极限保号性

高等数学求极限的常用方法附例题与详解

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1、极限的保号性很重要:设Axf

xx





)(lim

0

,

(i)若A0,则有0,使得当||0

0

xx时,0)(xf;

(ii)若有,0使得当||0

0

xx时,0A,0)(则xf。

2、极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为

x

时函数的极限与

0

xx的极限。要特别注意判定极

限就是否存在在:

(i)数列的充要条件收敛于a

n

x就是它的所有子数列均收敛于a。常用的就是其推论,即“一个数列收敛于a的

充要条件就是其奇子列与偶子列都收敛于a”

(ii)A

x

xf

x

Axf

x













limlimlim)()(

(iii)A

xxxx

Axf

xx













limlimlim

00

0

)(

(iv)单调有界准则

(v)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)

(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。极限

)(lim

0

xf

xx

存在的充分必要条件就

是:





|)()(|)(,0,0

21021

xfxfxUxxo时，恒有、使得当

二.解决极限的方法如下:

1、等价无穷小代换。只能在乘除

．．

时候使用。例题略。

2、洛必达(L’hospital)法则(大题目有时候会有暗示要您使用这个方法)

它的使用有严格的使用前提。首先必须就是X趋近,而不就是N趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x

趋近情况下的极限,数列极限的n当然就是趋近于正无穷的,不可能就是负无穷。其次,必须就是函数的导数要存

在,假如告诉f(x)、g(x),没告诉就是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须就是“0比0”或“无穷大比无

穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况:

(i)“

0

0

”“





”时候直接用

(ii)“•0”“



”,应为无穷大与无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项

之后,就能变成(i)中的形式了。即

)(

1

)(

)()(

)(

1

)(

)()(

xf

xg

xgxf

xg

xf

xgxf或

;

)()(

1

)(

1

)(

1

)()(

xgxf

xfxg

xgxf





(iii)“00”“1”“0”对于幂指函数,方法主要就是取指数还取对数的方法,即exfxg

xgxf)(ln)(

)()(,

高等数学求极限的常用方法附例题与详解

这样就能把幂上的函数移下来了,变成“•0”型未定式。

3、泰勒公式(含有xe的时候,含有正余弦的加减的时候)

1

2

)!1(!!2

1



n

xn

xx

n

e

n

xx

xe



;

321

1253

)!32(

cos

)1(

)!12(

)1(

!5!3

sin









mm

m

mx

m

x

m

xxx

xx





cos=221

242

)!22(

cos

)1(

)!2(

)1(

!4!2

1



mm

m

mx

m

x

m

xxx



ln(1+x)=x-

1

1

1

32

)1)(1(

)1()1(

32









n

n

n

n

n

xn

x

n

xxx





(1+x)u=1112)1(

!2

)1(

1



nnun

u

nn

u

xxCxCx

uu

ux

以上公式对题目简化有很好帮助

4、两多项式相除:设

均不为零

mn

ba,

,

P(x)=

01

1

1

axaxaxan

n

n

n







,

01

1

1

)(bxbxbxbxQm

m

m

m







(i)





























)(,

)(,0

)(,

)(

)(lim

mn

mn

nm

b

a

xQ

xP

x

n

n

(ii)若

0)(

0

xQ,则

)(

)(

)(

)(

0

0lim

0

xQ

xP

xQ

xP

xx





5、无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候,尤其就是正余弦的复杂函数与其她函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的

函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6、夹逼定理:主要就是应用于数列极限,常应用放缩与扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例:(1)设

0cba,n

nnn

n

cbax,求

n

n

xlim



解:由于

aaaaaxan

nn

n

n





)3(,,3limlim以及

,由夹逼定理可知ax

n

n





lim

(2)求





















222)2(

1

)1(

11lim

nnn

n



解:由

n

nnnnnn

1111

)2(

1

)1(

11

0

222222







,以及0

1

0limlim



n

nn

可知,原式=0

(3)求

























nnnnn

222

1

2

1

1

1lim

高等数学求极限的常用方法附例题与详解

解:由

nn

n

nnnnnnnn

n

n

nnn





























222222

1111

2

1

1

1

1

111



,以及

1

1

1

1

1limlimlim

2













n

nn

n

nnn

得,原式=1

7、数列极限中等比等差数列公式应用(等比数列的公比q绝对值要小于1)。例如:

求12321lim



n

n

nxxx

)1|(|x。提示:先利用错位相减得方法对括号内的式子求与。

8、数列极限中各项的拆分相加(可以使用待定系数法来拆分化简数列)。例如:





























)1(

1

32

1

21

1lim

nn

n



=

1

)1(

1

1

)1(

11

3

1

2

1

2

1

1limlim



































nnn

nn



9、利用

1nx

xx与极限相同求极限。例如:

(1)已知

n

na

aa

1

2,2

11





,且已知

n

n

alim



存在,求该极限值。

解:设

n

n

alim



=A,(显然A

0

)则

A

A

1

2

,即0122AA,解得结果并舍去负值得A=1+

2

(2)利用

．．

单调有界的性质

．．．．．．．

。利用这种方法时一定要先证明单调性与有界性。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

例如

设

n

n

nn

xxxxxlim,2,,22,2

121





求

解:(i)显然2

21

xx(ii)假设

,2

1



kk

xx

则2222

1



kk

xx,即2

1



kk

xx。所以,

n

x就

是单调递增数列,且有上界,收敛。设

A

n





lim,(显然)0A则AA2,即022AA。解方程并

舍去负值得A=2、即

2lim



n

n

x

10、两个重要极限的应用。

(i)

1

sinlim

0





x

x

x

常用语含三角函数的“

0

0

”型未定式

(ii)exx

x





1

0

1lim,在“1”型未定式中常用

11、还有个非常方便的方法就就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度就是不一样的,nn快于n！,n！

快于指数型函数nb(b为常数),指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候,它们比值的

极限就可一眼瞧出。

12、换元法。这就是一种技巧,对一道题目而言,不一定就只需要换元,但就是换元会夹杂其中。例如:求极限

x

x

x

2sin

2

arccos

lim

0







。解:设ttxtxxtsin)

2

cos(,00,

2

arccos



且时，则。

原式=

2

1

sin22

2

arccos

2

2

arccos

2sin

2limlimlim

000















t

t

x

x

x

x

x

x

txx



高等数学求极限的常用方法附例题与详解

13.利用定积分求数列极限。例如:求极限

























nnnn

n

1

2

1

1

1lim。由于

n

i

n

in







1

1

1

,所以

2ln

11

1

1

1

1

11

2

1

1

12

1

limlim



























































xn

n

n

n

nnnn

nn



14、利用导数的定义求“

0

0”型未定式极限。一般都就是x



0时候,分子上就是“

)()(afxaf

”的形式,瞧见

了这种形式要注意记得利用导数的定义。(当题目中告诉您

m'）（af

告诉函数在具体某一点的导数值时,基本

上就就是暗示一定要用导数定义)

例:设

)(,0)('afaf

存在,求

n

n

af

n

af









































1

lim

解:原式=

n

af

af

n

af

af

n

af

af

n

n

n

af

af

n

af

af

af

n

af)(

)()

1

(

)()

1

(

)(

)(

)()

1

(

1

)(

1

1limlim









































































=

)(

)('

)(

1

1

)()

1

(

limaf

af

af

n

af

n

af

n

ee



