赫尔德不等式

世界数学史上的十个著名不等式

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数学史上的十个著名不等式

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片

天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．

一、平均不等式（均值不等式）

设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．

当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．

当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．

设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当

时等号成立．

平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大

值和最小值即是其应用之一．

设，，…，是个正的变数，则

（1）当积是定值时，和有最小值，且

；

（2）当和是定值时，积有最大值，且

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两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或

最小值．

在中，当时，分别有，

平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号

成立；

（3），当且仅当时等号

成立；

（4），当且仅当时等号成立．

二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

对任意两组实数，，…，；，，…，，有

，其中等号当且仅当

时成立．

柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实

数）是：

（1），，则

（2）

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（3）

柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不

等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．

三、闵可夫斯基不等式

设，，…，；，，…，是两组正数，，则

（）

（）

当且仅当时等号成立．

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上

的三角形不等式：

右图给出了对上式的一个直观理解．

若记，，则上式为

四、贝努利不等式

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（1）设，且同号，则

（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或

时，有，上两式当且仅当时等号成立．

不等式（1）的一个重要特例是（）．

五、赫尔德不等式

已知（）是个正实数，，则

上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．

六、契比雪夫不等式

（1）若，则

；

（2）若，则

下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．

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如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面

积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上

翻折比较即知）．于是有，也即

七、排序不等式

设有两组数，，…，；，，…，满足，

则有，式中的

，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当

或时成立．

以上排序不等式也可简记为：

反序和乱序和同序和

这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．

八、含有绝对值的不等式

为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，

右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式

是

，

也可记为

绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

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九、琴生不等式

设是（）内的凸函数，则对于（）内任意的几个实数有

，

等号当且仅当时取得．

琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们

可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等．

十、艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

，

当且仅当为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号．

这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式．

以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们

已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具．