正方形的定义

19.2.3正方形的性质和判定

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、

矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中

例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3

是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个

四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃

学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的

关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．．

并且有一个角是直角

．．．．．．．

的平行四边形

．．．．．

叫做正方形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角

的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

五、例习题分析

例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直

角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为

O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方

形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，

AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，

根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

例3（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l

1

∥l

2

，作

BM⊥l

1

于M，DN⊥l

1

于N，直线MB、DN分别交l

2

于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌

△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出

MN=NP．从而得出结论．

证明：∵PN⊥l

1

，QM⊥l

1

，

∴PN∥QM，∠PNM=90°．

∵PQ∥NM，

∴四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴∠1+∠2=90°．

又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．

∴△ABM≌△DAN．

∴AM=DN．同理AN=DP．

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN．

∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

六、随堂练习

1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）

④四条边都相等的四边形是正方形；（）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

1．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是

CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC

于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE

交CD于F，求证：AE=BE+DF．

A

B

C

DE

F