正四面体的高

几何-空间几何-正四面体专题

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几何-空间几何-正四面体专题

一．选择题（共6小题）

1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）

A．B．C．D．

2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积

为（）

A．

4π

B．

2π

C．D．

3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）

A．B．C．

2π

D．

4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）

A．B．C．D．

5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有

一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）

A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体

6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与

BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面

积分别是S

1

，S

2

，则必有（）

A．

S

1

＜S

2

B．

S

1

＞S

2

C．

S

1

=S

2

D．

S

1

，S

2

的大小关系不能确定

二．填空题（共14小题）

7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距

离为

_________．

8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为

_________．

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9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为_________．

10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．

11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取

值范围为_________．

12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的

图形面积的取值范围是_________．

13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范

围为_________．

14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于

_________．

15．正四面体的棱长为a，它的体积为_________．

16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．

17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF

截球O所得截面的面积是_________．

18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球

的半径r=_________．

19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空

间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，

则=_________．

20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d

1

，d

2

，d

3

，

则有d

1

+d

2

+d

3

为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体

ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d

1

，d

2

，d

3

，d

4

，则有d

1

+d

2

+d

3

+d

4

为定值_________．

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参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）

A．B．C．D．

考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。

专题：计算题。

分析：

先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O

到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．

解答：

解：记棱锥A﹣BCD的高为AO

1

，且AO

1

=a．

O在AO

1

上且OO

1

=AO

1

；

AO

1

与面α交于M，则MO

1

=AO

1

，

故MO=OO

1

=AO

1

=．

故答案为：．

故选C．

点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，

考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积

为（）

A．

4π

B．

2π

C．D．

考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。

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专题：计算题。

分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的

各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．

解答：解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线

∵正四面体ABCD的棱长为1

∴正方体的棱长为

∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，

∴球O是正方体的内切球，其直径为

∴球O的表面积为

故选C

点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．

3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）

A．B．C．

2π

D．

考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。

专题：计算题。

分析：

已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O与此正四面体的四

个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积

解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，

由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3

又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，

故底面中心到底面顶点的距离都是2

由此知顶点到底面的距离是=2

此正四面体的体积是×2×3=2

又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==

球O的表面积等于4×π×=2π

故选C

点评：本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球O是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面

体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正

确解题的知识保证．

4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）

A．B．C．D．

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考点：棱锥的结构特征。

专题：计算题。

分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易

得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．

解答：解：∵正四面体是球的内接正四面体，

又∵球的半径R=1

∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系

l=

得l=

故选D

点评：

注意牢记：边长为1的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为1的正四面体，

侧高为，侧面内切圆的半径为，侧面外接圆半径为；高为，内切球半径为，外接球半径为

5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有

一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）

A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体

考点：棱锥的结构特征。

专题：探究型。

分析：

由正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），可知得到的新多面体为五面体．

解答：

解：正四面体每相邻二个面所成的二面角为arccos，

题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），

所以得到的新多面体为五面体．

故选A．

点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答．

6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与

BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面

积分别是S

1

，S

2

，则必有（）

A．

S

1

＜S

2

B．

S

1

＞S

2

C．

S

1

=S

2

D．

S

1

，S

2

的大小关系不能确定

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考点：球内接多面体。

专题：计算题；综合题。

分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．

解答：解：连OA、OB、OC、OD，

则V

A﹣BEFD

=V

O﹣ABD

+V

O﹣ABE

+V

O﹣BEFD

+V

O﹣AFD

V

A﹣EFC

=V

O﹣AFC

+V

O﹣AEC

+V

O﹣EFC

又V

A﹣BEFD

=V

A﹣EFC

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，

又面AEF公共，

故S

ABD

+S

ABE

+S

BEFD

+S

ADF

=S

ADC

+S

AEC

+S

EFC

故选C

点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．

二．填空题（共14小题）

7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距

离为

．

考点：点、线、面间的距离计算。

专题：计算题。

分析：

先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O

到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．

解答：

解：记棱锥A﹣BCD的高为AO

1

，且AO

1

=a．

O在AO

1

上且OO

1

=AO

1

；

AO

1

与面α交于M，则MO

1

=AO

1

，

故MO=OO

1

=AO

1

=．

故答案为：．

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点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，

考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为

．

考点：球的体积和表面积。

专题：计算题。

分析：作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面

积．

解答：解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：a；

所以OE为内切球的半径，BF=AF=

BE=，所以AE=，

BO2

﹣OE

2=BE2

，

所以OE=

球的表面积为：4π•OE

2=

故答案为：

点评：本题考查正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是

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基础题．

9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为．

考点：球的体积和表面积。

专题：计算题。

分析：由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表

面积．

解答：解：正四面体的棱长为：a，

底面三角形的高：a，

棱锥的高为：=，

设外接球半径为R，

R2=（a﹣R）2+解得R=a，

所以外接球的表面积为：4πa

2=a2

；

故答案为a

2

．

点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．

10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为（π﹣arcos）（或arcos

（﹣））．

考点：球面距离及相关计算；球内接多面体。

专题：计算题。

分析：由题意求出外接球的半径，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B两点间的球面距离．

解答：

解：正四面体的棱长为1，所以面上的高为，面中心到顶点的距离为，

所以正四面体的高为：=．

正四面体的内切球半径为r，由等体积法知，，（s是正四面体的底面面积），

∴r=，

正四面体的外接球的半径为：．

设球心为O．

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∴cos∠AOB==，

，

外接球球面上A、B两点间的球面距离为：．

故答案为：．（或arcos（﹣））

点评：本题考查正四面体的外接球的球面距离的求法，考查空间想象能力，计算能力．

11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取

值范围为．

考点：平行投影及平行投影作图法。

分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终

是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段

AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．

解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角

形，

由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=

当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，

此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间

的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=，再取AB中点N，连接MN，此线段长

度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=，此时投影面的面积是××1=，

故投影面的取值范围是

故答案为

点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化

情况，本题是一个中档题

12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的

图形面积的取值范围是．

考点：平行投影及平行投影作图法。

专题：计算题。

分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终

是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．

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解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，

