二重积分中值定理

楚雄师范学院本科论文（设计）

目录

摘要................................................................................I

关键词..............................................................................I

Abstract...........................................................................II

Keywords..........................................................................II

前言................................................................................1

1预备知识...........................................................................1

1.1相关定理.........................................................................1

2多元函数积分中值定理的各种形式....................................................2

2.1曲线积分中值定理的推广..........................................................2

2.1.1第一型曲线积分中值定理.........................................................2

2.1.2第二型曲线积分中值定理.........................................................4

2.2二重积分中值定理的探究及推广.....................................................5

2.3曲面积分中值定理的探究及推广.....................................................7

2.3.1第一型曲面积分中值定理.........................................................7

2.3.2第二型曲面积分中值定理.........................................................7

结论................................................................................9

参考文献...........................................................................10

致谢...............................................................................11

楚雄师范学院本科论文(设计)

I

摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面

的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.

关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中

值定理

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II

Studyonmean-valuetheoremsforRiemann-Stieltjesintegralsof

functionsoftwovariables

Abstract:Mean-

papermean-valuetheoremfor

obtainallkindsofmean-valuetheoremsforintegralswhichincludecurvilinear,multipleandsurface

y,theproofsofmean-valuetheoremsaregiven.

Keywords:mean-valuetheoremintegral;condmean-valuetheorems;curvilinearintegral;multiple

integrals;surfaceintegrals

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1

二元函数的积分中值定理的探究

前言

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它

在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中

值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理

的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积

分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.

1预备知识

1.1相关定理

定理1[5]假设

M

和m分别为函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值，且()fx在区间

[,]ab上可积，则有

()()()b

a

mbafxdxMba()ab

成立.

定理2[5](一元函数的介值性定理)设函数

()fx

在闭区间[,]ab上连续.并且函数()fa与

()fb函数不相等.如果是介于()fa和()fb之间的任何实数()()fafb或

()()fafb，则至少存在一点

0

x

，使得

0

()fx

成立，其中

0

(,)xab.

定理3[5](二元函数的介值性定理)设函数f在区域2DR上连续，若

12

,PP为

D

中任意两

点，且

12

()()fPfP，则对任何满足不等式

12

()()fPfP

的实数



，必存在点

0

pD，使得

0

()fP.

定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在区间[,]ab上至少存在

一个点，使下式

()()()b

a

fxdxfba()ab

成立.

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2

定理5]3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，()gx在(,)ab上

不变号，并且()gx在[,]ab上是可积的，则在[,]ab上至少存在一点，使得

()()()()bb

aa

fxgxdxfgxdx()ab

成立.

定理6]3[（积分第二中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上可积，而()gx在区间(,)ab上

单调，则在[,]ab上至少存在一点，使下式成立

()()()()()()bb

aa

fxgxdxgafxdxgbfxdx







定义1[6]设平面光滑曲线

L

:(),(),[,]xxtyytt，两端点为((),())Axy和

((),())Bxy.若()xt在[,]上不变号，称曲线

L

关于坐标x是无反向的.若()yt在[,]上不

变号，称曲线

L

关于坐标

y

是无反向的.

2多元函数积分中值定理的各种形式

受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式

的中值定理进行探讨.

2.1曲线积分中值定理的推广

首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线

C

:(),(),[,]xxtyytt为参

数方程的情形，而对于曲线

C

为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到.

2.1.1（第一型曲线积分中值定理）

定理7如果函数(,)fxy在光滑有界曲线

C

:(),(),[,]xxtyytt上连续，则在曲线

C

上至少存在一点(,).使

(,)(,)

C

fxydsfS

成立，其中

C

ds为曲线

C

的弧长，并且

C

dsS.

证明因为函数(,)fxy在光滑有界闭曲线

C

上连续，所以

22(,)((),())()()

C

fxydsfxtytxtytdt









记22()((),()),()()()FtfxtytGtxtyt





由已知条件知()Ft在[,]上连续，()Gt在[,]上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，

0

[,]t，

00

(,)((),())xtyt使

2222(,)((),())()()(,)()()(,)

C

fxydsfxtytxtytdtfxtytdtfS







成

立.

即

(,)(,)

C

fxydsfS

从而命题得证.

在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面

我们将对其探究证明,并进行推广.

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3

定理8]1[如果函数(,),(,)fxygxy在光滑有界曲线

C(),(),[,]xxtyytt上连续，

(,)gxy在

C

上不变号，则在曲线

C

上至少存在一点(,)，使

(,)(,)(,)(,)

CC

fxygxydsfgxyds

成立.

