等边对等角

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等边三角形和等腰三角形的性质

知识梳理

等腰三角形：

（－）等腰三角形的性质

1.有关定理与其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的

轴对称图形；

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理与其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形：

定义：三条边都相等的三角形

性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。

判定：三条边相等的三角形，三个角都为60度的三角形，有一个角是60度的等腰三角形。

等边三角形的判定方法：

（1）有边相等的三角形叫做等边三角形；

（2）有角相等的三角形叫做等边三角形；

（3）有个角都等于600的三角形叫做等边三角形；

（4）有个角等于600的三角形叫做等边三角形。

典型例题

例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为

M。求证：M是BE的中点。

例2.如图，已知：ABC中，ACAB，D是BC上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数。

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例3.已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于D。求证：DCB2BAC。

例4.如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。求证：BCBDAD。

例5.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

求证：（1）△BCE≌△ACD．（2）CF=CH（3）FH//BD

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线段的垂直平分线与角平分线专题学习

【知识总结】

1、线段的垂直平分线的性质定理：________________________

_______________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵______________________________

∴______________________________.

2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：_________________

________________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵______________________________

∴______________________________.

3、线段中垂线的尺规作图法：

4、三角心的外心：

三角形三边的中垂线交于一点，它到__________________距离相等，这个点就叫做三角形的外心.

5、角分线的性质定理：__________________________________

_______________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵______________________________

∴______________________________.

6、角平分线性质定理的逆定理：___________________________

________________________________________________________.

如右图，几何语言表述为：

∵______________________________

∴______________________________.

7、角平分线的尺规作图法：

8、三角心的心：

三角形三边的角平分线交于一点，它到____________距离相等，这个点就叫做三角形的心.

【例题解析】

例1：如图，在△ABC中，AC=27，DE为AB的中垂线，△BCE的周长等于50，求BC的长.

ABC

F

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例2：如图，A、B是两个仓库，直线CD是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什

么地方？(保留作图痕迹即可)

例3：如图，求作点P，使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等.

例4：如图，已知∠ACB、∠ADB都是直角，且AC＝AD，P是AB上任意一点．

求证：CP＝DP．

例5：如图，△ABC的外角平分线∠DBC、∠ECB的平分线相交于点F.求证：点F在∠A的平分线上.

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例6：如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的中垂线，

求证：(1)∠EAD=∠EDA；

(2)DF∥AC；

(3)∠EAC=∠B.

例7：如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE

交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：BMN是等边三角形。

1

2

A

D

B

E

C

N

M

3

5

4

例8：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．

求证：CM＝2BM．

题组一：

A

BCDE

F

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1、如图，AP平分∠BAC，且PE⊥AB，PF⊥AC，PE=

3

，则PF=_______.

第1题第3题第4题

2、在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB.若AB=8，则△DEB的周长是__________.

4、如图，在△ABC中，OB平分∠ABC，OC平分∠ABC，MN∥BC且过点O.若AB=8，AC=7，则△AMN的周长是_________.

5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，且DE⊥AB，DF⊥AC，

求证：BE=DF.(要求证明过程中要用到角平分线性质定理)

6、如图，已知：AD⊥OB于D，BD⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.求证：EO为∠AOB的平分线.

题组二：

1、如图，0P是∠AOB的角平分线，PC⊥AO，PD⊥OB，则PD与PC的大小关系为()

A．PC>PDB．PC=PDC．PC

第1题第2题第3题

2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离

相等，则超市应建在()

A．在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处

C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A、∠B的角平分线的交点处

3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于()

A．25ºB.30ºC.45ºD.60º

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4、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的面积是_______.

5、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

6、如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC

与BH有什么关系？并说明理由.

课堂练习

1．如图，在等边ABC△中，点DE，分别在边BCAB，上，且BDAE，AD与CE交于点F．

（1）求证：ADCE；（2）求DFC∠的度数．

D

A

E

F

B

C

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2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。

求证：AE＝AF。

3．如图⊿ABC中，∠ACB=900，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC交CF的

延长线于D.求证：AE=CD

中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC

2

1

DE。

E

D

C

B

A

5.如图，在ΔABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，说明：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°

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6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ADB和△ACE都是等边三角形，且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度数。

课后作业

一、选择题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°B．90°C．120°D．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）

都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

3．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm

4．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形

第4题图第5题图第6题图

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）

A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状

6.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，

则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

7.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对

二、填空题

1．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

2．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

3．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

4.如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，

则1的度数是________。

C

A

1

D

B

2

3

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三、解答题

1.如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证：∠BAD＝∠ABC．

2.如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

3.如图,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求证：AC=EF．

4.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE