可逆矩阵一定是方阵吗

可逆矩阵与奇异矩阵

可逆矩阵

矩阵A为n阶⽅阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆

矩阵。若⽅阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或⾮奇异矩阵，且其逆矩阵唯⼀。

定义

设P是数域，A∈P

n×n，若存在B∈Pn×n，使得AB=BA=E，E为单位阵，则称A为可逆阵，B为A

的逆矩阵，记为B=A

−1。若⽅阵A的逆阵存在，则称A为可逆矩阵或⾮奇异矩阵。

性质

若A为可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯⼀的。

设A、B是数域P上的n阶矩阵，k∈P。

若A可逆，则A

−1

和A

T也可逆，且A−1

−1

=A，AT

−1

=A−1

T

;

若A可逆，则kA可逆⇔k≠0，且(kA)

−1=

1

kA−1;

A、B均可逆⇔(AB)−1=B−1A−1

。

常⽤⽅法

判断或证明A可逆的常⽤⽅法:

证明|A|≠0；

找⼀个同阶矩阵B，验证AB=BA=E；

证明A的⾏向量(或列向量)线性⽆关。

求A

−1的⽅法:

公式法:A

−1=

1

|A|A∗，其中A∗为矩阵A的伴随矩阵。

初等变换法:对(AE)作初等变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A

−1。

⾮奇异矩阵

⾮奇异矩阵是⾏列式不为0的矩阵，也就是可逆矩阵。意思是n阶⽅阵A是⾮奇异⽅阵的充要条件是A为可逆矩阵，

也即A的⾏列式不为零。即矩阵（⽅阵）A可逆与矩阵A⾮奇异是等价的概念。

基本信息

n阶⽅阵A是⾮奇异⽅阵的充要条件是A为，也即A的不为零。即矩阵（⽅阵）A可逆与矩阵A⾮奇异是等价的

概念。

对⼀个n⾏n列的⾮A，如果存在⼀个矩阵B使AB=BA=E（E是），则称A是可逆的，也称A为⾮奇异矩

阵，此时A和B互为逆矩阵。

⼀个⾮奇异矩阵可表⽰成若⼲个初等矩阵之积。

⼀个矩阵⾮奇异当且仅当它的⾏列式不为零。

⼀个矩阵⾮奇异它代表的线性变换是个⾃同构。

⼀个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值⼤于或等于零。

⼀个当且仅当它的每个特征值都⼤于零。

⼀个矩阵⾮奇异当且仅当它的秩为n

AX=b有唯⼀解

AX=0有且仅有零解

A可逆

如果n阶⽅阵A奇异，则⼀定存在⼀个n∗1阶⾮零向量X使：X

′AX=0；成⽴

奇异矩阵

奇异矩阵是的概念，就是该不是满。

⾸先，看这个矩阵是不是⽅阵（即⾏数和列数相等的矩阵，若⾏数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和）。然后，再

看此矩阵的|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为⾮奇异矩阵。同时，由

|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外⼀个重要结论:就是⾮奇异矩阵，⾮奇异矩阵也是可逆矩阵。如果A为

奇异矩阵，则AX=0有⽆穷解，AX=b有⽆穷解或者⽆解。如果A为⾮奇异矩阵，则AX=0有且只有唯⼀，

AX=b有唯⼀解。

⽤途⽰例

⾮奇异矩阵还可以表⽰为若⼲个初等矩阵的乘积，证明中往往会被⽤到。

如果A

n×n

为奇异矩阵（singularmatrix）<=>A的秩Rank(A)

如果A

n×n

为⾮奇异矩阵（nonsingularmatrix）<=>A满秩，Rank(A)=n.

特点

⼀个⽅阵⾮奇异它的不为零。

⼀个⽅阵⾮奇异当且仅当它代表的是个⾃同构。

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⼀个矩阵半正定当且仅当它的每个⼤于或等于零。

⼀个当且仅当它的每个特征值都⼤于零。