证明由于22(,)(,)((),())((),())()()

C

fxygxydsfxtytgxtytxtytdt







，由条件

知,(,)gxy在

C

上不变号，则22((),())()()gxtytxtyt





在[,]上不变号，(,),(,)fxygxy又

在

C

上连续，由此可知22((),())((),())()()fxtytgxtytxtyt





在[,]上也连续.由定理7可知

0

[,]t，使得

00

(,)((),())xtyt,有以下式子

2222

00

((),())((),())()()((),())((),())()()fxtytgxtytxtytdtfxtytgxtytxtytdt









成立.

即

(,)(,)(,)(,)

CC

fxygxydsfgxyds

从而命题得证.

定理9如果函数(,),(,)fxygxy在光滑有界闭曲线(,)CAB:(),()xxtyyt,

[,]t上连续可积，(,)gxy在

C

上不变号,其中min(,)mfxy,max(,)Mfxy，其中

(,)xyC.则在曲线(,)CAB上至少存在一点

O

,把曲线(,)CAB分为曲线

1

(,)CAO和曲线

2

(,)COB,使得

12

(,)(,)

(,)(,)(,)(,)

CCAOCOB

fxygxydsmgxydsMgxyds

成立.

证明由定理8知

(,)(,)(,)(,)

CC

fxygxydsfgxyds，记(,)fk，则有

mkM

.

记

12

(,)(,)

(,)(,)(,)

CAOCOB

C

QkgxydsmgxydsMgxyds

Q是关于点(,)Oxy的函数.

(1)当

(,)0

C

gxyds时，显然成立.

（2）当

(,)0

C

gxyds,

当

1

CC时，

则有

1

(,)

(,)(,)()(,)

CAOC

C

Qkgxydsmgxydskmgxyds；

由于

0km

，，于是有

1

(,)

(,)(,)()(,)0

CAOC

C

Qkgxydsmgxydskmgxyds

即

12

(,)(,)

(,)(,)(,)0

CAOCOB

C

QkgxydsmgxydsMgxyds.

当

2

CC时，

则有

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4

1

(,)

(,)(,)()(,)

CAOC

C

QkgxydsMgxydskMgxyds；

由于

0kM

，(,)0

C

gxyds，于是有

1

(,)

(,)(,)()(,)0

CAOC

C

QkgxydsMgxydskMgxyds,

即

12

(,)(,)

(,)(,)(,)0

CAOCOB

C

QkgxydsmgxydsMgxyds.

（3）当(,)0

C

gxyds,类似可讨论.

综上由零点存在定理，则至少有一点

OC

，使得0Q,即

12

(,)(,)

(,)(,)(,)0

CAOCOB

C

QkgxydsmgxydsMgxyds

即

12

(,)(,)

(,)(,)(,)(,)

CCAOCOB

fxygxydsmgxydsMgxyds

从而命题得证.

以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线

C

形如(),(),[,]xxtyytt的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类

似可讨论.

2.1.2（第二型曲线积分中值定理）

第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨.

如果成立，则有如下命题.

函数(,)fxy在光滑有向曲线

C

上连续，其中

I

为光滑有向曲线

C

在x轴正向上的投影，其中

符号“”是由曲线

C

的方向确定的，则在曲线

C

上至少存在一点(,)，使得

(,)(,)

C

fxydxfI(1)

成立.

但有如下例子，

设(,)fxyy,曲线

C

为圆，方程为222xyy.如图1

图1

由积分的对称性知0

C

Idx



,可得(,)0fI，而

0

C

ydx,故不可能存在点

(,)C使（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.

由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值

定理.

定理10]1[设(,)Pxy，(,)Qxy在定向光滑曲线

L

上连续，曲线

L

上任意一点(,)xy处与

L

方向

一致的切线方向与x轴余弦为cos，且(,)Qxy在曲线

L

上不变号，则在

L

至少存在一点(,)，

O

X

Y

1

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5

使得

(,)(,)(,)(,)

LL

PxyQxydxPQxydx

证明因为(,)(,)(,)(,)cos

LL

PxyQxydxPxyQxyds且(,)Pxy，(,)Qxy在

L

上连续，

(,)cosQxy在曲线

L

上不变号，由于曲线

L

光滑，从而cos在线

L

上连续，由定理8知，存在

(,)L,使得

(,)(,)cos(,)(,)cos(,)(,)

LLL

PxyQxydsPQxydsPQxydx

即

(,)(,)(,)(,)

LL

PxyQxydxPQxydx

从而命题得证.