当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，

根据正四面体的性质，面积此时最大，是

当面ABC⊥平面α面积最小是，此时构成的三角形底边是1，

高是正四面体的高面积是，

故答案为：[]

点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化

情况，本题是一个中档题．

13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范

围为．

考点：由三视图求面积、体积。

专题：计算题。

分析：由题意求出左视图的面积，然后确定俯视图面积的指正的范围，即可得到该正四面体的左视图与俯视图面

积和的取值范围．

解答：

解：正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，所以左视图为等腰三角形，边长为

，

面积为=，

俯视图面积最小值为等腰三角形，边长为，面积为=，

俯视图为对角线是1的正方形时面积最大，面积的最大值为：=，

所以该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为：．

故答案为：．

点评：本题是中档题，考查几何体的三视图的画法，空间想象能力，逻辑思维能力和计算能力，找出俯视图的最

小值与最大值是解题的关键．

14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：计算题。

分析：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解

解答：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF

由题意知AE⊥CD，BE⊥CD

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又∵AE∩BE=E

∴CD⊥面ABE

又AB=CD=6，其余的棱长均为5

∴AD=5，DE=3

∴AE=4，同理BE=4

∴等腰△ABE底边AB上的高为EF=

∴△ABE的面积S=

∴三棱锥ABCD的体积V==

又

设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R

∴三棱锥ABCD的体积V==

∴

故答案为：

点评：本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题

15．正四面体的棱长为a，它的体积为．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：计算题。

分析：

先计算此四面体的底面积，再计算它的高，利用公式V=sH即可得此正四面体的体积

解答：

解：正四面体的底面积为s=a

2×=

正四面体的底面半径为r=×=

∴正四面体的高H===

∴正四面体的体积为V=sH=××=

故答案为

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点评：本题考查了棱锥体积计算公式，特别是正棱锥、正四面体的体积计算，解题时要善于将空间问题转化为平

面问题解决

16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为．

考点：点、线、面间的距离计算。

计算题；转化思想。

先设AB，CD的中点为E，F，根据正四面体得到

AF=BF，进而得EF⊥AB；同理得EF⊥CD；把问题

转化为求EF的长，最后在三角形中求出EF的长即

可．

解：设AB，CD的中点为E，F，

连接AF，BF；

因为其为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1；

∴AF=BF=，

∴EF⊥AB，

同理可得EF⊥CD．

即EF的长即为AB、CD之间的距离．

∵EF===．

即AB、CD之间的距离为．

故答案为：．

点评：本题主要考察点、线、面间的距离计算．解决本题的关键在于

分析出EF的长即为AB、CD之间的距离．

17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF

截球O所得截面的面积是48π．

考点：棱锥的结构特征。

专题：计算题；作图题；综合题；数形结合；转化思想。

分析：作出图形，设M点球心，O′为截面圆的圆心，求出MO′的距离，再求截面圆的半径，求出平面DEF截球O

所得截面的面积．

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解答：解：作图如图，设M点球心，可为高SO的四等分点处，

O′为截面圆的圆心，可知其在高的中点处，

易求出

∴∴s=πr2=48π．

故答案为：48π

点评：本题考查棱锥的结构特征，几何体的外接球的知识，考查计算能力，是基础题．

18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球

的半径r=．

考点：球内接多面体。

专题：计算题；新定义。

分析：先根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体ABCD

的高，F是底面三角形BCD的中心，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC

中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于R的方程即可求出答案．

解答：解：根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体

A﹣BCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AE是侧面上的中线，AG是大圆O的切线，G为切点，设

大圆的半径为R，

在三角形ABC中，AE==ED，

在直角三角形AEF中，EF=ED=×=，

∴AF==，

在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，

∴△AOG∽△AEF，

∴即，

∴R=．

故答案为：．

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点评：本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间

想象能力．属于基础题．

19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空

间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，

则=3．

考点：归纳推理。

专题：探究型。

分析：

设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切

球的球心，设内切球半径为r，

则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．

解答：

解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，

所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，

则有r=，可求得r即OM=，

所以AO=AM﹣OM=，所以=3

故答案为：3

点评：本题考查类比推理知识，由平面到空间的类比是经常考查的知识，要认真体会其中的类比方式．

20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d

1

，d

2

，d

3

，

则有d

1

+d

2

+d

3

为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体

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ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d

1

，d

2

，d

3

，d

4

，则有d

1

+d

2

+d

3

+d

4

为定值a．

考点：类比推理。

专题：探究型。

分析：这是一个升维类比，线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．

解答：

解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d

1

，

d

2

，d

3

，则有d

1

+d

2

+d

3

为定值；

证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．

S

△APB

=a•PE，S

△CPB

=a•PE，S

△APC

=a•PG，

于是S

△APB

+S

△CPB

+S

△APC

=a•PE+a•PF+a•PG，

即a•PE+a•PF+a•PG=S，

PE+PF+PG=，为定值．

即d

1

+d

2

+d

3

=，为定值．

由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：

有d

1

+d

2

+d

3

+d

4

为定值a．

故答案为：a．

点评：升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结

论不一定是正确的

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