无理方程

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解无理或分式方程是否必须验根

作者：黄春山

来源：《职业·下旬》2011年第07期

教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。但

对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第10页中的解方

程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。

原题目是：

题1类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用

换元法转化为有理方程。解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。此教材的参考

答案的解法为换元法。

题2类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分

式方程整式化。此教材的参考答案的解法为去分母法。

教材中的标准答案：

1.解:令（１）

原方程化为（２）

解得

即，不合理，舍去（３）

y2=3即（４）

即x2-3x＋5=9（５）

解得x1=-1,x2=4；经验证x1=-1,x2=4都是原方程的根。

2.解：原方程两边同乘以（x+1)(x-2)（６）

得x(x-2)-7=-(x+1)（７）

即x2-x-6=0解得x1=-2,x2=3；经验证x1=-2,x2=3都是原方程的根注：此处两个方程分

别为无理方程和分式方程，故需验根。

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我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验

根。”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。

在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原

因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换

元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两

边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少

的。然而，对于同解方程（等价方程）来说是并非必要的。

含有未知数的等式称之为方程，满足方程的未知数称为方程的解。并且，如果两个方程的

解相同，那么这两个方程叫做同解方程，又称“等值方程”“等价方程”。站在知识的更高度上，

定义如此：如果两个方程的解集相等，则称它们为“同解方程”，或称这两个方程“同解”。判定

方程是否同解，与给定的数域有关。如在实数域内，方程(x-3)(x2+4)=0与x-3=0同解，而在复

数域内它们就不同解。易证f(x)=0与af(x)=0(a≠0）在实数范围内同解，同理也得出f(x)=0与

f(x)g(x)=0(g(x)≠0)在实数范围内同解。方程是等式，显然满足等式的性质。那么在方程的两边

同时加上（或减去）同一个数，或方程两边同时乘以（或除以）一个不为零的数，仍为与原方

程的等价方程。

以下是对上述两题的解法做出同解性分析：

题1的解题过程中，方程进行了二次验根，只是（3）式的验根是必要的，因为在（1）到

（2）式的变形是非同解过程，由（1）式与（2）式中的数域不同，y的范围已经从非负数扩

充到了实数，结果出现了增根y1=-2。所以在这有必要进行验根。

但若在第一次验根前，在（2）式中加一限制条件，即变为y2-y-6=0(y≥0)（22），那从

（1）到（22）就是等价变换，只解得y1=3，不会出现增根，也就无须验证。

所以解无理方程验根并非必要的。

第二次验根更是不必要的，分析如下：

因为开2次方根后等于3的数仅且只有为9，所以由（4）变形到（5）式从算术意义上看

是一个等价过程。（5）其实就是（4）经过两边平方，再移项并因式分解可得，两边同乘以+3

＞0，显然是同解方程。由于是同解方程，不可能出现增根，也就无须验根。

解无理方程必须验根是根据方程解变形的过程中方程两边同次乘方，所得方程和原方程不

一定是同解方程，如：=x…(a)，两边平方后得x+2=x2…(b)，二者并不同解，从方程的定义域

就可看出。可能产生增根，因而必须验根。

但是解无理方程过程中均可考虑周到，在所得新方程的定义域加以限制，实现同解方程，

然后避免验根。

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人教版数学八年级下册2008年6月第2版在分式方程这一节中，举例说明了解分式方程

去分母时，两边同乘以最简公分母的式子，得到整式方程。分式方程两边同乘一个不为零的式

子，所得整式方程与原分式方程同解；若所乘式子为零，则出现分母为0的现象，显然这个整

式方程与原分式方程的解不同。

前面已经说明，若不是同解方程，那肯定是要验根。因为题2与（7）式并非同解方程，

所以在求解的最后进行了验根，这当然是必要的。但解分式方程是否必须验根，笔者不这么认

为，分析如下：在题2的解法中，原方程两边同乘以最简公分母(x+1)(x-1)且(x≠-1,2)，因为x=-

1,2导致原分式方程分母为零，方程没有意义。所以，排除导致分母不为零后所得的方程就与

原分式方程同解。即是同解方程，也就无须验根。所以解分式方程验根不是必要的。

以上的分析充分体现了解分式方程或无理方程时验根并不是必需的。当然在学生的解题过

程中若方程不是等价变形，那么就须验根了。但教材是教学的依据，教材是学生学习数学的主

要材料，应具有极高阅读价值，数学课程教材编制专家应充分考虑数学学科特点，精心编写。

（作者单位：海南省高级技工学校）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文