4n

专业班级学号姓名成绩时间

156

第十一章无穷级数

§11.1常数项级数的概念与性质

一、判断题

1．

1n

n

u收敛，则3)3(lim2



nn

n

uu（）

2．若0lim



n

n

u，

1n

n

u发散。（）

3.

1n

n

u收敛,则





1

)10(

n

n

u收敛。（）

4．

1n

n

u发散，

1n

n

v发散，则)(

1

n

n

n

vu



也发散。（）

5．若

1n

n

u收敛，则





1

2

n

n

u也收敛。（）

二、填空题

1．







1

)2(642

)12(531

n

n

n

该级数的前三项是。

2．级数



5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

的一般项是。

3．级数















8642642422

2xxxxx

的一般项为。

4．级数

)

2

1

)1(

1

(

1

n

n

nn









的和为。

三、选择题

1．下列级数中收敛的是（）

（A）







1

8

84

n

n

nn（B）







1

8

48

n

n

nn（C）







1

8

42

n

n

nn（D）





1

8

42

n

n

nn

2．下列级数中不收敛的是（）

（A）

)

1

1(ln

1

n

n





（B）

1

3

1

n

n

（C）







1

)2(

1

n

nn

（D）







1

4

)1(3

n

n

nn

3．如果

1n

n

u收敛，则下列级数中（）收敛。

（A）





1

)001.0(

n

n

u

（B）





1

1000

n

n

u

（C）



1

2

n

n

u(D)



1

1000

n

n

u

4．设

1n

n

u=2，则下列级数中和不是1的为（）

专业班级学号姓名成绩时间

157

（A）







1

)1(

1

n

nn

（B）

1

2

1

n

n

（C）



2

2

n

n

u(D)

1

2

n

n

u

四、求下列级数的和

1．





1

5

23

n

n

nn

2.





1

)12)(12(

1

n

nn

3.)122(

1

nnn

n





4.)1()12(

1

1



qqn

n

n

五、判断下列级数的收敛性。

1．

n3

1

9

1

6

1

3

1

2.

n3

1

3

1

3

1

3

1

3

3.

nn5

1

2

1

30

1

2

1

20

1

2

1

10

1

2

1

32



六、已知

1n

n

u收敛，且0

n

u，)2,1(

12





nuv

nn

求证：

1n

n

v也收敛。

专业班级学号姓名成绩时间

158

§11.2常数项级数的审敛法（1）

一、判断题

1．若正项级数

1n

n

u收敛，则

1

2

n

n

u也收敛。（）

2．若正项级数

1n

n

u发散，则11lim



r

u

u

n

n

n

。（）

二、填空题

1．

1

1

n

pn

，当p满足条件时收敛。

2．若

1n

n

u为正项级数，且其部分和数列为

n

s，则

1n

n

u收敛的充要条件是。

三、选择题

1．下列级数中收敛的是

（A）

1

1

n

nnn

（B）







1

)2(

1

n

nn

n

（C）





1

2

3

n

n

n

n

（D）





1

)3)(1(

4

n

nn

2.

1n

n

u为正项级数，下列命题中错误的是

（A）如果

11lim





n

n

n

u

u

，则

1n

n

u

收敛。(B)如果

11lim





n

n

n

u

u

，则



1n

n

u

发散。

(C)如果11

n

n

u

u

，则

1n

n

u收敛。(D)如果11

n

n

u

u

，则

1n

n

u发散。

2．判断





1

1

1

1

n

nn

的收敛性，下列说法正确的是（）

（A）

.0

1

1

n



此级数收敛。（B）







.0

1

1

1

lim

n

nn



此级数收敛。

（C）





.

11

1

1n

nn



级数发散。（D）以上说法均不对。

四、用比较判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。

1．





1

12

1

n

n

2.





1

3

2

)1(

3

cos

n

n

n

n



专业班级学号姓名成绩时间

159

3．





1

)3)(1(

1

n

nn

4.

