2.4逆变换和逆矩阵
第一课时逆变换与逆矩阵
[教学目标]
一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵
二、过程与方法：讲练结合法
三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法
[教学难点、重点]求二阶逆矩阵
[教学过程]
一、问题情景
y
x
1
T变换
/
/
y
x
2
T变换
y
x
（1）这个对应终归是什么对应？
y
x
→
y
x
（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以
实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、
旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）
（3）对应的矩阵如何表示？若T1对应变换矩阵为A，T2对应的变换矩阵为B，BA=E
二、问题的深入
1、相关定义
以上变换T2、T1称作对方的逆变换，T1、T2称互逆的
相应的矩阵A、B满足：AB=BA=E，称A是可逆的，B称A的逆矩阵
例1、A=
01
12
,B=
21
10
,C=
21
10
,问B、C是否为A的逆矩阵？
解答：B不是，C是
思考1：一个矩阵A存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？
从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A的逆矩阵为B1、B2，则
有：B1=B1E=B1（AB2）=（B1A）B2=EB2=B2
这样，一个矩阵A存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A-1
思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？
从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度
加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵
设二阶非零矩阵
dc
ba
的逆矩阵为
21
21
yy
xx
，则
dc
ba
21
21
yy
xx
=
10
01
即方程组
④dycx
③byax
②dycx
①byax
1
0
0
1
22
22
11
11
有解，①②组成的x1,y1的方程组要有解；③④组成的x2、y2的方程
组也要有解
现用消去法解①②方程组。①×d得：adx1+bdy1=d②×b得：cbx1+bdy1=0两式作差得到
(ad-bc)x1=d,要有解，必须ad-bc≠0，此时x1=
bcad
d
,将之代入②得y1=-
bcad
b
对于③④，实质是将①②中a与c,b与d互换，从而x2=
bcad
a
,y2=-
bcad
c
2、结论：一个二阶非零矩阵
dc
ba
存在逆矩阵的条件是ad-bc≠0（主对角线积与副对角线积的差
不为0），此时
dc
ba
-1=
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
与原矩阵比较：分母都是ad-bc，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数
即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反
这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法
例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵
(1)
01
10
(2)
01
01
(3)
37
15
解：（1）存在逆矩阵，
01
10
-1=
01
10
（2）不存在逆矩阵
（3）存在逆矩阵，
37
15
-1=
8
5
8
7
8
1
8
3
思考3：A=
10
01
，B=
01
10
求A-1、B-1、(AB)-1及B-1A-1，由此看出什么规律，这个规律
是否对一般的情况仍然成立？
A-1=
10
01
,B-1=
01
10
,(AB)-1=
01
10
-1=
01
10
,B-1A-1=
01
10
,(AB)-1=B-1A-1
对于一般的
y
x
T
T
y
x
y
x
A
A
T
T
B
B
1
1
/
/
变换
变换
，对应矩阵也应有(AB)-1=B-1A-1
这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E，同理(B-1A-1)(AB)=E
根据定义有(AB)-1=B-1A-1
例3、求
10
2
1
1
20
01
的逆矩阵（
2
1
0
4
1
1
）
例4、A、B、C为二阶矩阵，AB=AC，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论
解：AB=ACA-1AB=A-1ACEB=ECB=C
