黑体辐射公式

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实用文档之"量子力学结课论文："

对普朗克黑体辐射公式的推证及总结

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摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于

平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐

射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的

曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的

形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出

了与实验结果相符的黑体辐射能量公式：

普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典

物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的

途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量

假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。

关键词：黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯

韦-玻尔兹曼分布

1.普朗克的量子化假设：

黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光

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子的能量.且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量

（h=6.62606896）

2.普朗克公式的推导过程：

2.1任意频率ν下的辐射能量：

假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N的原子

可吸收或发出频率为ν的光子，其中Ng为这些原子中处

在基态的原子数，Ne为处在激发态（此处指可由基态原

子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n为频

率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔

兹曼公式[2]知：

N

e

NNgN由此可得

==

(2.1.1)

平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，

且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱

因斯坦系数关系［3］可得：N

g

n=N

e

(n+1)

(2.1.2)

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结合(2.1.1)，可解得：

(2.1.3)

则该状态下光子总能量为：

0

=nhv=

(2.1.4)

2.2vv频率段中可被体系接收的频率数目

设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为

体积为不妨先讨论一维情况：

体系线宽为L，则L必为光子半波长的整数倍，设其波数为

K，有

k

j

=（j为整数）

(2.2.1)成立。

则两相邻可被体系接收的频率所对应的波数间隔为

(2.2.2)

由此可得在∆k波数段内，可被体系接收的频率数目（或

称波数数目）为：∆N==∆k

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(2.2.3)

因空腔内光波为驻波（波数为K和-K的两列波合成），考

虑K值的正负，(2.2.3)式可修正为：∆N=∆k

(2.2.4)

由此可得，在三维情况下，有

∆N

x

=∆k

x

∆N

y

=∆k

y

(2.2.5)

∆N

z

=∆k

z

并由此得到

∆k

x

∆k

y

∆k

z

(2.2.6)

因为黑体体积，∆k

x

∆k

y

∆k

z

为K体积元，

考虑半径为K，厚度为的球壳，则

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即

(2.2.7)

由代入(2.2.7)可得

(2.2.8)

因光为电磁波，对任意波矢K可有两正交的偏振，其频率相

互独立，所以(2.2.8)应修正为：

(2.2.9)

此即为vv频率段中可被体系接收的频率数目。

2.3vv频率段内的黑体辐射能量

由(2.1.4)和(2.2.9)可得vv频率段内的黑体辐射能

量为：

0

dN(v)=

继而可得：

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(2.3.1)

由此，普朗克公式已推出。

结论：

相较于同时提出的维恩公式及瑞利-金斯公式，普朗克提出

的(2.3.1)式精确地贴合了实验得出的黑体辐射能量分布曲

线（如下图）。

普朗克对黑体辐射光谱的研究以及他对(2.3.1)的发现开创

了量子力学整个学科。［4］

推导过程中的不足：论证结果是在黑体为规整的立方体的前

提下得出的，没有进行更具有一般性的论证。

参考资料：

［1］周世勋，陈灏《量子力学教程（第二版）》北京：

高等教育出版社,2008

［2］何丽珠，邵渭泉《热学》北京：清华大学出版社，

2013

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［3］［4］费恩曼，莱顿，桑兹著，潘笃武，李洪芳译，

《费恩曼物理学讲义（新千年版）》第三卷，第四章