1

2

arctan

n

n

5．)

1

cos1(

1







n

n

6.)sin(

1







n

nn



五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。

1．

1

10

!

n

n

n

2.

1

7!

)!2(

n

nn

n

3.

1

2

2

n

n

n

a

（

a

为常数）4.

1

2)!(

n

n

n

n

六、用根值判断法判断下列级数的收敛性。

1.n

n

n

n

)

14

13

(

1









2.







1

12)

13

(

n

n

n

n

专业班级学号姓名成绩时间

160

3．

1

)(

n

n

n

a

b

，其中0,,),(abanaa

nn

。

七、判断

1

!

n

n

n

b

ne

的收敛性。

八、设

,0,

nn

ba且3,2,1,11n

b

b

a

a

n

n

n

n

1．若

1n

n

b收敛，则

1n

n

a收敛。2.若

1n

n

a发散，则

1n

n

b发散。

九、若

02lim



Aan

n

n

，问

1n

n

a是否收敛？

十、偶函数f(x)的二阶导数)(xf



在x=0的某个区域内连续，且2)0(,1)0(



ff。求证：







1

]1)

1

([

n

n

f收敛。

专业班级学号姓名成绩时间

161

§11.2常数项级数的审敛法（2）

一、判断题

1．若

1

2

n

n

u，

1

2

n

n

v都收敛，则

n

n

n

vu

1

绝对收敛。（）

2．级数





1

1

10

)1(

n

n

n

n

条件收敛的。（）

二、填空题

1．





1

1)1(

n

n

n

的和为。

2．级数)3,2,1,0()1(

1

1



nuu

n

nn

n若满足条件则此级数收敛。

三、选择题

1．下列级数中条件收敛的是（）

（A）

nn

n

1

)1(

1

1



（B）

2

1

1

)1(

n

n

n



（C）

1

)1(

1







n

n

n

n（D）

)1(

1

)1(

1







nn

n

n

2．下列级数中绝对收敛的是（）

（A）

n

n

n

1

)1(

1





（B）





2

1

ln

)1(

n

n

n

（C）





1

1)1(

n

n

nn

（D）





2

1

ln

)1(

n

n

nn

四、用适当的方法判定下列级数的收敛性。

1．





1

)(cos1(

n

n





为常数）2.





1

1

n

n

n

3．

1

4

!

n

n

n

4.







1

)13(852

)12(531

n

n

n





专业班级学号姓名成绩时间

162

5．





1

0

4

41

1

n

ndxx

6.)0()

1

(

1









a

n

an

n

n

五、判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？

1．







1

1

1

3

)1(

n

n

n

n

2.









1

1

)1ln(

1

)1(

n

n

n

3．







1

1

1

sin

n

n

n





4.]

11

)1[(

1

n

nn

n



六、已知级数

1

2

n

n

u收敛。证明：

1n

n

n

u

必绝对收敛。

专业班级学号姓名成绩时间

163

§11.3幂级数

一、判断题

1．若幂级数n

n

n

x

a)

2

3

(

1





在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（）

2．已知n

n

n

xa

1

的收敛半径为R，则n

n

n

xa2

1





的收敛半径为R。（）

3．n

n

n

xa

1

的收敛半径为R，在（-R，R）内的和为S(x)，则在（-R，R）内任一点S(x)有

任意一阶导数存在。（）

4．n

n

n

xa

1

和n

n

n

xb

1

的收敛半径分别为

ba

RR,，则n

n

nn

xba





1

)(的收敛半径

R=),min(

ba

RR。（）

5．若

2

1

lim





n

n

n

c

c，则幂级数n

n

n

xc2

1





的收敛半径为2。（）

二、填空题

1．幂级数n

n

n

x

n



1

2

的收敛区间为。

2．幂级数n

n

x

n

)

