁明了

参考文献

［１］ 程守洙江之承普通物理学 Ｍ］．北京：高等教育出版挂 １９８２

Ｅ２］ 华东师大普通物理教研组．普通物理思考题解［Ｍ］．上海上海科学技术文献出版杜

［３］ 粱蛐彬等电磁学［Ｍ］．北京高等教育出版挂．１９８０

［４］赵凯华，陈熙谋电磁学（上册）［Ｍ］北京：人民教育出版社．１９７８．

Ｉｓ］棘志和耦合系数到底是多 ［Ｊ］．物理通报．２０００（１２）

Ａ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｅｌ ｆ Ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ａｎｄ

Ｍｕｔｕａｌ Ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｕｐｌ ｉｎｇ

ＺＨＵ Ｓｈｕｎ—ｑｕａｎ ＺＨＥＮＧ Ｒｅｎ ｒｏｎｇ

（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｔｅａｃｈｅｍ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２３４ Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｅｗ ｓｅｌｆ ａｎｄ ｍｕｔｕａｌ ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｂｅｎｅｆｉｔ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｉｒ ｓｔａｔｉｃ

ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ ｃａｌｌｓｔ￣ｓ ｏｆ ｓｏｎｉｃ ｕｓｕａｌ ｎｆｉｓｔａｋｅｓ ｐｅｒｔａｉｎｅｄ ｔｏ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｌｆ ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ，ｍｕｔｕａｌ ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

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