定理11[6]设曲线

L

关于坐标x是无反向的，(,)fxy，(,)gxy为定义在

L

上的二元函数，满足

(,)fxy，(,)gxy沿曲线

L

从

A

到

B

关于坐标x第二型可积，(,)fxy在

L

上是可介值的，(,)gxy

在

L

上不变号.则至少存在一点(,)PL,,PAB,使得

(,)(,)(,)(,)

LL

fxygxydxfgxydx

成立.

证明过程参考文献[6].

推论1设曲线

L

关于坐标x是无反向的，(,)fxy为定义在

L

上的二元函数，(,)fxy在

L

上

是可介值的.则至少存在一点(,)PL,,PAB,使得

(,)(,)

LL

fxydxfdx

成立.

即

(,)(,)

C

fxydxfI

I为光滑有向曲线

C

在x轴正向上的投影.

类似的，可以推广到对坐标

y

的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.

2.2二重积分中值定理的探究及推广

下面给出二重积分中值定理的三种形式.

定理12假设函数(,)fxy在有界是

D

的面积，则在

D

上至少存在一点(,)使得

(,)(,)

DD

fxydsfds

成立.

证明由于函数(,)fxy在闭区域

D

上连续，假设(,)fxy在闭区域

D

上的最大值和最小值分别

为,Mm，即(,)mfxyM.对不等式在区域

D

上进行二重积分可得,

(,)

DDD

mdsfxydsMds

即

(,)

DDD

mdsfxydsMds

其中

D

ds为闭区域

D

的面积，我们不妨记

D

ds.

有(,)

D

mfxydsM

由于

0

，将不等式除以可得

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6

1

(,)

D

mfxydsM





由于函数(,)fxy在闭区域

D

上连续，由二元函数的介值性定理知，则在

D

上至少存在一点(,)使

得

1

(,)(,)

D

fxydsf





成立.将上式两边同乘以即可得到

(,)(,)

DD

fxydsfds

从而命题得证.

定理13假设函数(,)fxy在闭区域

D

上连续，(,)gxy在

D

上可积且不变号，其中是

D

的面

积，则在

D

上至少存在一点(,)使得

(,)(,)(,)(,)

DD

fxygxydsfgxyd

成立.

证明不妨设(,)0((,))gxyxyD由于函数(,)fxy在闭区域

D

上连续，(,)fxy在闭区域

D

上的最大值和最小值分别为,Mm，即(,)mfxyM,从而

(,)(,)(,)(,)

DDD

mgxydxdyfxygxydxdyMgxydxdy

若(,)0

D

gxydxdy

则(,)(,)0

D

fxygxydxdy

成立.

即对任意(,)D,等式成立；

若(,)0

D

gxydxdy

(,)(,)

(,)

D

D

fxygxydxdy

mM

gxydxdy







由二元函数的介值性定理，存在(,)D.

使得

(,)(,)

(,)

(,)

D

D

fxygxydxdy

f

gxydxdy







即

(,)(,)(,)(,)

DD

fxygxydsfgxyd

从而命题得证.

定理14假设函数(,)fxy在闭区域

D

上连续，(,)gxy在

D

上可积且不变号，其中是

D

的面

积，存在两个区域满足

12

DDD,

12

DD，(,)fxy在

1

D，

2

D上都可积，记

min(,)mfxy，max(,)Mfxy,其中(,xyD）.则有

12

(,)(,)(,)(,)

DDD

fxygxydsmgxydMgxyd

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7

成立.

证明参照定理9的方法及思想即可以得到.

2.3曲面积分中值定理的探究及推广

下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式.

2.3.1（第一型曲面积分中值定理）

定理15设

D

为

xoy

平面上的有界闭区域，其中(,)zzxy为光滑曲面

S

，并且函数

(,,)fxyz,(,,)gxyz在

S

上连续，(,,)gxyz在

S

上不变号，则在曲面

S

上至少存在一点(,,)，

使

(,,)(,,)(,,)(,,)

SS

fxyzgxyzdSfgxyzds

成立，其中

A

是曲面

S

的面积.

证明因为22(,,)(,,)(,,(,))(,,(,))1

xy

S

D

fxyzgxyzdSfxyzxygxyzxyzzd



因为(,,)fxyz，(,,)gxyz在曲面

S

上连续,可得

22(,,(,))(,,(,))1

xy

fxyzxygxyzxyzz





在

D

上也连续，由于(,,)gxyz在

S

上不变号，所以22(,,(,))1

xy

gxyzxyzz



在

D

上不变号.由

二重积分的中值定理(定理13)，可知存在(,)D,使得(,)z，且

2222(,,(,))(,,(,))1(,,(,))(,,(,))1

xyxy

DD

fxyzxygxyzxyzzdfzgxyzxyzzd



(,,(,)(,,)(,,)(,,)

SS

fzgxyzdsfgxyzds

从而命题得证.