3

2

(

1

1





的收敛区间为。

3．







1

12

12

n

n

n

x

的收敛区间为，和函数S(x)为。

4．n

n

n

xa

1

在x=-3时收敛，则n

n

n

xa

1

在3x时。

三、选择题

1．若幂级数n

n

n

xa

1

在

0

xx处收敛，则该级数的收敛半径R满足（）

（A）

0

xR（B）

0

xR（C）

0

xR（D）

0

xR

2．级数





1

)5(

n

n

n

x

的收敛区间（）

（A）（4，6）（B）6,4（C）6,4（D）[4，6]

3．若级数







1

12

)2(

n

n

n

ax

的收敛域为4,3，则常

a

=（）

（A）3（B）4（C）5（D）以上都不对。

4．级数n

n

x

x

n

)

1

(

1

1





的和函数为（）

专业班级学号姓名成绩时间

164

（A）xx)1ln(（B）)2ln(x（C）xln（D）以上都不对。

四、确定下列幂级数的收敛区间。

1．n

n

xn

1

32.





1

)2(642

n

n

n

x

3.

n

n

n

n

n

x

2

)1(

12

1











4.n

n

x

n

n

)2(

1

1

1

2









五、求下列幂级数的和函数。

1．)1(1

1







xxnn

n

2.)1(

14

1

14











x

n

x

n

n

3．1

1

12

)1(









n

n

n

x

nn

并求







1

12

)1(

n

n

nn

专业班级学号姓名成绩时间

165

§11.4函数展开成幂级数

一、判断题

1．若对某一函数使不)0()(mf，则f(x)就不能展开成x的幂级数。（）

2．式n

n

n

x

x









0

)1(

1

1

只有在（-1，1）内成立，所以由逐项积分原则，等式

)1ln(x









0

1

1

)1(

n

nn

n

x

也能在（-1，1）内成立。（）

3．函数f(x)在x=0处的泰勒级数









n

n

x

n

f

x

f

x

f

f

!

)0(

!2

)0(

!1

)0(

)0(

)(

2必收敛于f(x)。（）

二、填空题

1．)2ln()(xxf关于x的幂级数展开式为，其收敛域是。

2．

23

1

)(

2



xx

xf展开成x+4的幂级数为，收敛域为。

三、选择题

1．函数2)(xexf展开成x的幂级数为（）

（A）

0

2

!

n

n

n

x

（B）





0

2

!

)1(

n

nn

n

x

（C）

0

!

n

n

n

x

（D）





0

!

)1(

n

nn

n

x

2．)0()(nf存在是f(x)可展开成x的幂级数的（）

（A）充要条件（B）充分但非必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不是充分条件也非必要条件

3．),()(在xf内展开成x的幂级数，则下列条件中只有（）是必要的。

（A）

)2,1)(0()(nfn存在。（B）

)2,1)(0()(nfn处处存在。

（C）0)(lim)(



xfn

n

(D)以上都不对

4．

2

4

1x

x



展开成x的幂级数是（）

（A）n

n

x2

1





（B）n

n

nx2

1

)1(



（C）n

n

x2

2





（D）n

n

nx2

2

)1(





四、将下列函数展成x的幂级数。

专业班级学号姓名成绩时间

166

1．

2

xxee

shx



2.)1ln()1(xx

3．

21x

x



4.21lnarctanxxx

五、将下列函数展成x-1的幂级数，并指出展开式成立的区间。

1．

x

1

)2(

六、将xxfcos)(展成

3



x的幂级数

专业班级学号姓名成绩时间

167

§11.6函数的幂级数展开式的应用

一、填空题

1．利用xarctan的麦克劳林展开式计算dx

x

x

I1

0

arctan

时要使误差不超过0.001，则计算

I的近似值时，应取级数的前项和作为近似值。

2．据欧拉公式有ie。

二、利用函数的幂级数展式求近似值（精确到0.00001）

1．2.1ln2.

