梯度向量

梯度

gradient

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距

离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的

变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度

或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的

梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严

格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函

数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时

也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导

数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量

(δf/x)*i+(δf/y)*j

这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)

类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k记为

grad[f(x,y,z)]

梯度的汉语词义，用法。

《现代汉语词典》附：新词新义

梯度1.坡度。

2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）

变化的程度。

3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。

4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。

散度

散度（divergence）的概念：

在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S

所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢

量场F在点M处的散度，并记作divF

由散度的定义可知，divF表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量

F的通量，所以divF描述了通量源的密度。

divF=▽·F

气象学：

散度指流体运动时单位体积的改

变率。简单地说，流体在运动中集中的

区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐

合，此时有利于天气系统的的发展和增

强，为正时表示辐散，有利于天气系统

的消散。表示辐合、辐散的物理量为散

度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分：

设某量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P、

Q、R具有一阶连续偏导数，Σ是场内一有向曲面，n是Σ在点(x,y,z)处

的单位法向量，则∫∫A·ndS叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量，

而δP/δx+δQ/δy+δR/δz叫做向量场A的散度，记作divA，即divA=

δP/δx+δQ/δy+δR/δz。

上述式子中的δ为偏微分（partialderivative）符号。

散度（divergence）的运算法则：

div(αA+βB)=αdivA+βdivB(α,β为常数)

div(uA)=udivA+Agradu(u为数性函数)

旋度

设有向量场

A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

在坐标轴上的投影分别为

δR/δy-δQ/δz，δP/δz-δR/δx，δQ/δx-δP/δy

的向量叫做向量场A的旋度，记作rotA或curlA，即

rotA=(δR/δy-δQ/δz)i+(δP/δz-δR/δx)j+(δQ/δx-δP/δy)k

式中的δ为偏微分（partialderivative）符号。

行列式记号

旋度rotA的表达式可以用行列式记号形式表示：

若A=Ax·i+Ay·j，

则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j

若A=Ax·i+Ay·j+Az·k

则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k

为一向量。

向量场A，数量场u

▽称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。▽·▽=▽2=△，

△称为拉普拉斯算子。

梯度▽u

散度▽·A

旋度▽×A

首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。

梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为

0说明该势场是个等势场。

散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为

0说明这个场没有源头。

旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场

是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。

三者的关系：注意各自针对的对象不同。

1.梯度的旋度▽×▽u=0

梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。

2.梯度的散度▽2u=△u

3.散度的梯度▽(▽·A)

4.旋度的散度▽·(▽×A)=0

旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他

场的旋度场。

5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A

旋度场的旋度

也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，

磁场本身也是有旋场。

1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。反之则不行，还需要其

他条件。

2.已知某向量场，求原数量场（势场）。

某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。

因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。若旋度不为0，

则没有势场。