求直角三角形斜边长

..

页脚

中考解直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平

方和等于斜边的平方

A

B

C

a

b

c

弦

股

勾

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角

形：勾三、股四、弦五）

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为

n

的线段

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

c

a

sin





斜边

的对边A

A

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

c

b

cos





斜边

的邻边A

A

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即

b

a

tan







的邻边

的对边

A

A

A

..

页脚

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即

a

b

cot







的对边

的邻边

A

A

A

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数30°45°60°

sinα

2

1

2

2

2

3

cosα

2

3

2

2

2

1

tanα

3

3

13

cotα3

1

3

3

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；

（2）平方关系：1cossin22AA

（3）倒数关系：tanA

•

tan(90°—A)=1

（4）商（弦切）关系：tanA=

A

A

cos

sin

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有

未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan

(4)面积公式：（hc为c边上的高）

考点五、解直角三角形应用

1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解

2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

..

页脚

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线

俯角

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

h

i

l

。坡度一般写成1:m的形式，如

1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tan

h

i

l

。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：

45°、135°、225°。

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

1、解直角三角形的类型与解法

已知、解法

三角

类型

已知条件解法步骤

Rt△ABC

B

c

a

AbC

两

边

两直角边（如a，b）

由tanA＝

a

b

，求∠A；∠B＝90°－A，c＝22ba

斜边，一直角边（如c，a）

由SinA＝

a

c

，求∠A；∠B＝90°－A，b＝22a-c

一

边

一

角

一角边

和

一锐角

锐角，邻边

（如∠A，b）

∠B＝90°－A，a＝b·SinA，c＝

b

cosA

cosA

锐角，对边

（如∠A，a）

∠B＝90°－A，b＝

a

tanA

，c＝

a

sinA

斜边，锐角（如c，∠A）∠B＝90°－A，a＝c·SinA，b＝c·cosA

2、测量物体的高度的常见模型

1）利用水平距离测量物体高度

数学模型所用

工具

应测数据数量关系根据

原理

侧倾α、β、

tanα＝

1

x



，tanβ＝

2

x



＝a·

tanα·tanβ

tanα＋tanβ

直角

三角

:ihl

h

l

α

βα

a

x

1x

2

ι

..

页脚

器

皮尺

水平距离a

tanα＝

xa



tanβ＝

x



＝a·

tanα·tanβ

tanβ－tanα

形的

边角

关系

2)测量底部可以到达的物体的高度

数学模型所用

工具

应测数据数量关系根据

原理

皮尺

镜子

目高a1

水平距离a2

水平距离a3

3

a

h

＝

2

1

a

a

，h＝

2

31

a

aa

反射

定律

皮尺

标杆

标杆高a1

标杆影长a2

物体影长a3

1

a

h

＝

2

3

a

a

,h＝

2

31

a

aa

同一时刻物高与影

长成正比

皮尺

侧倾

器

侧倾器高a1

水平距离a2

倾斜角α

tanα＝

2

1

a

ah

,

h＝a1＋a2tanα

矩形的性质和直角

三角形的边角关系

仰角α

俯角β

水平距离a1

tanα＝

1

1

a

h

,tanβ＝

1

2

a

h

h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）

矩形的性质和直角

三角形的边角关系

3）测量底部不可到达的物体的高度（1）

数学模型所用

工具

应测数据数量关系根据

理论

仰角α

俯角β

tanα＝

x

h

1，tanβ＝

x

a

αβ

xa

ι

镜子

1

a

2

a

3

a

h

h

3

a

2

a

1

a

αh

1

a

2

a

h

1

h

2

h

β

α

1

a

h

1

h

α

β

x

..