e

1

三、求8.0

0

10sinxdxx的近似值（精确到0.00001）

四、求

4

1

0

2

2

dxe

x

的级数表达式，取其前三项计算其近似值，并估计误差。

专业班级学号姓名成绩时间

168

§11.8傅立叶级数

一、判断题

1．2)(是以xf为周期的函数，并满足狄利克雷条件，)2,1(),2,1,0(nbna

nn

是)(xf的傅立叶级数，则必有)sincos(

2

)(

1

0nxbnxa

a

xf

n

n

n





（）

2．2)(以xf为周期，][sin)(,cos)(，在nxxfnxxf上可积，那么f(x)的傅立叶级数，

h

n

n

nxdxxfa





2cos)(

1

，h

n

n

nxdxxfb





2sin)(

1

，其中h为任意实数。（）

3．f(x)的傅立叶级数，每次只能单独求

0

a，但不能求出

n

a后，令n=0而得

0

a。（）

4如果f(x)的傅立叶级数][)sincos(

2

1

0，在



nxbnxa

a

n

n

n

上收敛，则0lim

n





n

a。

（）

二、填空题

1．)(xf满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x=0处左连续，且

)(lim,2)0(,1)0(

0

xfSf

x

则=。

2．设





























x

x

x

x

x

xf

0,1

0,

)(

展成以2为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S（-3）

=，S（12）=，S)(k=，k为整数。

3.2)(是以xf为周期的函数，已知其傅立叶级数为

nn

ba,，若)(),()(xgxfxg则的傅

立叶系数

**,

nn

ba与

nn

ba,的关系式*

n

a=。*

n

b=。

三、选择题

1．)(xf是以周期为2的周期函数，它在],[的表达式为

















x

xx

xf

0,0

0,

)(

，)(xf的

傅立叶级数的和函数为S（x），则)(S=（）

（A）

2



（B）

（C）0（D）其它值

2．)(sin)(xxxf的傅立叶系数

nn

ba,满足（）

专业班级学号姓名成绩时间

169

（A）

)2,1(0),2,1,0(0nbna

nn

（B）

)2,1,0(0),2,1(0

12





kanb

kn

（C）

)2,1(0),2,1,0(0nbna

nn

（D）以上结论都不对。

3利用2)(xxf在],[上的傅立叶展开式可求得

1

2

1

n

n

=（）

（A）

3

2

（B）

6

2

（C）

9

2

（D）

12

2

四、下列函数)(xf满足以2为周期的函数，试将)(xf展开成傅立叶级数（并画出傅立叶

级数和函数S(x)的图形）

1．)()(22xxxf

2．ba

xax

xbx

xf,(

0,

0,

)(

















为常数，且)0ba。

五、将下列函数在所给区间上展成以2为周期的傅立叶级数。

1．)(sin)(xxxf

2．

















x

xe

xf

x

0,1

0,

)(。

§11.9正弦级数与余弦级数

专业班级学号姓名成绩时间

170

一、判断题

1．,0)(在xf上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且在,0上收敛

于f(x)。（）

2．定义在],[上的任意函数)(xf，只要符合狄利克雷的条件，就既可展成正弦级数，

也可展成余弦级数。（）

二、填空题

1．)0(

2

)(







x

x

xf展成正弦级数为。

2．)()(xxxf展成余弦级数为。

三、选择题

1．求,0)(在xf上的正弦级数，实际上就是求（）中,)(在xf上的傅立叶

级数。

（A）













0),(

0),(

)(

xxf

xxf

xF





（B）













0),(

0),(

)(

xxf

xxf

xF





（C）













0),(

0),(

)(

xxf

xxf

xF





（D）













0,0

0),(2

)(

x

xxf

xF





2.设













0,2

0,

)(

xx

xx

xF





展成傅立叶级数,)sincos(

2

1

0xnbxna

a

n

nn







则系数

n

a满足（）

（A）

)2,1,0(0na

n

（B）)2,1(0,2

0

naa

n



（C）)2,1(0na

n

（D）)2,1(0,0