这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立
练习：A、B、C为二阶矩阵，BA=CA，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论（相等）
三、小结：1、一个二阶非零矩阵
dc
ba
存在逆矩阵的条件是ad-bc≠0（主对角线积与副对角线
积的差不为0），此时
dc
ba
-1=
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
2、(AB)-1=B-1A-1
3、A存在逆矩阵时，AB=AC或BA=CA，则B=C
四、作业：教材P63---1,2,3,6
[补充习题]
1、讨论矩阵
d
b
0
1
存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵
2、求
01
10
12
01
的逆矩阵
[补充习题答案]
1、d=0时不存在逆矩阵；d≠0时，存在逆矩阵
d
d
b
1
0
1
2、
01
12
[情况反馈]
第二课时二阶矩阵与二元一次方程组
[教学目标]
一、知识与技能：了解二阶行列式的定义，会用行列式和矩阵的方法求二元一次方程组的解，能用变
换和映射的观点认识方程组解的意义
二、过程与方法：讲授法
三、情感态度和价值观：体会不同方法解题的优越性
[教学难点、重点]矩阵法解方程组原理
[教学过程]
一、情景引入
消元法二求解元一次方程组
ax＋by＝m
cx＋dy＝n
当ad－bc≠0时，方程组的解为
x＝
md－bn
ad－bc
y＝
an－cm
ad－bc
问题：此结论有什么规律，能否进行简单记忆？
二、新课内容
1、二阶行列式有关定义
定义：det(A)＝
ab
cd
＝ad－bc
因此方程组的解为
x＝
mb
nd
ab
cd
y＝
am
cn
ab
cd
记：D＝
ab
cd
，D
x
＝
mb
nd
，D
y
＝
am
cn
，所以，方程组的解为
x＝
D
x
D
y＝
D
y
D
这里D
x
是将右边的常数列代替了x列，D
y
是将y列用常数列代替
思考：二阶矩阵
dc
ba
与二阶行列式
ab
cd
有什么不同？（矩阵是数表，行列式是一个数值）
例1求方程组
0654
0132
yx
yx
的解
解：[方法一]原方程可以化为
654
132
yx
yx
，D=
54
32
=-2,Dx=
56
31
=-13,Dy=
64
12
=8
所以，方程组的解为
4
2
13
D
D
y
D
D
x
y
x
分析二：原方程化成
654
132
yx
yx
之后，可以用矩阵表示为AX=B,这样A-1AX=A-1B,X=A-1B
[方法二]原方程可以化为
654
132
yx
yx
,即
64
32
y
x
=
6
1
y
x
=
64
32
-1
6
1
=
12
2
3
2
5
6
1
=
4
2
13
，故方程组的解为
4
2
13
y
x
说明：方法二的解法为矩阵法，对一般的存在逆矩阵的方程组解法有直接解方法、行列式法、矩阵
法，有的还有几何法
练习1：解方程组
2
3
2
1
y
yx
（x=2,y=2）
练习2：解方程
12
01
y
x
=
9
4
(x=4,y=1)
练习3：在矩阵M=
52
21
对应的变换TM作用下，求点P(1,0)、Q(0,1)的原象点的坐标
例2、给定一个二阶A，=
1
1
n
m
，=
2
2
n
m
，≠
求证（1）若A可逆，则有A≠A(2)若A=A，则A不可逆，并说明其几何意义
证明：(1)假设A=A，则A-1A=A-1A，=与已知矛盾，故A≠A
(2)若A可逆，设为A-1，则A-1A=A-1A，=与已知矛盾，故A不可呢。几何意义，当一个矩阵
将两个不同元素变为同一元素时，必非一一对应，矩阵不可逆
例3、研究
01
01
y
x
=
2
2
的解
解：
01
01
是将平面上所有的点都垂直于x轴投影到y=x上，通过运算也可以得到
x
x
=
2
2
，x=2
所以方程组有无数多个解，满足x=2直线上所有点都是其解
说明：
01
01
不可逆，不能用行列式或逆矩阵方法求解
三、小结：方程组解法——直接法、行列式法、逆矩阵法、几何变换法
四、作业：教材P63---4,5,7,8,9
[补充习题]
1、对于二元一次方程组A
y
x
=
n
m
,其中A=
dc
ba
,若A1=
dn
bm
,A2=
nc
ma
,用A、A1、A2
的行列式表示方程组的解
2、TA是绕原点旋转600的旋转变换，TB是切变角为450沿OX轴方向的切变变换，
PA
TP/(2,4)B
TP//,求P和P//的坐标
3、已知
53
42
=
10
02
A
10
21
[补充习题解答]
1、|A|≠0时，有唯一解x=
||
||
1
A
A
,y=
||
||
2
A
A
;|A|=0,|A1||A2|≠0时，无解；|A|=0,|A1||A2|=0时有
无穷多个解
2、P(1+2
3
,-
3
+2),P//(6,4)
本文发布于:2022-12-06 11:38:56，感谢您对本站的认可！
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