页脚

皮尺

侧倾

器

高度a

h＝a＋h1＝a＋

tanα

tanβ

a＝a(1＋

tanα

tanβ

)

矩形的性质和直

角三角形的边角

关系

俯角α

俯角β

高度

tanα＝

a－h

x

,tanβ＝

x

a

∴x＝

a－h

tanα

＝

a

tanβ

∴h＝a－

atanα

tanβ

测量底部不可到达的物体的高度（2）

数字模型所用

工具

应测距离数量关系根据

原理

皮尺

侧倾

器

仰角α，

仰角β

水平距离a1

侧倾器高a2

tanα＝

xa

h



1

1tanβ＝

x

h

1

∴h1＝





tantan

tantan

1



a

h＝a2＋h1＝a2＋





tantan

tantan

1



a

矩形的性质

和直角三角

形的边角关

系

仰角α

仰角β

高度a

tanα＝

h

x

,tanβ＝

h－a

x

h＝

tanα

tanα－tanβ

tanα＝

h

x

,tanβ＝

h－a

x

、h＝

tanα

tanα－tanβ

仰角α

仰角β

高度a

tanα＝

h

x

,tanβ＝

a＋h

x

h＝

tanα

tabβ－tanα

h

x

a

αβ

h

A

a

x

α

β

h

1

h

a

x

α

β

h

1

h

2

a

1

ax

αβ

..

页脚

第三部分真题分类汇编详解2007-2012

（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行

60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最

近？（参考数据：sin21.3°≈

9

25

，tan21.3°≈

2

5

，sin63.5°≈

9

10

，tan63.5°≈2）

（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如

图所示，其中，AB表示窗户，且2AB米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太与水平线CD的最

小夹角为18.6，最大夹角为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结

果保留两个有效数字）

（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）

AB

C

北

东

A

D

Ｄ

Ｃ

B





C

G

E

D

B

A

F

第19题图

..

页脚

（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处

安置测倾器，测得塔顶C的仰角21CFE°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角37CGE°，

已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．

（参考数据：

3

sin37

5

°≈，

3

tan37

4

°≈，

9

sin21

25

°≈，

3

tan21

8

°≈）

（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝

80

米．为测量这座居民楼与大厦之间

的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与

大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）

（参考数据：oooo

33711

sin37tan37sin48tan48

541010

，，，

）

解：

（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由

原来的40º减至35º．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地

面CD有多长？

(结果精确到0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)

B

37°

48°

D

C

A

第19题图

40º35º

A

DBC

..

页脚

（2012）20.（8分）

附历年真题标准答案：

（2007）19．（本小题满分6分）

解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．

设BD＝x海里，

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝

CD

BD

，∴CD＝x·tan63.5°．

在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝

CD

AD

，

∴CD＝(60＋x)·tan21.3°．∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即

2

260

5

xx．解得，x＝15．

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．…………………………6′

（2008）19．（本小题满分6分）

解：设CD为x，在Rt△BCD中，6.18BDC，

∵

CD

BC

BDCtan，∴xBDCCDBC34.0tan．········2′

在Rt△ACD中，5.64ADC，∵

CD

AC

ADCtan，∴

xADCCDAC1.2tan

．

∵BCACAB，∴xx34.01.22．1.14x≈．

答：CD长约为1.14米．

（2009）19．（本小题满分6分）

解：由题意知CDAD⊥，EFAD∥，

∴90CEF°，设CEx，

在RtCEF△中，tan

CE

CFE

EF

，则

8

tantan213

CEx

EFx

CFE



°

；

在RtCEG△中，tan

CE

CGE

GE

，则

4

tantan373

CEx

GEx

CGE



°

B

C

DA

C

G

E

D

B

A

F

第19题图

..

页脚

∵EFFGEG，∴

84

50

33

xx．37.5x，∴37.51.539CDCEED（米）．

答：古塔的高度约是39米．························6分

（2010）19．（本小题满分6分）

解：设CD=x．在Rt△ACD中，

tan37

AD

CD



，

则

3

4

AD

x



，∴

3

4

ADx

.

在Rt△BCD中，tan48°=

BD

CD

，

则

11

10

BD

x



，

∴

11

10

BDx

.……………………4分

∵AD＋BD=AB，∴

311

80

410

xx

．

解得：x≈43．

答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．…………………6分

（2011）19．（本小题满分6分）

（2012）20.（8分）

B

37°

48°

D

C

A

第19题图

..

页脚