0

naa

n

四、将

2

cos)(

x

xf)0(x展开成以2为周期的傅立叶级数。

专业班级学号姓名成绩时间

171

五、将





































x

xx

x

2

,

2

22

,

2

,

2

展成以2为周期的傅立叶级数。

六、设)(xf是以2为周期的奇函数，且)()(xfxf，证明：)(xf的傅立叶级数满

足

)2,1(,0,0,0

20

nbaa

nn

。

专业班级学号姓名成绩时间

172

§11.10周期为2的周期函数的傅立叶系数

一、判断题

1．周期为2的周期函数f(x)满足收敛的条件，则f(x)=)sincos(

2

1

0xnbxna

a

n

nn







其中

1

1

)2,1,0(cos)(nxdxnxfa

n

，

1

1

sin)(xdxnxfb

n

（）

2．],[)(baxf定义在上并满足收敛条件，则它有周期b-a的傅立叶级数展开式：

)sincos(

2

1

0xnbxna

a

n

nn





（）

二、将)11()(2xxxf展开成以2为周期的傅立叶级数，并由该级数求下列数项级

数的和。

1．

1

2

1

n

n

2.





1

2

1

1

)1(

n

n

n

三、将f(x)=x在[0，3]上展开成以6为周期的正弦级数。

专业班级学号姓名成绩时间

173

第十一章自测题

一、判断题

1．若

1n

n

u收敛，则0lim



n

n

u。（）

2．若

1n

n

u收敛，

1n

n

v发散，则)(

1







n

nn

vu发散。（）

3．级数加括号后不改变其敛散性。（）

4．级数收敛的充要条件是前n项和的构成的数列

n

s有界。（）

5．若正向级数

1n

n

u收敛，则级数







1

1

n

nn

uu也收敛。（）

6.若0,

nn

vu，且)0(lim



ll

v

u

n

n

n

则

1n

n

u和

1n

n

v有相同的收敛性。（）

二、选择题

1．当)(

1







n

nn

ba收敛时，

1n

n

a与

1n

n

b（）

（A）必同时收敛。（B）必同时发散（C）可能不同时收敛(D）不可能同时收敛

2．级数

1

2

n

n

a收敛是级数

1

4

n

n

a收敛的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（B）充要条件（D）既非充分也非必要条件

3．

1n

n

a为任意项级数，若

n

a

1n

a且0lim



n

n

a，则该级数（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定

4．关于





0

2)!(

n

n

n

x

y，则yyx







=（）

（A）y（B）2y



（C）y



（D）0

三、填空题

1．幂级数





0

)10(

n

p

n

p

n

x

的收敛区间为。

2．级数





0

1

1

n

na

当a满足条件时收敛。

专业班级学号姓名成绩时间

174

3．幂级数









0

13

8

)1(

n

n

nn

n

x

的收敛半径为。

4．若)41()1(

3

1





xxa

x

n

n

则

n

a=。

5．dttx0

2cos的麦克劳林级数为。

四、判断下列级数的敛散性。

1．





1

)1(

3

n

n

n

n

n

n

)1(

1

1

0

2





3．．





1

2!

12

n

nn

n

4.





1

1

sin

)2ln(

1

n

nn

五、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。

1．)1()1(

1







n

nnn2.．









1

1

1

ln)1(

n

n

n

n

六、求下列幂级数的收敛区间。

1．12

1

1

)!12)(12(

)1(













n

n

n

x

nn

2.12

1

4

)1(













n

n

n

n

x

n

七、将下列函数展成在指定点的幂级数，并求出其收敛区间。

1．0(sin)(2xxxf处）在(ln)(=1处）

八．求级数

)1(

1

2

1

2







xx

n

n

n

n

在收敛区间内的和函数，并求







1

2

2

1

n

nn

n

的和。

九．求证：

2

1sin

1









n

n

nx

十．将),(),sgn(cos)(xxxf展成傅立叶级数。