有加

第三节有理数加减法

一、教学内容：

有理数的加减

1.理解有理数的加减法法则以及减法与加法的转换关系；

2.会用有理数的加减法解决生活中的实际问题．

3.有理数的加减混合运算．

二、知识要点：

1.有理数加法的意义

（1）在小学我们学过，把两个数合并成一个数的运算叫加法，数的范围扩大到有理数后，有理数的

加法所表示的意义仍然是这种运算．

（2）两个有理数相加有以下几种情况：

①两个正数相加；②两个负数相加；③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加．

（3）有理数的加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝

对值减去较小的绝对值．

一个数同0相加，仍得这个数．

注意：①有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，

而有理数的加法涉及运算结果的符号；②有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同

号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条；③法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在

应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”．

2.有理数加法的运算律

（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；

（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个

数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便．

3.有理数减法的意义

（1）有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同．已知两个加数的和与其中一个加数，求另

一个加数的运算，叫做减法．减法是加法的逆运算．

（2）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．

4.有理数的加减混合运算

对于加减混合运算，可以根据有理数的减法法则，将加减混合运算转化为有理数的加法运算。然后可

以运用加法的交换律和结合律简化运算。

三、重点难点：

重点：①有理数的加法法则和减法法则；②有理数加法的运算律．难点：①异号两个有理数的加法法

则；②将有理数的减法运算转化为加法运算的过程．（这一过程中要同时改变两个符号：一个是运算符号

由“－”变为“＋”；另一个是减数的性质符号，变为原来的相反数）

【典型例题】

例1.计算：（1）（－2）＋（－5）（2）（－6）＋4

（3）（－3）＋0（4）－3－（－5）

解：（1）（－2）＋（－5）（同号两数相加）

＝－（2＋5）（取________的符号，并把绝对值相加）

＝－7

（2）（－6）＋4（异号两数相加）

＝－（6－4）（取_____________加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）

＝－2

（3）（－3）＋0（一个数同零相加）

＝－3（仍得__________）

（4）－3－（－5）（减去一个数）

＝－3＋5（等于加上这个数的__________）

＝2

评析：进行有理数的加减运算时，注意先确定结果的符号，再计算绝对值．

例2.计算（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）．

分析：这个式子中有加法，也有减法．可以根据有理数减法法则，把它改写成（－20）＋（＋3）＋

（＋5）＋（－7），使问题转化为几个有理数的加法．

解：（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）

＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）

＝[（－20）＋（－7）]＋[（＋5）＋（＋3）]

＝（－27）＋（＋8）

＝－19

评析：先将加减混合运算统一成加法，再写成省略加号的形式，形成清晰、条理的解题思路，减少出

差错的机会．

例3.有10名学生参加数学竞赛，以80分为标准，超过80分记为正，不足80分记为负，评分记录如

下：

＋10，＋15，－10，－9，－8，－1，＋2，－3，－2，＋1，问这10名同学的总分比标准超过或不足

多少分？总分为多少？

分析：此题用具有相反意义的量来表示各个同学的得分在标准之上还是在标准之下，我们也可以把这

些数值相加来表示总分是超出还是不足．

解：（＋10）＋（＋15）＋（－10）＋（－9）＋（－8）＋（－1）＋（＋2）＋（－3）＋（－2）＋

（＋1）

＝[（＋10）＋（－10）]＋[（－1）＋（＋1）]＋[（＋2）＋（－2）]＋（＋15）＋[（－3）＋（－9）

＋（－8）]

＝0＋0＋0＋15＋（－20）

＝－5

80×10－5＝795（分）

答：这10名同学的总分比标准不足5分，总分为795分．

评析：这10个数中有3对相反数，在运算时我们应先把它们相加，这样可以大大降低运算难度．另

外，把实际问题转化为数学问题来解决是学习数学的目的．

评析：灵活运用运算律，使运算简化，通常有下列规律：

（1）互为相反数的两数可先相加；（2）符号相同的两数可以先相加；（3）分母相同的数可以先相

加；（4）几个数相加能得到整数的可以先相加．

例5.已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值．

分析：要求a－b的值，首先必须确定a、b的值．因为绝对值等于一个正数的数有两个，一个正、一

个负，并且这两个数互为相反数，即︱x︱＝m（m＞0），则x＝m，或x＝－m．也就是说求出的a、b的

值分别有两个．

解：因为︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3

所以a＋5＝1或a＋5＝－1，b－2＝3或b－2＝－3

所以a＝－4或a＝－6，b＝5或b＝－1

当a＝－4，b＝5时，a－b＝－4－5＝－9

当a＝－4，b＝－1时，a－b＝－4－（－1）＝－3

当a＝－6，b＝5时，a－b＝－6－5＝－11

当a＝－6，b＝－1时，a－b＝－6－（－1）＝－5

评析：（1）已知一个数的绝对值，求这个数的时候，要格外注意解有正负两个值，不要漏掉负值．（2）

当确定出a、b的值后，求a－b时，应考虑到可能出现的情况，使解题思维严密．

例6.依次排列4个数：2，11，8，9．对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这

两个数之间得到一串新的数：2，9，11，－3，8，1，9．这称为一次操作，作二次操作后得到一串新的数：

2，7，9，2，11，－14，－3，11，8，－7，1，8，9．这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是（）

