有限覆盖定理

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

第一章前言

众所周知,极限的存在性问题是极限理论的首要问题.一个数列是否存在极限不仅

与数列本身的结构有关,而且与数列所在的数集密切相关.从运算的角度来说,实数集

关于极限的运算是封闭的,它反映了实数集的完备性,这是实数的优点.因此,将极限

理论建立在实数集之上,极限理论就有了坚实的基础.

我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性,也可从实数系的完备性出

发去证明实数系的连续性,所以这两个关系是等价的.因此,我们也称实数系的连续性

为实数系的完备性.

数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师范学校数学

教育专业最主要的基础课程.在数学分析教材中,实数集的确界定理、单调有界定理、

闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理,他

们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性,成为数学理论乃至数

学分析坚实的基础.这六个基本定理是相互等价的,也就是说可以相互循环论证.在我

们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中,实数完备性基本定理是从公理出发,首先运

用公理证明了闭区间套定理,然后用前一个定理为条件,证明了后一个定理的结论,它

们依次是:确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性,

最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）.而在本文中把有限覆盖

定理作为出发点,利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、

区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.

下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容,为后面的证明做铺垫.

定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,（即H的每一个元素都是

形如),(的开区间）,若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内,则称H为S的

一个开覆盖,或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的,则称H为S的一

个无限开覆盖（有限开覆盖）.

定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间],[ba的一个（无限）开覆盖,则从H

中可选出有限个开区间来覆盖],[ba.

第二章有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

2.1用有限覆盖定理证明确界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理,首先给出确界的定义和定理如下:

定义2.1.1]2[有非空的数集E,如果存在



,有下列性质:

（1）对任意Ex,有x;

（2）对任意0,总存在某个数Ex

0

,有

0

x

,则称是数集E的上确界,认

为:

Esup.

定义2.1.2]2[非空的数集E,如果存在,有下列性质:

（1）对任意Ex,有

x;

（2）对任意0,总存在某个数Ex

0

,有



0

x,则称是数集E的下确界,

认为:

Einf.

定理2.1.1]2[（确界定理）任何非空集RE,若它有上界,则必有上确界

REsup

（等价地若有下界,必有下确界）.

证明设

ExRE,

有Mx.任取一点Ex

0

,考虑闭区间],[

0

Mx,假若

E无上确界（最小上界）,那么),[

0

Mxx:

i)当x为E的上界时,必有更小的上界xx

1

,因而x有一开领域

x

,其中

皆为E的上界;

ii)当x不是E的上界时,自然有E中的点xx

2

,于是x有开领域

x

,其

中每点皆不是E的上界.

],[

0

Mx上每点都找出一个领域

x

,它要么属于第一类（每点为上界）,要么属于

第二类（每点皆不是上界）,这些领域]},[:{

0

Mxx

x

,组成闭区间],[

0

Mx的一个开

覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,

1

…

n

,},注意,M所在的开区间,应为

第一类的,相邻接的开区间

x

有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接.可知

0

x所

在的开区间也是第一类,这便得出矛盾.从而得证非空集RE,若它有上界,则必有

上确界.

同理可证非空集RE,若它有下界,则必有下确界.

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

2.2用有限覆盖定理证明单调有界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理,首先给出单调有界的定义和定理

如下:

定义2.2.1]2[若数列}{

n

a的各项满足关系式

1



nn

aa)(

1



nn

aa,

则称}{

n

a为递增（递减）数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.

定理2.2.1]2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.

证明不妨设],[}{bax

n

为单调有界数列,若对

],[bax

,x都不是}{

n

x的极限,

则,0

0



对,NN有,||

0

xx

n

则在

)

2

;(0



xU

内仅含有}{

n

x的有限项,令

]},[|)

2

;({baxxUH



,则H是闭区间

],[ba

的一个开覆盖,由有限覆盖定理知:其必

存在有限子覆盖,不妨设存在),

2

,(),

2

,(2

2

1

1



xUxU…)

2

,(,n

n

xU



是它的一个子覆盖,

即],[)

2

;(

1

baxUi

i

n

i





,而

,2,1)(

2

,(ixUi

i



…

),n

只含有限个点,从而它们的并也只含有

限个点,从而得出

],[ba

也只含有限个点,这与

],[ba

是无限点集矛盾,从而得证任何有

界的单调数列一定有极限.

2.3用有限覆盖定理证明区间套定理

本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理,首先给出区间套的定义和定理如下:

定义2.3.1]2[若闭区间列]},{[

nn

ba具有下列性质:

（1）],[],[

11



nnnn

baba,n=1,2,3…;

（2）0)(lim



nn

n

ab

则称这个闭区间列]},{[

nn

ba为闭区间套,或称区间套.

定理2.3.1]2[（区间套定理）若]},{[

nn

ba是一个区间套,则存在唯一一点,使得

][

,nn

ba,n=1,2,3,…或

nn

ba

,n=1,2,3,…

证明设]},{[

nn

ba为闭区间套,但对],[

11

'bax,至少Nk,使],['

kk

bax,从而

0'

x



,使],[),('

'

kk

x

baxU.

现因]},[|),({''

'baxxUG

x

是],[

11

ba的一个开覆盖,故G中有限个开区间即可完

全覆盖],[

11

ba,记为

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

}1|),({*nixUG

ii



,

其中],[),(

ii

kkii

baxU

（i=1,2,…,n;2

i

k）.