推论2设

D

为

xoy

平面上的有界闭区域，其中(,)zzxy为光滑曲面

S

，并且函数(,,)fxyz,

在

S

上连续，在

S

上不变号，则在曲面

S

上至少存在一点(,,)，使

(,,)(,,)

S

fxyzdSfA

成立，其中

A

是曲面

S

的面积.

定理16设

D

为

xoy

平面上的有界闭区域，其中(,)zzxy为光滑曲面

S

，并且函数

(,,)fxyz,(,,)gxyz在

S

上连续，(,,)gxyz在

S

上不变号，存在两个光滑曲面满足

12

SSS,

12

SS,(,,)fxyz在

1

S,

2

S上都可积，记min(,,mfxyz，

max(,,)Mfxyz.其中(,,)xyzS

则有

12

(,,)(,,)(,,)(,,)

SSS

fxyzgxyzdSmgxyzdsMgxyzds

成立.证明方法参照定理9.

在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相

关的定理.

2.3.2（第二型曲面积分中值定理）

接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?以及有几种类型进行探讨.

若成立，则有如下面命题.

若有光滑曲面:(,),(,)

yz

SzxyxyD，其中

yz

D是有界闭区域，函数(,,)fxyz在

S

上连续，A

是

S

的投影

yz

D的面积，由此在曲面

S

上至少存在一点(,,)，使

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8

(,,)(,,)

S

fxyzdydzfA（2）

成立.

但有如下例子，

设

S

是2221xyz在

0z

的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参量方程

sincosx，sinsiny，

cosz,02)

2



（0

可得2

(,)

sincos

(,)

yy

yz

A

zz























他们在

yz

平面上的投影区域如图2，

图2

可知

2

22

2

00

(,)

sincossincos0

(,)

SDD

yz

Adydzdddddd















,

从而(,,)0fA,取3(,,)fxyzx，

则有

2

5454

2

00

2

(,,)sincossincos0

5

SD

fxyzdydzdddd





.

故曲面

S

上不存在一点(,,)，使（2）成立.于是第二型曲面积分中值定理在此不成立.

由此可见第二型曲面积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲面积分中值

定理.

定理17[1]设(,,)Fxyz，(,,)Qxyz在定侧光滑曲面

S

：(,)zzxy，(,)xyD上连续，

(,,)Qxyz在

S

上不变号，则在

S

上至少存在一点(,,)，使得

(,,)(,,)(,,)(,,)

SS

FxyzQxyzdxdyFQxyzdxdy

证明不妨设曲面

S

：(,)zzxy，(,)xyD取上侧，曲面

S

上点(,,(,))xyzxy处外法向量的

方向角为，，



，则

22

1

cos

1

xy

zz







，

(,,)(,,)(,,)(,,)cos

SS

FxyzQxyzdxdyFxyzQxyzdS

由于(,,)Fxyz，(,,)Qxyz在定侧光滑曲面

S

上连续，(,,)Qxyz在

S

上不变号，曲面

S

光滑，从

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9

而(,,)cosQxyz在曲面

S

上连续不变号，由定理15知，在曲面

S

上至少存在一点(,,)，使得

(,,)(,,)cos(,,)(,,)cos

SS

FxyzQxyzdSFQxyzdS

又由于

(,,)(,,)cos(,,)(,,)

SS

FQxyzdSFQxyzdxdy

即(,,)(,,)(,,)(,,)

SS

FxyzQxyzdxdyFQxyzdxdy

从而命题得证.

结论

本论文主要介绍了二元函数的曲线、曲面以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值

定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论文中未进行探究，望大家继续研究这

些问题，进一步完善积分中值定理.

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10

参考文献

[1]杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理[J].赣南师范学院报，2006，6:1-2.

[2]冯美强.关于积分中值定理的改进[J].北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.

[3]皱成.二重积分中值定理的改进[J].石河子大学学报，2006,24（5）：1-4.

[4]王旭光.二重积分中值定理的推广[J].徐州师范大学，2007,23（4）：1-6.

[5]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].高等教育出版社，2001:197-288.

[6]唐国吉.第二型曲线积分中值定理[J].广西民族大学，2008,23:1-6.

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11

致谢

本论文是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的

治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.在论文即将完成之际，从开始进入课题

到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢

意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!