A.737B.700C.723D.730

分析：根据题意，解决问题的方法有两种：一是作100次操作，得到第100次操作后的一串数字，然

后求和；二是经过前几次操作，推测第100次操作后的结果．显然应该用第二种方法．

解：D

评析：一些问题看上去非常复杂，是因为我们没有找到解决问题的办法，多动脑、多思考、找到问题

的内在规律才是解决问题的根本方法．

【方法总结】

1.有理数加减法混合运算的方法是：一般先把减法统一成加法，再进行计算，或先把同号的数相加，再

把异号的数相加．

2.解决探究型问题的时候不要急于探寻问题的结果，要从最初的条件开始，分析出其中的规律，用这个

规律推断出最后的结果．

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一.选择题

1.一个数是3，另一个数比它的相反数大3，则这两个数的和为（）

A.3B.0C.－3D.±3

2.计算2－3的结果是（）

A.5B.－5C.1D.－1

3.哈市4月份某天的最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是

（）

A.－2℃B.8℃C.－8℃D.2℃

4.下列说法中正确的是（）

A.若两个有理数的和为正数，则这两个数都为正数

B.若两个有理数的和为负数，则这两个数都为负数

C.若两个数的和为零，则这两个数都为零

D.数轴上右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数的差是正数

*5.如果x<0，y>0，且︱x︱>︱y︱，那么x＋y是（）

A.正数B.负数C.非正数D.正、负不能确定

*6.若两个有理数的差是正数，那么（）

A.被减数是负数，减数是正数B.被减数和减数都是正数

C.被减数大于减数D.被减数和减数不能同为负数

**7.当x<0，y>0时，则x，x＋y，x－y，y中最大的是（）

.x＋yC.x－yD.y

二.填空题

1.计算：－（－2）＝__________．

2.2/5＋（－3/5）＝__________；（－3）＋2＝__________；－2＋（－4）＝__________．

3.0－（－6）＝__________；1/2－1/3＝__________；－3.8－7＝__________．

4.一个数是－2，另一个数比－2大－5，则这两个数的和是__________．

5.已知两数之和是16，其中一个加数是－4，则另一个加数是__________．

*6.数轴上到原点的距离不到5并且表示整数的只有__________个，它们对应的数的和是__________．

*7.已知a是绝对值最小的负整数，b是最小正整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，则c＋b－a＝

__________．

**8.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写

在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；作第二次同样的操作后也

可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，则从数串3，9，8开始操作

第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是__________．

三.解答题

1.计算：

（1）－19－19

（2）－18－（－18）

（3）26/5－27/3

（4）12－（9－10）

（5）（5－10）－4

3.已知a是7的相反数，b比a的相反数大3，那么b比a大多少？

4.某检修小组乘汽车检修供电线路，约定前进为正，后退为负．某天自A地出发到收工时，所走路程

（单位：km）为＋22，－3，＋4，－2，－8，＋17，－2，－3，＋12，＋7，－5，问收工时距A地多远？

若每千米耗油4L，问从A地出发到收工共耗油多少升？

5.如图所示是某地区春季的气温随时间变化的图象．

请根据上图回答：

（1）何时气温最低？最低气温为多少？

（2）当天的最高气温是多少？这一天最大温差是多少？

【试题答案】

一.选择题

1.A2.D3.B4.D5.B6.C7.D8.A

二.填空题

1.22.－0.25，－1，－63.6，1/6，－10.84.－95.206.9，07.08.520

三.解答题

1.（1）－38（2）0（3）－（4）13（5）－9

2.（1）1.25（2）－2（3）－2（4）8（5）－2

3.解：因为a是7的相反数，所以a＝－7．因为b比a的相反数大3，所以b－（－a）＝3，所以b＝3

＋（－a）＝10，所以b－a＝10－（－7）＝17，即b比a大17．

4.解：收工时距A地的距离是：

（＋22）＋（－3）＋（＋4）＋（－2）＋（－8）＋（＋17）＋（－2）＋（－3）＋（＋12）＋（＋7）

＋（－5）

＝22＋4＋17＋12＋7－3－2－8－2－3－5

＝62－（3＋2＋8＋2＋3＋5）

＝62－23

＝39（千米）

从A地出发到收工时的耗油量应为该车所走过的所有路程的耗油量，即：

（︱＋22︱＋︱－3︱＋︱＋4︱＋︱－2︱＋︱－8︱＋︱＋17︱＋︱－2︱＋︱－3︱＋︱＋12︱＋︱

＋7︱＋︱－5︱）×4

＝（22＋3＋4＋2＋8＋17＋2＋3＋12＋7＋5）×4

＝85×4

＝340（升）

答：收工时汽车距A地39千米，从A地出发到收工共耗油340升．

5.（1）2时气温最低，最低气温为－2℃（2）当天的最高气温是10℃，这一天最大温差是10－（－2）

＝12（℃）