令,,max(

210

kkk…),

n

k,则],[],[

00

1

baba

ii

kk

n

i





.于是对

)1(nii

,都有

],[),(

00

kkii

baxU

,由此得出





],[)),((],[

0000

1

*

kkii

n

i

kk

baxUbaG

这与*G

为],[

11

ba的开覆盖条件矛盾,从而假设不成立,问题得证.

2.4用有限覆盖定理证明聚点定理

本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理,首先给出聚点的定义和定理如下:

定义2.4.1]2[设

S

是直线上的点集

}{x

,是一个定点（它可属于

S

,也可不属于

S

）.

若的任意领域内含有S的无限多个点x,则称为S的一个聚点.

其等价定义:对于点集

}{xS

,若点的任意



邻域内都含有S的一个异于的点

x（即xSx),,(

）,则称为S的一个聚点.

定理2.4.1]2[（聚点定理）直线上的有界无限点集

S

至少有一个聚点.

证明设E为直线上有界无穷点集,若存在

0M

,使

],[MME

中任何点不是

E的聚点,则对每一个

],[MMx

,必存在相应的0

x



,使得在),(

x

x内至多含有

E的有限多个点.

设]},[|),({MMxxH

x

,则H是],[MM的一个开覆盖,由有限覆盖定理,

H中存在有限个开覆盖),(

j

xj

x（j=1,2,3,…）构成],[MM的一个开覆盖,当然也覆

盖了E.则在

],[MM

中至多含有E的有限多个点

j

x（j=1,2,3,…）.故E为有限点集,这

与题设E为无限点集相矛盾.于是,E至少有一个聚点.

2.5用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则

本节主要运用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则,首先给出Cauchy收敛准则如

下:

定理2.5.1]2[（柯西收敛准则）数列}{

n

a收敛的充要条件是:对任给的正数



,总存

在某一个自然数N,使得Nmn,时,都有

||

nm

aa

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

柯西收敛准则又叫实数完备性定理.

柯西收敛准则（充分性部分）若实数列}{

n

x满足:

0,NmnNN,,,有

||

mn

xx,则}{

n

x收敛.

证明,,,0NnNN

有

||||||||||||

111111



NNNnNNnnNn

xxxxxxxxxx

其中}{2,1

n

xNNn是有界的,设],[}{bax

n

,若对

],[bax

,x都不是}{

n

x的

极限,则,0

0



对,NN有,||

0

xx

n

则在

)

2

;(0



xU

内仅含有}{

n

x的有限项,

令

]},[|)

2

;({baxxUH



,则H是闭区间

],[ba

的一个开覆盖,由有限覆盖定理知:其

必存在有限子覆盖,不妨设存在

),

2

,(),

2

,(2

2

1

1



xUxU

…

)

2

,(,n

n

xU



是它的一个子覆盖,即

],[)

2

,(

1

baxUi

n

i

i





,而

,2,1)(

2

,(ixUi

i



…

),n

只含有限个点,从而它们的并也只含有限

个点,从而得出

],[ba

也只含有限个点,这与

],[ba

是无限点集矛盾,从而假设不成立,

问题得证.

柯西收敛准则（必要性部分）若实数列}{

n

x收敛,则}{

n

x满足:

0,NmnNN,,时,有

||

mn

xx成立.

证明设}{

n

x收敛于



,按照收敛的定义,NmnNN,,,0

时,有

,

2

||,

2

||









mn

xx

于是





22

|||||)()(|||

mnmnmn

xxxxxx

.

2.6总结

众所周知,实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的6个基本定理是

彼此等价的,并且是论证其它一些重要定理（如一致连续定理等）的依据,确界定理、

单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛准则属于同一类

型,它们都指出,在某一条件下，便有某种“点”存在,而有限覆盖定理属于另一种

类型,它是其它实数完备性定理的逆否形式,不论是前五个定理来分别证明有限覆盖

定理,还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出前五个定理,都可用反证法完成;

同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

参考文献

[1]刘玉琏等,数学分析讲义与指导[M],第2版,高等教育出版社,2005.

[2]华东师范大学数学系,数学分析[M],第2版,高等教育出版社,1991.

[3]裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法,第2版,高等教育出版社.

[4]陈纪修等,数学分析[M],第2版,高等教育出版社,2004.

[5]裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导[M],科学出版社,2004.

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

致谢

为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号,在论文写作的过程中,从论文

的选题到确定思路,从资料的搜集、提纲的拟定到内容的写作与修改,继而诸多观点

的梳理,都得益于我的导师——李老师的悉心指导和匠心点拨.

论文的点评中总是闪烁着智慧的火花,与她的每次交谈我都能从中获益.她严谨

的治学态度,一丝不苟的负责精神,以及对学生孜孜不倦的教诲都给予了我极其深

刻的印象,让我受益匪浅.在此,谨向李老师表示我最衷心地感谢和最诚挚的敬意.

同时,也向两年来所有教授过我和帮助过我的教授老师表示感谢,感谢您们对我

的谆谆教诲、耐心指导和无私的帮助.

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

感谢我的同学和朋友们,感谢你们在我论文写作过程中给予我的鼓励、关心和无

私的帮助.

最后,衷心地感谢我的家人,感谢你们一直以来给予我的支持和鼓励.

###2010年4月于

学院